شرح ميل الخط المستقيم

The Gradient of a Straight Line

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Gradient Means

الميل يخبرك كم الخط شديد الانحدار: هو مقدار ما يصعده الخط مقابل كل وحدة واحدة أفقيًا. نحسبه من أي نقطتين على الخط: الفرق بين الإحداثيين الصاديين مقسومًا على الفرق بين الإحداثيين السينيين. الخط الصاعد إلى اليمين ميله موجب، والنازل ميله سالب، والأفقي ميله صفر، أما الرأسي فليس له ميل لأننا لا نقسم على صفر. كلما كان العدد أكبر كان الخط أشد انحدارًا. ومثال من الحياة: منحدرات الكراسي المتحركة تُبنى بميل صغير جدًا حتى يسهل دفعها بأمان.

The gradient tells you how steep a line is. It is how far the line goes up for every 1 you go across.

Formula

m = \frac{up}{across} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$m$ is the gradient. $(x_{1}, y_{1})$ and $(x_{2}, y_{2})$ are any two points on the line.

Line	Gradient
Goes up to the right	positive
Goes down to the right	negative
Flat	zero
Straight up (upright)	no gradient: across is 0, and you cannot divide by 0

Key idea

A bigger number means a steeper line. A gradient of 4 is steeper than a gradient of 1.

Key idea

In many countries, including the UK and USA, a wheelchair ramp may be no steeper than 1 : 12: 1 unit up for every 12 across. That is a gradient of $\frac{1}{12}$ , about $0.08$ , gentle enough to push up safely.

2. Gradient From Two Points

لحساب الميل من نقطتين، سمِّ النقطتين أولًا حتى تحافظ على نفس الترتيب طوال الحل. اكتب الكسر: في البسط الإحداثي الصادي للنقطة الثانية ناقص الصادي للأولى، وفي المقام السيني للثانية ناقص السيني للأولى. احسب البسط ثم المقام، وتذكّر أن طرح عدد سالب يعني جمعه. ثم اقسم البسط على المقام. اكتب سطر الكسر كاملًا لأنه وحده يأخذ درجة حتى لو أخطأت في الحساب بعده. الخطأ الشائع أن تبدأ بنقطة في البسط وبالنقطة الأخرى في المقام.

The 2-mark question: work out the gradient of the line through two points. Take the same point first on the top and the bottom.

Worked example

1
$A (- 1, 5), B (3, - 7)$ — The two points. Call them A and B so you keep the same order all the way through.
2
$m = \frac{- 7 - 5}{3 - ( - 1 )}$ — Write the fraction first: y of B minus y of A on top, x of B minus x of A underneath.
3
$- 7 - 5 = - 12$ — Work out the top. From 5 down to −7 is a drop of 12, so up is −12.
4
$3 - (- 1) = 3 + 1$ — Work out the bottom. Taking away a negative is adding: $- (- 1) = + 1$ .
5
$3 + 1 = 4$ — So across is 4.
6
$m = \frac{- 12}{4} = - 3$ — Divide up by across. It is negative because the line goes down to the right.

Key idea

Show the fraction line, like $\frac{- 7 - 5}{3 - ( - 1 )}$ . It earns 1 of the 2 marks on its own, even if the sum after it slips.

Common mistake

Doing $5 - (- 7)$ on top but $3 - (- 1)$ underneath. That mixes the order and gives 3. Start with the same point both times.

3. Gradient From a Line on a Grid

عندما يكون الخط مرسومًا على شبكة، اختر نقطتين بعيدتين يمر بهما الخط تمامًا عند تقاطع خطوط الشبكة. اقرأ الأعداد المكتوبة على كل محور، فقد يكون المربع الواحد أكثر من وحدة. احسب الصعود وهو فرق الإحداثيين الصاديين، ثم الأفقي وهو فرق السينيين، ثم اقسم الصعود على الأفقي. وأخيرًا تحقق من الإشارة بعينك: إذا كان الخط ينزل إلى اليمين فالميل سالب. الخطأ الشائع أن تعدّ المربعات بدل أن تستخدم الأعداد على المحاور.

Many questions draw the line on a grid and ask for its gradient. Read two points from the axes, then do up ÷ across.

Worked example

1
$(- 1, 6) and (3, - 2)$ — Pick two points where the line passes exactly through a grid corner, far apart. Exact points give an exact answer.
2
$y-axis: 0, 2, 4, 6$ — Read the numbers on each axis. Here the y-axis goes up in 2s, so one square up is 2, not 1.
3
$- 2 - 6 = - 8$ — Up: y of the second point minus y of the first. It drops 8, so up is −8.
4
$3 - (- 1) = 4$ — Across: x of the second minus x of the first. Minus a negative is plus, so 3 + 1 = 4.
5
$m = \frac{- 8}{4} = - 2$ — Divide up by across.
6
$down to the right \Rightarrow m < 0$ — Check the sign with your eyes: the line falls to the right, so a negative gradient is right.

Common mistake

Counting squares: 4 down and 4 across gives −1. The y-axis goes up in 2s, so 4 squares is 8. Always use the numbers on the axes.

4. Gradient From an Equation

إذا كانت الصادات وحدها في المعادلة، فالميل هو العدد المضروب في السينات بإشارته. وإذا كانت السينات مقسومة على عدد فالميل هو واحد على ذلك العدد. أما إذا كانت السينات والصادات في نفس الطرف فلا تقرأ الميل بعد: انقل حد السينات إلى الطرف الآخر، ثم اقسم كل الحدود على العدد المضروب في الصادات. وإذا كان هذا العدد سالبًا فانتبه للإشارات، لأن سالب على سالب يعطي موجبًا. الخطأ الشائع أن تأخذ العدد مع السينات قبل أن تجعل الصادات وحدها.

The 1-mark question gives $y = 4 - 2 x$ . When y is on its own, the gradient is the number in front of $x$ , with its sign: here $- 2$ . In $y = \frac{x}{4} + 1$ , $\frac{x}{4}$ means $\frac{1}{4} x$ , so the gradient is $\frac{1}{4}$ .

The 2-mark question gives an equation like $3 x + 2 y = 8$ . Get y on its own first.

Worked example

1
$3 x + 2 y = 8$ — The question. x and y are on the same side, so the 3 is not the gradient yet.
2
$2 y = - 3 x + 8$ — Take 3x from both sides, so only the y term is left on the left.
3
$y = - \frac{3}{2} x + 4$ — Divide every term by 2, including the 8, so y is on its own.
4
$m = - \frac{3}{2} = - 1.5$ — Now it is $y = m x + c$ , so the gradient is the number in front of x, minus sign included.

If y has a minus in front, divide by the negative number. Watch the signs.

Worked example

1
$2 x - 5 y = 10$ — The question. This time the y term is −5y.
2
$- 5 y = - 2 x + 10$ — Take 2x from both sides.
3
$y = \frac{2}{5} x - 2$ — Divide every term by −5. Negative ÷ negative is positive, so −2x becomes $+ \frac{2}{5} x$ , and 10 ÷ (−5) = −2.
4
$m = \frac{2}{5}$ — The number in front of x. Leave it as a fraction or write 0.4.

Common mistake

Answering 3. The 3 is not the gradient until y is on its own.

5. Find a Missing Coordinate

أحيانًا يعطيك السؤال الميل ويخفي أحد الإحداثيات بحرف. عوّض بكل ما تعرفه في قانون الميل: الصعود على الأفقي يساوي الميل المعطى، وابدأ بنفس النقطة في البسط والمقام. احسب المقام، ثم اضرب الطرفين فيه لتتخلص من الكسر، ثم انقل الأعداد وحل لتجد المجهول. وفي النهاية عوّض بالقيمة التي وجدتها لتتأكد أن الميل يخرج كما هو معطى. وفي أوراق المستوى الممتد قد تكون الحروف في النقطتين معًا، والخطوات نفسها.

Some questions give the gradient and hide one coordinate. Put everything into the gradient formula, then solve for the letter.

Worked example

1
$P (2, k), Q (5, 4), m = - 3$ — The question: find k. Use Q first on the top and the bottom, as always.
2
$\frac{4 - k}{5 - 2} = - 3$ — Up ÷ across, set equal to the gradient you were given.
3
$\frac{4 - k}{3} = - 3$ — Work out the bottom: 5 − 2 = 3.
4
$4 - k = - 9$ — Multiply both sides by 3 to clear the fraction: −3 × 3 = −9.
5
$- k = - 13$ — Take 4 from both sides: −9 − 4 = −13.
6
$k = 13$ — Multiply both sides by −1 to make k positive.
7
$\frac{4 - 13}{3} = \frac{- 9}{3} = - 3$ — Check: put k = 13 back in. The gradient is −3, as given.

Key idea

Extended papers may use letters for both points. For gradient 2 through $(a, 5)$ and $(b, 13)$ : $\frac{13 - 5}{b - a} = 2$ , so $8 = 2 (b - a)$ , so $a = b - 4$ . Same moves.

6. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة حسب المعطى. مع نقطتين: الصعود على الأفقي. إذا كانت الصادات وحدها: الميل هو العدد مع السينات. إذا كانت السينات والصادات معًا: اجعل الصادات وحدها أولًا. إذا كان الخط مرسومًا: خذ نقطتين دقيقتين من المحاور ثم الصعود على الأفقي. وإذا أُعطيت الميل مع إحداثي مجهول: عوّض في القانون وحل. وتحقق دائمًا من الإشارة برسم سريع: الخط النازل إلى اليمين ميله سالب.

Look at what you are given.

You see	You do
Two points	up ÷ across
y on its own, like $y = 2 - 3 x$	number in front of x
x and y together, like $5 x + 2 y = 7$	get y on its own first
A line drawn on a grid	two exact points from the axes, then up ÷ across
The gradient, with one coordinate missing	put it all in up ÷ across and solve
The equation of a line drawn on a grid	Finding the Equation From a Graph
Same direction as another line	Parallel Lines and Their Equations
At right angles to a line	Perpendicular Lines

Key idea

Check the sign with a sketch: a line going down to the right must have a negative gradient.

تدرّب على ميل الخط المستقيم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح ميل الخط المستقيم

1. What Gradient Means

2. Gradient From Two Points

3. Gradient From a Line on a Grid

4. Gradient From an Equation

5. Find a Missing Coordinate

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على ميل الخط المستقيم

أسئلة امتحانات سابقة على ميل الخط المستقيم، محلولة ومشروحة بالعربي