شرح الجذور التكعيبية

Cube Roots

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Cube Root Is

الجذر التكعيبي هو عكس التكعيب، ويسأل: ما العدد الذي إذا ضربته في نفسه ثلاث مرات أعطاك هذا العدد؟ ويُكتب بعلامة الجذر مع ثلاثة صغيرة عليها. تخيّل مكعبًا مبنيًا من قطع صغيرة: الجذر التكعيبي هو طول ضلعه. للعدد السالب جذر تكعيبي أيضًا، وهو سالب، لأن ضرب ثلاثة أعداد سالبة يعطي سالبًا، فاحتفظ بالإشارة بين قوسين. انتبه: العدد السالب ليس له جذر تربيعي، لكن له دائمًا جذر تكعيبي.

A cube root undoes cubing. It asks: which number, times itself three times, makes this? It is written with a small 3 on the root sign: $364$ .

Worked example

1
$4 \times 4 = 16$ — Start with 4. Multiply the first two fours, because two at a time is easier.
2
$16 \times 4 = 64$ — Multiply by the third 4. So 4 cubed is 64.
3
$364 = 4$ — The cube root goes backwards: 4 is the number that makes 64 when you use it three times.

Rule

Think of a cube built from 64 small blocks. The cube root is the length of one side.

A negative number has a cube root too. Keep each minus in brackets so it is not lost.

Worked example

1
$(- 2) \times (- 2) = 4$ — Minus times minus is plus, so the first two give +4.
2
$4 \times (- 2) = - 8$ — Plus times minus is minus, so the third −2 makes the answer negative.
3
$3 - 8 = - 2$ — Three negatives multiply to a negative, so the cube root of a negative number is negative.

Key idea

A negative number has no square root, because any number times itself is positive. But it always has a cube root.

2. Cube Root on a Calculator

في هذا السؤال تجد الجذر التكعيبي لعدد كبير أو عدد عشري بالآلة الحاسبة. الطريقة في ثلاث خطوات: قدّر أولًا بين أي مكعبين معروفين يقع العدد لتعرف بين أي عددين يقع الجذر، ثم استخدم مفتاح الجذر التكعيبي، ثم تحقق بتكعيب إجابتك لتعود إلى العدد الأصلي. التقدير يساعدك أيضًا على التأكد من موضع الفاصلة العشرية. الخطأ الشائع: القسمة على ثلاثة أو الضغط على مفتاح الجذر التربيعي، وهذا لا يعطي الجذر التكعيبي.

The 1-mark question: find the cube root of a big number or a decimal. Estimate first, use the cube root key, then cube your answer to check.

Worked example

1
$1 0^{3} = 1000, 2 0^{3} = 8000$ — Estimate first. 4913 is between 1000 and 8000, so its cube root is between 10 and 20.
2
$34913 = 17$ — Press the cube root key, then type 4913. 17 is between 10 and 20, so it fits the estimate.
3
$17 \times 17 = 289$ — Now check by cubing back. Multiply the first two 17s.
4
$289 \times 17 = 4913$ — Multiply by the third 17. It gives 4913, the number you started with, so 17 is right.

A decimal works the same way.

Worked example

1
$4^{3} = 64, 5^{3} = 125$ — Estimate first. 91.125 is between 64 and 125, so its cube root is between 4 and 5.
2
$3 91.125 = 4.5$ — Cube root key. 4.5 is between 4 and 5, so the decimal point is in the right place.
3
$4.5 \times 4.5 = 20.25$ — Check by cubing back. Multiply the first two.
4
$20.25 \times 4.5 = 91.125$ — Multiply by the third 4.5. It matches 91.125, so 4.5 is right.

Common mistake

Dividing by 3, or pressing the square root key. $4913 \div 3 \approx 1637.67$ is not a cube root. Always cube back to check.

3. Cube Root as a Power

أحيانًا يُكتب الجذر التكعيبي على صورة أس كسري هو واحد على ثلاثة، ومعناه تمامًا «خذ الجذر التكعيبي»، والثلاثة في المقام تقابل الثلاثة الصغيرة على علامة الجذر. الطريقة: أعد كتابة الأس جذرًا تكعيبيًا، ثم قدّر بين أي عددين يقع الجواب، ثم استخدم مفتاح الجذر التكعيبي واكتب ناتج الشاشة كاملًا، فهذا السطر قد يمنحك درجة وحده. بعد ذلك قرّب إلى منزلتين عشريتين بالنظر إلى المنزلة الثالثة، واحتفظ بالصفر الأخير إن ظهر. الخطأ الشائع: كتابة الأس في الآلة دون أقواس، فتحسب الآلة القوة ثم تقسم على ثلاثة، والصحيح أن تضع الواحد على ثلاثة بين قوسين.

Some questions write a cube root as a power, like $500 0^{\frac{1}{3}}$ . It means exactly the same thing.

Formula

x^{\frac{1}{3}} = 3 x

$x$ is the number you start with. The power $\frac{1}{3}$ means “take the cube root”: the 3 on the bottom matches the small 3 on the root sign.

Find $500 0^{\frac{1}{3}}$ , correct to 2 decimal places.

Worked example

1
$500 0^{\frac{1}{3}} = 35000$ — Rewrite the power as a cube root, so you know what you are finding.
2
$1 7^{3} = 4913, 1 8^{3} = 5832$ — Estimate first. 5000 is between these, so the answer is between 17 and 18.
3
$35000 = 17.09 975947$ — Use the cube root key and write down the full display. This line can earn a mark by itself, even if the rounding goes wrong.
4
$17.09 975947$ — For 2 decimal places, look at the 3rd decimal. It is 9, which is 5 or more, so round up.
5
$\approx 17.10$ — 17.09 rounds up to 17.10. Keep the 0: 2 decimal places means two digits after the point.

Common mistake

Using the power key and typing 5000 ^ 1 ÷ 3 with no brackets. The calculator works out $500 0^{1}$ and then divides by 3, giving 1666.67. Type the power as (1 ÷ 3), in brackets.

4. Going Backwards

هنا يُعطى الجذر التكعيبي لعدد مجهول، والمطلوب العدد نفسه. الفكرة: لكي تلغي الجذر التكعيبي، كعّب. العدد المعطى هو طول ضلع المكعب، والعدد المجهول هو المكعب كله. الطريقة: اضرب العدد في نفسه، ثم اضرب الناتج فيه مرة ثالثة، ثم تحقق بمفتاح الجذر التكعيبي. الخطأ الشائع: ضرب العدد في ثلاثة، أو تربيعه فقط، والصحيح ضربه في نفسه ثلاث مرات.

The 1-mark question: the cube root of a missing number is given. To undo a cube root, cube.

The cube root of ? is 12. Find the missing number.

Worked example

1
$3 ? = 12$ — 12 is the side of the cube. The missing number is the whole cube, so it is 12 cubed.
2
$12 \times 12 = 144$ — Cube two at a time. Multiply the first two 12s.
3
$144 \times 12 = 1728$ — Multiply by the third 12. So the missing number is 1728.
4
$31728 = 12$ — Check with the cube root key. It gives back 12, so 1728 is right.

Common mistake

Writing 36 (that is $12 \times 3$ ) or 144 (that is $1 2^{2}$ ). Cubing means three twelves multiplied.

5. Cube Roots Without a Calculator

في ورقة بلا آلة حاسبة اعتمد على المكعبات التي تحفظها من مكعب الواحد إلى مكعب العشرة. للكسر: خذ الجذر التكعيبي للبسط وحده وللمقام وحده، ثم أعدهما كسرًا، وتحقق بضرب الكسر في نفسه ثلاث مرات. للعدد العشري: اكتبه أولًا كسرًا مقامه ألف، لأن الألف عدد مكعب جذره عشرة، ثم خذ جذر البسط وجذر المقام، ثم أعد الناتج إلى صورة عشرية. قاعدة مفيدة: ثلاث منازل عشرية في العدد تعني منزلة عشرية واحدة في جذره التكعيبي. الخطأ الشائع: وضع الفاصلة في مكان خاطئ، فيخرج الجواب صغيرًا جدًا، فتحقق دائمًا بالتكعيب.

On a non-calculator paper, use the cubes you know: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. For a fraction, take the cube root of the top and of the bottom.

Formula

3 \frac{a}{b} = \frac{3 a}{3 b}

$a$ is the top of the fraction and $b$ is the bottom. Find each cube root on its own, then put them back as a fraction.

Worked example

1
$3 \frac{8}{27} = \frac{3 8}{3 27}$ — Split into the top and the bottom. Both are cube numbers.
2
$38 = 2$ — 2 × 2 × 2 = 8, so the cube root of the top is 2.
3
$327 = 3$ — 3 × 3 × 3 = 27, so the cube root of the bottom is 3.
4
$3 \frac{8}{27} = \frac{2}{3}$ — Put them back together. Check: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ .

For a decimal, write it as a fraction over 1000 first.

Worked example

1
$0.064 = \frac{64}{1000}$ — 0.064 has 3 decimal places, so it is 64 thousandths. 1000 is a cube: 10 × 10 × 10.
2
$3 \frac{64}{1000} = \frac{4}{10}$ — Cube root of the top is 4, because 4 × 4 × 4 = 64. Cube root of the bottom is 10.
3
$\frac{4}{10} = 0.4$ — Change back to a decimal. Check: 0.4 × 0.4 = 0.16, and 0.16 × 0.4 = 0.064.

Common mistake

Writing 0.04. Check it: $0.04 \times 0.04 \times 0.04 = 0.000064$ , far too small. 3 decimal places in the number means 1 decimal place in its cube root.

6. Side of a Cube from Its Volume

هذا سؤال جذر تكعيبي متنكّر: يُعطى حجم مكعب ويُطلب طول ضلعه. الفكرة: حجم المكعب هو الضلع في الضلع في الضلع، أي مكعب الضلع، لذلك فطول الضلع هو الجذر التكعيبي للحجم. الطريقة: ضع الحجم المعطى، ثم خذ جذره التكعيبي، ثم تحقق بتكعيب الضلع لتعود إلى الحجم. انتبه للوحدة: إذا كان الحجم بالسنتيمتر المكعب فالضلع بالسنتيمتر. الخطأ الشائع: قسمة الحجم على ثلاثة أو على ستة لأن للمكعب ستة أوجه، وهذا خطأ.

A cube root question in disguise: you are given the volume of a cube and asked for the length of one side.

Formula

l = 3 V

$l$ is the length of one side and $V$ is the volume. It comes from $V = l \times l \times l = l^{3}$ .

A cube has a volume of 512 cm³. Find the length of one side.

Worked example

1
$l^{3} = 512$ — Volume of a cube = side × side × side. Put in the volume, 512.
2
$l = 3512$ — Take the cube root of both sides, to undo the cube and leave the side alone.
3
$l = 8$ — 8 × 8 × 8 = 512, so the side is 8.
4
$8 \times 8 = 64, 64 \times 8 = 512$ — Check by cubing back, two at a time. It matches the volume.
5
$l = 8 cm$ — The volume is in cm³, so the side is in cm. Cubic units become plain length units.

Common mistake

Dividing the volume by 3 (512 ÷ 3 ≈ 170.67) or by 6. A cube has 6 faces, but its volume is side × side × side.

7. Which Method? Read the Question

هذا الجدول يساعدك أن تعرف من كلمات السؤال ماذا تفعل، وانتبه لاتجاه السؤال. «أوجد الجذر التكعيبي لعدد» تعني مفتاح الجذر التكعيبي ثم التكعيب للتحقق. «الجذر التكعيبي لعدد مجهول يساوي كذا» تعني أن تكعّب ذلك العدد. العدد المرفوع لأس واحد على ثلاثة هو جذر تكعيبي. «قرّب لمنزلتين عشريتين» تعني اكتب ناتج الشاشة كاملًا ثم قرّب. بلا آلة حاسبة مع كسر أو عدد عشري: جذر البسط وجذر المقام. وحجم مكعب معطى يعني أن الضلع هو الجذر التكعيبي للحجم. وتذكر: التكعيب والجذر التكعيبي كلٌّ منهما يلغي الآخر، فتحقق دائمًا بالعملية العكسية.

Look for the words cube root, and which way round they go.

You see	You do
Find the cube root of a number	cube root key, then cube to check
The cube root of ? is a number	cube that number
A number to the power ⅓	it is a cube root: cube root key
Give it to 2 decimal places	write the full display, then round
No calculator: a fraction or a decimal	cube root of the top and of the bottom
A cube's volume is given, find a side	cube root of the volume
Work out a cube, or pick a cube from a list	Cube Numbers
Square root	Square Roots
Fourth or fifth root	Further Powers and Roots

Key idea

Cubing and cube rooting undo each other. Whichever you do, do the other one to check.

تدرّب على الجذور التكعيبية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الجذور التكعيبية

1. What a Cube Root Is

2. Cube Root on a Calculator

3. Cube Root as a Power

4. Going Backwards

5. Cube Roots Without a Calculator

6. Side of a Cube from Its Volume

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الجذور التكعيبية

أسئلة امتحانات سابقة على الجذور التكعيبية، محلولة ومشروحة بالعربي