شرح الأعداد المكعبة

Cube Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Cube Number Is

تكعيب العدد يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات، والناتج يسمى عددًا مكعبًا. الأس الصغير المكتوب أعلى العدد يخبرك كم مرة تكرر العدد في الضرب، وليس العدد الذي تضرب فيه. الطريقة: اكتب العدد ثلاث مرات، ثم اضرب أول عددين، ثم اضرب الناتج في الثالث. احفظ مكعبات الأعداد من واحد إلى عشرة، لأن الامتحان يتوقع أن تعرفها فورًا. الخطأ الشائع: ضرب العدد في الأس بدل تكراره. وفي اللغز: هناك عدد شهير يمكن كتابته مجموعَ مكعبين بطريقتين مختلفتين، لاحظه العالم الهندي رامانوجان.

To cube a number, multiply it by itself three times. The answer is a cube number.

Worked example

1
$4^{3} = 4 \times 4 \times 4$ — The small 3 says how many fours to multiply. Write out all three fours so none gets lost.
2
$4 \times 4 = 16$ — Multiply the first two fours. You multiply two numbers at a time.
3
$16 \times 4 = 64$ — Now multiply 16 by the third four. All three fours are used, so $4^{3} = 64$ .

Memory trick

Learn the cubes of 1 to 10: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$ . Exams expect you to spot them on sight.

Common mistake

Reading $4^{3}$ as $4 \times 3 = 12$ . The small 3 says how many fours to multiply, not what to multiply by.

Key idea

Puzzle: which is the smallest number you can make by adding two cubes in two different ways? Answer: 1729, because $1^{3} + 1 2^{3} = 1729$ and $9^{3} + 1 0^{3} = 1729$ . The Indian mathematician Ramanujan pointed this out when his friend Hardy called 1729 a dull taxi number.

2. Work Out a Cube

في هذا السؤال تحسب قيمة مكعب عدد. الأس الصغير ثلاثة يعني أن تضرب العدد في نفسه ثلاث مرات. الطريقة: اكتب العدد ثلاث مرات، ثم اضرب أول عددين، ثم اضرب الناتج في العدد الثالث، أو استخدم مفتاح التكعيب في الآلة الحاسبة. الخطأ الشائع: التوقف بعد ضرب أول عددين، فهذا هو المربع فقط وليس المكعب، ولا بد من الضرب في العدد الثالث.

The 1-mark question: find the value of a cube, like $1 3^{3}$ . Multiply two at a time, or use the cube key on your calculator.

Worked example

1
$1 3^{3} = 13 \times 13 \times 13$ — Write out three thirteens, because the small 3 means three of them multiplied.
2
$13 \times 13 = 169$ — Multiply the first two. This is only $1 3^{2}$ , the square, so you are not finished.
3
$169 \times 13 = 2197$ — Multiply by the third 13. All three are used now, so $1 3^{3} = 2197$ .

Common mistake

Stopping at 169. That is $1 3^{2}$ , the square. A cube needs the third 13.

3. Negatives, Decimals and Fractions

المكعبات ليست للأعداد الصحيحة فقط؛ العدد السالب والعدد العشري والكسر يحتاج كلٌّ منها خطوة إضافية. العدد السالب: ضعه بين قوسين حتى تكعّب الإشارة أيضًا، وسالب في سالب يعطي موجبًا، ثم موجب في سالب يعطي سالبًا، فمكعب العدد السالب يبقى سالبًا. العدد العشري: تجاهل الفاصلة واضرب الأرقام، ثم اجمع عدد المنازل العشرية في الأعداد الثلاثة وضع الفاصلة في ناتجك. الكسر: الأس يؤثر في الكسر كله، فكعّب البسط وكعّب المقام. الأخطاء الشائعة: نسيان الإشارة السالبة، والخطأ في عدد المنازل العشرية.

Cubes are not only whole numbers. A minus sign, a decimal point or a fraction each needs one extra move.

A negative number

Worked example

1
$(- 3)^{3} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3)$ — Keep −3 in brackets, so the minus is cubed too.
2
$(- 3) \times (- 3) = 9$ — The first two: minus times minus is plus, so +9.
3
$9 \times (- 3) = - 27$ — Plus times minus is minus. So a negative number cubed stays negative.

A decimal

Worked example

1
$0. 2^{3} = 0.2 \times 0.2 \times 0.2$ — Three lots of 0.2 multiplied, the same as any cube.
2
$2 \times 2 \times 2 = 8$ — Ignore the decimal points for now and multiply the digits.
3
$0. 2^{3} = 0.00 8$ — Each 0.2 has one decimal place, so the answer has 1 + 1 + 1 = 3 decimal places.

A fraction

Worked example

1
$(\frac{2}{5})^{3} = \frac{2 ^{3}}{5 ^{3}}$ — The power acts on the whole fraction, so cube the top and the bottom.
2
$= \frac{8}{125}$ — 2 × 2 × 2 = 8 and 5 × 5 × 5 = 125.

Common mistake

Writing $(- 3)^{3} = 27$ . Three minus signs leave one minus, so it is −27.

Common mistake

Writing $0. 2^{3} = 0.8$ . Count the decimal places: three, so 0.008.

4. Spot the Cube in a List

المطلوب أن تختار عددًا مكعبًا من قائمة أو من بين حدين. الطريقة: اكتب المكعبات بالترتيب، مكعب الواحد ثم الاثنين ثم الثلاثة وهكذا، وتوقف عندما تتجاوز أكبر عدد في القائمة أو الحد الأعلى، ثم ابحث عن العدد المطابق. تحقق من إجابتك بضرب العدد في نفسه ثلاث مرات. الأخطاء الشائعة: اختيار عدد مربع بدل المكعب، فالمكعب له ثلاثة عوامل متساوية، أو اختيار جذر عدد مكعب، لأن المطلوب العدد نفسه وليس جذره.

The 1-mark question: from a list, write down a cube number. Go up the cubes 1, 8, 27, 64, 125 … and look for a match.

From 16, 25, 27, 30, 36, 49, write down a cube number.

Worked example

1
$1, 8, 27, 64$ — Write the cubes $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ in order. Stop at 64, because it is already bigger than 49, the largest number in the list.
2
$27$ — Look for a match. 27 is in the list and no other cube is, so the answer is 27.
3
$3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$ — Check it: 3 × 3 = 9, then 9 × 3 = 27. So 27 really is 3 cubed.

Some questions give a range instead: write down a cube number between 100 and 150.

Worked example

1
$4^{3} = 64, 5^{3} = 125, 6^{3} = 216$ — Go up the cubes until you pass 150.
2
$100 < 125 < 150$ — Only 125 lands inside the range, so the answer is 125.

Common mistake

Picking 16, 25, 36 or 49. They are square numbers, like $6 \times 6 = 36$ . A cube has three equal factors.

Common mistake

Picking $8$ because 8 is a cube. $8$ is not a whole number, so it is not a cube number. Only the number itself counts.

5. Make It a Cube

المطلوب أصغر عدد صحيح تضرب فيه عددًا معطى ليصبح الناتج مكعبًا. الفكرة: في العدد المكعب يأتي كل عامل أولي في مجموعات من ثلاثة، أي أن أسّه ثلاثة أو ستة أو تسعة وهكذا. الطريقة: حلّل العدد إلى عوامله الأولية أولًا، ثم انظر إلى أس كل عامل وكم ينقصه ليصل إلى مضاعف الثلاثة التالي، ثم اضرب العوامل الناقصة فقط، فهذا هو الجواب. تحقق بأن كل الأسس أصبحت من مضاعفات الثلاثة. الخطأ الشائع: كتابة المكعب الناتج أو جذره بدل العدد الذي تضرب فيه. واكتب سطر التحليل دائمًا، فقد يمنحك درجة حتى لو أخطأت بعده.

The question: find the smallest whole number to multiply by so the answer is a cube number. Prime factors make it quick, because in a cube every prime comes in groups of three.

Worked example

1
$600 = 2^{3} \times 3 \times 5^{2}$ — Write 600 as a product of primes first. Every prime must end with a power of 3, 6, 9 and so on.
2
$2^{3}$ — Three 2s: a full group, so the 2s need nothing.
3
$3 \to 3^{3}$ — Only one 3, so it needs two more 3s: $3^{2}$ .
4
$5^{2} \to 5^{3}$ — Two 5s, so it needs one more 5.
5
$3^{2} \times 5 = 9 \times 5 = 45$ — Multiply only the missing primes. The smallest number is 45.
6
$600 \times 45 = 27000 = 2^{3} \times 3^{3} \times 5^{3} = 3 0^{3}$ — Check: every power is now 3, and $2 \times 3 \times 5 = 30$ , so 27000 is 30 cubed.

Key idea

If the number is already given as primes, raise each power to the next multiple of 3. For $2^{4} \times 7$ , the 2s go from 4 up to 6 and the 7 goes from 1 up to 3, so multiply by $2^{2} \times 7^{2} = 196$ .

Common mistake

Giving 30 or 27000. The question asks for the number you multiply by, which is 45.

Key idea

Write the prime factors down. In a 2-mark question that line can earn a mark even if a later step slips.

6. Which Method? Read the Question

هذا الجدول يربط كلمات السؤال بالطريقة المناسبة. «أوجد قيمة المكعب» تعني اضرب العدد في نفسه ثلاث مرات أو استخدم مفتاح التكعيب. «اكتب عددًا مكعبًا» تعني اصعد في قائمة المكعبات حتى تجد المطابق. مكعب العدد السالب أو العشري أو الكسر يحتاج الأقواس، أو عدّ المنازل العشرية، أو تكعيب البسط والمقام. «أصغر عدد يجعل الناتج مكعبًا» تعني التحليل إلى العوامل الأولية وجعل كل أس من مضاعفات الثلاثة. ولاحظ أن بعض الأعداد مربع ومكعب في الوقت نفسه.

The words tell you which lesson you need.

You see	You do
Find the value of a cube	multiply three times, or cube key
Write down a cube number	go up the cubes: 1, 8, 27, 64, 125
A negative, decimal or fraction cubed	brackets, count decimal places, or cube top and bottom
Smallest number to make a cube	prime factors, make every power 3, 6, 9…
Cube root of a number	Cube Roots
Square number, or squared	Square Numbers
Power 4 or higher	Further Powers and Roots

Key idea

Some numbers are both. $64 = 8^{2}$ and $64 = 4^{3}$ , so 64 is a square and a cube.

تدرّب على الأعداد المكعبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد المكعبة

1. What a Cube Number Is

2. Work Out a Cube

3. Negatives, Decimals and Fractions

4. Spot the Cube in a List

5. Make It a Cube

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد المكعبة

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد المكعبة، محلولة ومشروحة بالعربي