شرح المجال والمدى

Domain and Range

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Domain and Range

الدالة مثل الآلة. المجال هو المدخلات المسموح بإدخالها، والمدى هو المخرجات التي يمكن أن تخرج منها. معظم الأسئلة تسأل: ما قيم المجهول التي يجب استبعادها؟ شيئان يُفسدان الدالة: القسمة على صفر، والجذر التربيعي لعدد سالب.

A function is a machine. The domain is the inputs you are allowed to put in. The range is the outputs that can come out.

Key idea

Most questions ask which x must be left out. Two things break a function: dividing by 0, and the square root of a negative.

2. You Cannot Divide by Zero (Higher)

إذا كان المجهول في مقام الكسر، فأوجد القيمة التي تجعل المقام صفرًا واستبعدها. انظر إلى المقام فقط، فهو وحده يسبب المشكلة. ساوِ المقام بالصفر وحلّ المعادلة: انقل العدد إلى الطرف الآخر، وإن كان معامل المجهول سالبًا فاقسم عليه وتذكّر أن السالب على السالب موجب. اكتب الجواب بصيغة: المجهول لا يساوي هذه القيمة، وكل القيم الأخرى مسموحة. الخطأ الشائع أن تساوي البسط بالصفر؛ البسط يمكن أن يكون صفرًا، أما المقام فلا.

If x is in the bottom of a fraction, find the x that makes the bottom 0. That x is left out.

Worked example

1
$g (x) = \frac{4 x}{x + 9}$ — Look at the bottom of the fraction. Only the bottom can cause trouble.
2
$x + 9 = 0$ — A fraction with 0 on the bottom has no value, so find the x that makes the bottom 0.
3
$x = - 9$ — Take 9 from both sides. Putting in x = −9 would put 0 on the bottom.
4
$x \neq = - 9$ — Write the answer as x ≠ −9. Every other value of x is allowed.

Worked example

1
$k (x) = \frac{7}{3 - 4 x}$ — A second one, with a minus in front of the x. Look at the bottom again.
2
$3 - 4 x = 0$ — Set the bottom equal to 0.
3
$- 4 x = - 3$ — Take 3 from both sides.
4
$x = \frac{- 3}{- 4} = \frac{3}{4}$ — Divide both sides by −4. A negative divided by a negative is positive.
5
$x \neq = \frac{3}{4}$ — Leave out x = 3/4, or 0.75.

Common mistake

Setting the top to 0. The top can be 0; only the bottom cannot.

3. No Square Root of a Negative (Higher)

إذا كان المجهول داخل جذر تربيعي، فيجب أن يكون ما تحت الجذر صفرًا أو أكثر، لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب. في المثال نكتب متباينة: ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي صفرًا. ننقل حد المجهول إلى الطرف الآخر حتى لا نقسم على عدد سالب، ثم نقسم الطرفين، ونقرأ المتباينة من الجهة الأخرى. انتبه: إذا سأل السؤال عن القيم التي لا يمكن استخدامها، فاكتب العكس، أي القيم الأكبر من ذلك العدد.

If x is inside a square root, the inside must be 0 or more.

Worked example

1
$g (x) = 8 - 2 x$ — Look at what is inside the root.
2
$8 - 2 x \geq 0$ — You cannot take the square root of a negative, so the inside must be 0 or more.
3
$8 \geq 2 x$ — Add 2x to both sides. This avoids dividing by a negative number later.
4
$4 \geq x$ — Divide both sides by 2.
5
$x \leq 4$ — Read it the other way round: x can be 4 or smaller.
6
$x > 4 is left out$ — The question asks which values cannot be used, so give the opposite: anything above 4.

4. The Range (Higher)

المدى يسأل: ما المخرجات الممكنة؟ الفكرة الأساسية أن المربع لا يكون سالبًا أبدًا. في المثال القوس المربع أكبر من أو يساوي صفرًا، وأصغر قيمة له هي الصفر، وتحدث عندما يساوي ما داخل القوس صفرًا. ولا يوجد حد أعلى لأن المجهول يمكن أن يكبر كما نشاء. الخطأ الشائع أن تكتب المدى بالمجهول؛ المدى عن المخرجات، فاكتبه باستخدام إف أو صاد.

The range asks which outputs are possible. A square is never negative.

Worked example

1
$f (x) = (x + 2)^{2}$ — A squared bracket.
2
$(x + 2)^{2} \geq 0$ — A square is never negative, so the squared bracket is 0 or more.
3
$x + 2 = 0 \Rightarrow f (- 2) = (- 2 + 2)^{2} = 0$ — The lowest value is 0. It happens when the bracket is 0, at x = −2.
4
$f (x) \geq 0$ — There is no top limit, because x can be as large as you like. Write the range with f(x).

Common mistake

Writing the range with x. The range is about outputs, so use f(x) or y.

5. Range of a Shifted Square (Higher)

كثيرًا ما يضيف الامتحان عددًا إلى المربع، أو يعطي الدالة دون قوس. الطريقة: اكتبها أولًا على صورة قوس مربع، ثم اقرأ أصغر قيمة. في المثال الأول المربع لا يقل عن صفر، فإذا أضفنا العدد إلى الطرفين صارت الدالة كلها لا تقل عن هذا العدد. في المثال الثاني نكمل المربع أولًا لنجد أدنى نقطة، ونتأكد أن المجال يبدأ عندها، ثم نكتب المدى. الخطأ الشائع إهمال المجال: إذا لم يصل المجهول إلى أدنى نقطة، فأصغر قيمة تكون عند بداية المجال.

Exams often add a number to the square, or give it as $x^{2} + b x$ . Write it as a squared bracket first, then read off the lowest value.

Worked example

1
$f (x) = (x - 1)^{2} + 5$ — A squared bracket, plus 5.
2
$(x - 1)^{2} \geq 0$ — A square is never negative.
3
$(x - 1)^{2} + 5 \geq 0 + 5$ — Add 5 to both sides, so the whole function is 5 or more.
4
$f (x) \geq 5$ — Write the range with f(x).

Worked example

1
$h (x) = x^{2} + 4 x, x \geq - 2$ — Complete the square first, to find the lowest point.
2
$x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$ — Half of 4 is 2, so use (x + 2)². That bracket adds an extra 4, so take 4 away.
3
$h (- 2) = (- 2 + 2)^{2} - 4 = - 4$ — The domain starts at x = −2, exactly where the bracket is 0. So −4 is the lowest value.
4
$h (x) \geq - 4$ — The values rise from −4 with no top limit.

Common mistake

Ignoring the domain. For $x^{2} + 4 x$ with $x \geq 0$ the lowest value is $h (0) = 0$ , not −4, because x never reaches −2.

6. Range from a Set of Inputs

عندما يكون المجال قائمة قصيرة من الأعداد، يكون المدى ببساطة قائمة النواتج. عوّض بكل عدد من المجال واحدًا تلو الآخر، وضع العدد السالب داخل قوس، وتذكّر أن السالب في السالب موجب. ثم رتّب النواتج من الأصغر إلى الأكبر. الخطأ الشائع أن تكتب المدى كمتباينة بين أصغر ناتج وأكبره؛ مع قائمة مدخلات لا توجد إلا هذه النواتج فقط، فاكتبها قائمة.

When the domain is a short list of numbers, the range is just the list of answers.

Worked example

1
$p (x) = 4 - 3 x, domain {- 2, 0, 3}$ — Put each number of the domain in, one at a time.
2
$p (- 2) = 4 - 3 \times (- 2)$ — Replace x with −2. Use a bracket to keep the negative sign.
3
$p (- 2) = 4 + 6 = 10$ — −3 × −2 = +6, because a minus times a minus is a plus.
4
$p (0) = 4 - 0 = 4$ — Replace x with 0.
5
$p (3) = 4 - 9 = - 5$ — Replace x with 3, then work out 4 − 9.
6
$range = {- 5, 4, 10}$ — List the outputs, smallest first. These three numbers are the whole range.

Common mistake

Writing −5 ≤ y ≤ 10. With a list of inputs only these three outputs are possible, so list them.

7. Range of an Inverse (Higher)

الدالة العكسية تبادل بين المدخلات والمخرجات. لذلك مدى الدالة العكسية هو نفسه مجال الدالة الأصلية. في المثال نقرأ مجال الدالة، ثم نكتبه مدى للدالة العكسية، أي أن كل مخرجات الدالة العكسية تبدأ من بداية ذلك المجال فما فوق.

An inverse swaps inputs and outputs. So the range of the inverse is the domain of the function.

Worked example

1
$h (x) = x^{2} + 4 x, x \geq - 2$ — The function and its domain.
2
$range of h^{- 1} = domain of h$ — An inverse swaps inputs and outputs, so the inputs of h become the outputs of the inverse.
3
$h^{- 1} (x) \geq - 2$ — The domain of h starts at −2, so every output of the inverse is −2 or more.

8. Which Method? Read the Question

ابحث في الدالة عن كسر أو جذر أو مربع. الجدول يلخص: إذا كان المجهول في المقام فاستبعد القيمة التي تجعل المقام صفرًا. إذا كان تحت جذر تربيعي فما تحته يجب أن يكون صفرًا أو أكثر. مدى المربع صفر أو أكثر. مدى الدالة العكسية هو مجال الدالة الأصلية. أما التعويض بعدد أو تركيب دالتين فارجع إلى درس الدوال المركبة. تذكّر: المجال يُكتب بالمجهول، والمدى يُكتب بإف أو صاد.

Look for a fraction, a root or a square.

You see	You do
x in the bottom	bottom = 0 is left out
x in a square root	inside must be 0 or more
Range of a square	0 or more
Range of an inverse	the domain of the function
Find f(3) or fg(x)	Composite Functions

Key idea

Domain uses x. Range uses f(x) or y.

تدرّب على المجال والمدى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المجال والمدى

1. Domain and Range

2. You Cannot Divide by Zero (Higher)

3. No Square Root of a Negative (Higher)

4. The Range (Higher)

5. Range of a Shifted Square (Higher)

6. Range from a Set of Inputs

7. Range of an Inverse (Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على المجال والمدى

أسئلة امتحانات سابقة على المجال والمدى، محلولة ومشروحة بالعربي