شرح التكبير

Enlargement

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What an Enlargement Does

التكبير يغيّر حجم الشكل ولا يغيّر هيئته، ويتحكم فيه أمران: معامل التكبير والمركز. القاعدة: كل ضلع يُضرب في المعامل، وكل رأس يصبح بعده عن المركز مضروبًا في المعامل وفي الاتجاه نفسه. إذا كان المعامل بين الصفر والواحد صغُر الشكل، ومع ذلك نسميه تكبيرًا. مثال من الحياة: زر التكبير في آلة التصوير الذي يحوّل الورقة إلى المقاس الأكبر التالي هو تكبير يضرب كل طول في الجذر التربيعي لاثنين.

An enlargement changes the size of a shape but not its shape. Two numbers control it: the scale factor and the centre.

Rule

Every side is multiplied by the scale factor. Every corner ends up scale factor times as far from the centre, in the same direction.

Key idea

A scale factor between 0 and 1 makes the shape smaller. It is still called an enlargement.

Key idea

The 141% button on a photocopier turns A4 into A3. It is an enlargement with scale factor $2 \approx 1.41$ : every length is multiplied by $2$ , and two A4 sheets fit exactly on one A3.

2. Enlarging From a Centre

هذا أشهر سؤال في التكبير: كبّر الشكل بمعامل معيّن من مركز معيّن. القاعدة الذهبية: ابدأ العدّ دائمًا من المركز. لكل رأس: احسب كم يبعد عن المركز أفقيًا ورأسيًا، بطرح إحداثيي المركز أو بعدّ المربعات. ثم اضرب الحركتين في المعامل، فيصبح الرأس الجديد أبعد عن المركز بقدر المعامل وفي الاتجاه نفسه. بعدها أضف الحركتين الجديدتين إلى المركز لتحصل على الرأس في الصورة، وكرّر ذلك لكل رأس. الخطأ الشائع أن تعدّ من الرأس نفسه أو تضرب إحداثيي الرأس مباشرة، وهذا لا يصح إلا إذا كان المركز نقطة الأصل.

The most common 2-mark question: enlarge a shape with scale factor 2, centre (2, 1). Always count from the centre.

Worked example

1
$centre (2, 1), scale factor 2, corner (3, 2)$ — Start from the centre. Every corner is measured from it.
2
$3 - 2 = 1 right, 2 - 1 = 1 up$ — Take the centre's coordinates away from the corner's (or count squares) to see how far across and up it is.
3
$1 \times 2 = 2 right, 1 \times 2 = 2 up$ — Multiply both moves by the scale factor. The image corner is twice as far from the centre, in the same direction.
4
$(3, 2) \to (2 + 2, 1 + 2) = (4, 3)$ — Add the new moves to the centre.
5
$(5, 2) : 5 - 2 = 3 right, 2 - 1 = 1 up$ — Second corner: its moves from the centre.
6
$3 \times 2 = 6 right, 1 \times 2 = 2 up$ — Multiply both moves by 2.
7
$(5, 2) \to (2 + 6, 1 + 2) = (8, 3)$ — Add the new moves to the centre.
8
$(3, 3) : 3 - 2 = 1 right, 3 - 1 = 2 up$ — Third corner: its moves from the centre.
9
$1 \times 2 = 2 right, 2 \times 2 = 4 up$ — Multiply both moves by 2.
10
$(3, 3) \to (2 + 2, 1 + 4) = (4, 5)$ — Add the new moves to the centre.

Common mistake

Counting the steps from the corner, or doubling the coordinates. That only works when the centre is (0, 0).

3. A Fraction Scale Factor

قد يكون معامل التكبير كسرًا مثل النصف أو الثلث، والطريقة نفسها تمامًا، لكن الصورة تخرج أصغر وأقرب إلى المركز. ابدأ من المركز، واطرح إحداثيي المركز من إحداثيي الرأس لتعرف حركتيه الأفقية والرأسية. اضرب الحركتين في الكسر، فإذا كان المعامل نصفًا صار الرأس على نصف المسافة من المركز. ثم أضف الحركتين الجديدتين إلى المركز، وكرّر لكل رأس. الخطأ الشائع أن تأخذ نصف إحداثيي الرأس مباشرة؛ عُدّ دائمًا من المركز.

The 2-mark question can use a scale factor like $\frac{1}{2}$ or $\frac{1}{3}$ . Same method: the image comes out smaller and closer to the centre.

Worked example

1
$centre (1, 1), scale factor \frac{1}{2}, corner (9, 1)$ — Start from the centre, as always.
2
$9 - 1 = 8 right, 1 - 1 = 0 up$ — Corner minus centre gives the moves from the centre.
3
$8 \times \frac{1}{2} = 4 right, 0 \times \frac{1}{2} = 0 up$ — A scale factor of one half makes the corner half as far from the centre.
4
$(9, 1) \to (1 + 4, 1 + 0) = (5, 1)$ — Add the shorter moves to the centre. The image is closer to the centre.
5
$(5, 5) : 5 - 1 = 4 right, 5 - 1 = 4 up$ — Second corner: its moves from the centre.
6
$4 \times \frac{1}{2} = 2 right, 4 \times \frac{1}{2} = 2 up$ — Halve both moves.
7
$(5, 5) \to (1 + 2, 1 + 2) = (3, 3)$ — Add the halved moves to the centre.
8
$(5, 1) : 4 right, 0 up \to 2 right, 0 up$ — Third corner: its moves from the centre are 4 and 0. Halving them gives 2 and 0.
9
$(5, 1) \to (1 + 2, 1 + 0) = (3, 1)$ — Add the halved moves to the centre.

Common mistake

Halving the corner's coordinates: (9, 1) is not sent to (4.5, 0.5). Count from the centre.

4. Enlarging From the Origin

إذا كان مركز التكبير هو نقطة الأصل فهناك طريقة سريعة: إحداثيا الرأس هما نفسهما حركتاه من المركز، فتضرب كل إحداثي في معامل التكبير مباشرة لتحصل على الرأس المناظر في الصورة. طبّق ذلك على كل رأس. ومع المعامل الكسري والإحداثي السالب انتبه للإشارة: المعامل الموجب لا يغيّر الإشارة، فنصف العدد السالب يبقى سالبًا. المعامل الموجب يُبقي الصورة في الربع نفسه، ويقرّب الرؤوس من الأصل أو يبعدها فقط. الخطأ الشائع استعمال هذه الطريقة والمركز ليس نقطة الأصل؛ عندها يجب أن تعدّ من المركز كما في البطاقات السابقة.

When the centre is the origin $(0, 0)$ , there is a quick way. A corner's coordinates are exactly its moves from the centre, so you multiply them.

Formula

(x, y) \to (k x, k y)

$(x, y)$ is a corner of the object. $k$ is the scale factor. $(k x, k y)$ is the matching corner of the image. This only works when the centre is $(0, 0)$ .

Worked example

1
$centre (0, 0), k = 3, corner (2, 1)$ — From the origin, the corner's coordinates are its moves from the centre.
2
$(3 \times 2, 3 \times 1)$ — Multiply each coordinate by the scale factor 3.
3
$(2, 1) \to (6, 3)$ — Work out each product.
4
$(4, 1) \to (3 \times 4, 3 \times 1) = (12, 3)$ — Same rule for the next corner.
5
$(2, 3) \to (3 \times 2, 3 \times 3) = (6, 9)$ — And for the last corner.

Now a fraction, with a negative coordinate. Take care with the sign.

Worked example

1
$centre (0, 0), k = \frac{1}{2}, corner (- 6, 4)$ — A fraction scale factor makes the image smaller.
2
$\frac{1}{2} \times (- 6) = - 3$ — Half of −6 is −3. A positive scale factor does not change the sign.
3
$\frac{1}{2} \times 4 = 2$ — Half of 4 is 2.
4
$(- 6, 4) \to (- 3, 2)$ — Write the two new coordinates together.

Common mistake

Using this rule when the centre is not $(0, 0)$ . Then you must count from the centre, as in the earlier cards.

Key idea

A positive scale factor keeps the image in the same quadrant as the object. It only moves the corners towards or away from the origin.

5. Scale Factor and Lengths

بعض الأسئلة تعطيك أطوالًا فقط. كل طول في الشكل يُضرب في معامل التكبير، والمعامل يساوي طول الصورة مقسومًا على الطول المناظر في الأصل. للأمام: اضرب كل ضلع وحده في المعامل، وإذا كان المعامل أكبر من واحد فلا بد أن تطول الأضلاع. للخلف: إذا عرفت ضلع الصورة والمعامل فاقسم ضلع الصورة على المعامل، لأن القسمة تلغي الضرب، ثم تحقق بالضرب مرة أخرى. الخطأ الشائع جمع المعامل مع الطول؛ التكبير يضرب ولا يجمع أبدًا. وتذكّر أن الأطوال فقط تُضرب في المعامل، أما المساحات فتتغير بمقدار آخر تراه في درس معامل مساحة الأشكال المتشابهة.

Some questions give only lengths. Every length of the shape is multiplied by the scale factor, so you can go forwards or backwards.

Formula

k = \frac{image length}{object length}

$k$ is the scale factor. The image length is the object length times $k$ . To go back, divide the image length by $k$ .

Worked example

1
$4.8 cm by 6.5 cm, k = 2.5$ — Every length is multiplied by the scale factor. Do each side on its own.
2
$4.8 \times 2.5 = 12$ — Multiply the first side by 2.5.
3
$6.5 \times 2.5 = 16.25$ — Multiply the second side by 2.5.
4
$12 cm by 16.25 cm$ — Both sides got longer, as they should when the scale factor is bigger than 1.

Now going backwards: you know the image side and the scale factor.

Worked example

1
$image 18 cm, k = 1.5$ — We want the object side, which is the one that was multiplied.
2
$object = image \div k$ — Dividing undoes multiplying.
3
$18 \div 1.5 = 12$ — Work it out. The object side is 12 cm.
4
$12 \times 1.5 = 18$ — Check: multiply back and you get the image side.

Common mistake

Adding the scale factor to the length. Enlarging multiplies, it never adds.

Key idea

Only lengths are multiplied by $k$ . Areas change by a different amount: see Area Factor of Similar Shapes.

6. Finding the Centre and Scale Factor

في هذا السؤال يُعطى الشكلان معًا، وعليه عادة ثلاث درجات. أولًا رتّب الرؤوس المتناظرة في الشكلين. لإيجاد المعامل قِس الضلع نفسه في الشكلين واقسم ضلع الصورة على ضلع الأصل. لإيجاد المركز ارسم خطًا مستقيمًا طويلًا يمر برأس وصورته، ثم خطًا ثانيًا يمر بزوج آخر، فخط واحد لا يكفي؛ نقطة تقاطع الخطين هي المركز، وأي زوج ثالث يمر بها أيضًا. تحقق أن بُعد رأس الصورة عن المركز يساوي بُعد رأس الأصل مضروبًا في المعامل. الخطأ الشائع قسمة الأصل على الصورة، فتحصل على كسر يجعل الصورة أصغر خطأً.

The 3-mark question shows both shapes. Find the scale factor from a pair of sides, and the centre from lines through matching corners.

Worked example

1
$object (2, 2), (3, 2), (2, 3) image (3, 3), (5, 3), (3, 5)$ — Matching corners are in the same order on both shapes.
2
$object side 3 - 2 = 1, image side 5 - 3 = 2$ — Measure the same side on both shapes: the bottom edge.
3
$scale factor = \frac{2}{1} = 2$ — Scale factor is image side divided by object side.
4
$(2, 2) and (3, 3)$ — Draw a long straight line through one pair of matching corners.
5
$(2, 3) and (3, 5)$ — Draw a second line through another matching pair. One line is not enough, you need two.
6
$lines cross at (1, 1)$ — The centre is the point where the lines cross. A third pair, (3, 2) and (5, 3), also passes through it.
7
$(1, 1) \to (2, 2) : 1 right, 1 up (1, 1) \to (3, 3) : 2 right, 2 up$ — Check: the image corner is twice as far from the centre as the object corner.

Common mistake

Dividing object by image. That gives $\frac{1}{2}$ , which would make the image smaller.

Key idea

To write it up, see Describing Transformations: Enlargement, scale factor 2, centre (1, 1).

7. Which Method? Read the Question

ابحث في السؤال عن المركز وعن قيمة معامل التكبير. إذا أُعطي المركز فعُدّ منه واضرب في المعامل. إذا كان المركز نقطة الأصل فاضرب الإحداثيين مباشرة في المعامل. إذا كان المعامل أقل من واحد فالطريقة نفسها والصورة تصغر. إذا لم يُعطَ مركز فاضرب كل ضلع في المعامل وارسم الصورة في أي مكان. لإيجاد المعامل اقسم ضلع الصورة على ضلع الأصل. وإذا طُلب الوصف الكامل فارجع إلى درس وصف التحويلات، والمعامل السالب له درس التكبير السالب. للتحقق: كل ضلع في الصورة يساوي ضلعه في الأصل مضروبًا في المعامل.

Look for the centre and the size of the scale factor.

You see	You do
Enlarge, centre given	count from the centre, multiply
Centre is (0, 0)	multiply both coordinates by the scale factor
Scale factor less than 1	same, the image shrinks
No centre given	multiply every side, draw anywhere
Find the scale factor	image side ÷ object side
Describe fully	Describing Transformations
Negative scale factor	Negative Enlargement

Key idea

Check: every image side should be the scale factor times its object side.

تدرّب على التكبير

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التكبير

1. What an Enlargement Does

2. Enlarging From a Centre

3. A Fraction Scale Factor

4. Enlarging From the Origin

5. Scale Factor and Lengths

6. Finding the Centre and Scale Factor

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على التكبير

أسئلة امتحانات سابقة على التكبير، محلولة ومشروحة بالعربي