شرح تساوي الحجوم: الصهر وإعادة الصب

Equating Volumes: Melting and Recasting

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Same Stuff, New Shape

إذا أذبت شمعة وصببت الشمع في قالب جديد يتغير الشكل لكن كمية الشمع تبقى كما هي. القاعدة: عند الصهر أو إعادة التشكيل أو الصب يبقى الحجم ثابتًا، فالحجم قبل يساوي الحجم بعد. أنت تعرف حجم كل مجسم من درسه: المنشور وشبه المكعب مساحة المقطع في الطول، والأسطوانة باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، والمخروط ثلث ذلك، والكرة أربعة أثلاث باي في مكعب نصف القطر. وغالبًا يطبع السؤال قانوني الكرة والمخروط لك. الخطأ الشائع: مساواة المساحات السطحية؛ السطح الخارجي يتغير تمامًا، والحجم وحده يبقى.

Melt a candle and pour the wax into a new mould. The shape changes, but there is exactly as much wax as before.

Rule

Melted, recast or poured: the volume stays the same. So volume before equals volume after.

You already know each volume from its own lesson. Questions usually print the sphere and cone formulas for you.

Solid	Volume
Prism or cuboid	end area × length
Cylinder	$π r^{2} h$
Cone	$\frac{1}{3} π r^{2} h$
Sphere	$\frac{4}{3} π r^{3}$

Common mistake

Setting the surface areas equal. The outside changes completely when the shape changes. Only the volume is kept.

2. Melted and Made Into a New Solid

في هذا السؤال يُصهر مجسم ويُصنع منه مجسم آخر. احسب حجم المجسم القديم واترك باي، ثم اكتب حجم الجديد بقانونه واجعله مساويًا للقديم، ثم حلّ المعادلة. باي موجود في الطرفين فيُحذف. ثم اضرب في ثلاثة واقسم على أربعة لتعزل مكعب نصف القطر، ثم خذ الجذر التكعيبي. في أوراق المستوى الموسّع تأتي الأطوال بحروف، والطريقة نفسها: ربّع الحد كله أولًا، ثم ساوِ الحجمين وبسّط وخذ الجذر التكعيبي. الخطأ الشائع: التوقف عند مكعب نصف القطر وكتابة الناتج جوابًا؛ نصف القطر كان مكعبًا فيجب أخذ الجذر التكعيبي.

The 3 or 4-mark question: one solid is melted and made into another. Find the old volume, set it equal to the new one, and solve.

A cylinder of radius 2 cm and height 9 cm is melted and made into a sphere. Find the radius of the sphere.

Worked example

1
$π \times 2^{2} \times 9 = 36 π$ — the metal in the cylinder. Keep π.
2
$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$ — the sphere has the same volume
3
$\frac{4}{3} r^{3} = 36$ — π is on both sides, so it cancels
4
$r^{3} = 36 \times \frac{3}{4} = 27$ — times by 3, divide by 4
5
$r = 327 = 3 cm$ — r is cubed, so cube root

Extended papers do the same with letters. A cone of radius $3 x$ and height $12 x$ is made into a sphere.

Worked example

1
$\frac{1}{3} π (3 x)^{2} (12 x) = 36 π x^{3}$ — the cone: square 3x first
2
$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π x^{3}$ — set the volumes equal
3
$r^{3} = 27 x^{3}$ — cancel π, times 3, divide by 4
4
$r = 3 x$ — the cube root of 27 is 3

Common mistake

Stopping at $r^{3} = 27$ and writing 27. The radius was cubed, so you must cube root it.

3. Poured Into Another Container

عندما يُصب الماء من وعاء إلى آخر، كمية الماء لا تتغير، فحجمه في الوعاء الأول يساوي حجمه في الثاني. احسب حجم الماء في الخزان بالطول في العرض في عمق الماء. ثم اكتب حجم الماء في الأسطوانة بقانونها مع عمق الماء الجديد، وساوِ بينهما. اقسم الطرفين على العدد المضروب في مربع نصف القطر، ثم خذ الجذر التربيعي وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع: استخدام ارتفاع الخزان كله بدل عمق الماء؛ الماء وحده هو الذي يُصب.

The 3-mark question: water is poured from one container into another. The water does not change, so its two volumes are equal.

A tank 30 cm by 20 cm holds water 12 cm deep. It is poured into a cylinder, where it is 18 cm deep. Find the radius of the cylinder.

Worked example

1
$30 \times 20 \times 12 = 7200$ — the water in the tank, in cm³
2
$π r^{2} \times 18 = 7200$ — the same water in the cylinder
3
$r^{2} = \frac{7200}{18 π} = 127.32 \dots$ — divide by 18π
4
$r = 127.32 \dots = 11.3 cm$ — square root, 3 significant figures

Common mistake

Using the height of the tank instead of the depth of the water. Only the water is poured, so use 12, not the full height.

4. Drop It In or Take It Out

عندما يغوص مجسم في الماء يرتفع مستوى الماء بمقدار حجم المجسم موزعًا على قاعدة الخزان؛ فالارتفاع يساوي حجم المجسم مقسومًا على مساحة قاعدة الخزان. في المثال: احسب حجم الكرة، ثم تخيّل طبقة رقيقة من الماء فوق القاعدة عمقها مجهول، واجعل حجمها مساويًا لحجم الكرة، فيُحذف باي وتجد مقدار الارتفاع. أخيرًا أضفه إلى العمق الأصلي لتحصل على العمق الجديد. إذا كان نصف الكرة فقط تحت الماء فهي تزيح نصف حجمها فقط، وإذا أُخرجت الكرة ينخفض المستوى بالمقدار نفسه. وتقول القصة إن أرخميدس رأى ماء حوضه يرتفع حين دخله فصاح: «وجدتها!»، فقد وجد طريقة لقياس حجم شكل غير منتظم مثل تاج الملك الذهبي.

The 3-mark question: a solid sinks into water, or is lifted out. The water level moves by the solid's volume, spread over the base of the tank.

Formula

rise = \frac{volume of the solid}{base area of the tank}

The sphere from the last card (radius 3 cm) sinks into a cylinder of water of radius 10 cm. The water was 15 cm deep.

Worked example

1
$\frac{4}{3} π \times 3^{3} = 36 π$ — the sphere pushes up its own volume
2
$π \times 1 0^{2} \times d = 36 π$ — a thin layer of water, depth d
3
$d = \frac{36 π}{100 π} = 0.36 cm$ — π cancels
4
$15 + 0.36 = 15.36 cm$ — the new depth

Common mistake

Only half the ball is under water? Then it pushes up only half its volume. Take the sphere out and the level falls by the same amount.

Key idea

The story goes that Archimedes saw his bath water rise as he got in, and shouted "Eureka!" ("I have found it!"). He had found a way to measure the volume of an odd shape, like the king's gold crown.

5. How Many Can You Make?

في سؤال «كم قطعة يمكن أن تصنع؟» يُصهر مجسم كبير ويُصنع منه كثير من المجسمات الصغيرة. احسب حجم المجسم الكبير، ثم حجم قطعة صغيرة واحدة، ثم اقسم الكبير على الصغير. قرّب الناتج دائمًا إلى الأسفل، لأنه لا توجد أجزاء من كرات؛ المعدن لا يكفي للكرة الأخيرة مهما بدا الناتج قريبًا. وإذا سُئلت عن المعدن المتبقي فاطرح حجم الكرات المصنوعة من حجم المجسم الكبير. الخطأ الشائع: التقريب إلى الأعلى.

The how-many question: one big solid is melted into many small ones. Divide the big volume by one small volume, then round down.

A metal block 10 cm by 8 cm by 6 cm is melted into balls of radius 1.5 cm.

Worked example

1
$10 \times 8 \times 6 = 480$ — the block, in cm³
2
$\frac{4}{3} π \times 1. 5^{3} = 4.5 π$ — one ball, about 14.14
3
$480 \div 4.5 π = 33.95 \dots$ — how many balls of metal
4
$33 balls$ — round down: no part balls

Common mistake

Rounding 33.95 up to 34. There is not enough metal for the 34th ball, however close it looks.

Key idea

Asked how much metal is left? Take away what was used: $480 - 33 \times 4.5 π$ is about 13.5 cm³.

6. Units First

قبل أن تساوي بين حجمين تأكد أن الاثنين بالوحدة نفسها، فاللتر والمتر يختبئان في هذه الأسئلة. اللتر يساوي ألف سنتيمتر مكعب، والمتر المكعب يساوي مليون سنتيمتر مكعب. في المثال: حوّل اللترات إلى سنتيمترات مكعبة أولًا، ثم اكتب حجم الماء في الأسطوانة بقانونها والارتفاع مجهول، وساوِ بينهما، ثم اقسم لتجد العمق. الخطأ الشائع: الظن أن المتر المكعب يساوي مئة سنتيمتر مكعب فقط؛ المتر مئة سنتيمتر في كل اتجاه من الاتجاهات الثلاثة، فنضرب مئة في نفسها ثلاث مرات.

Before you set two volumes equal, check that both use the same unit. Litres and metres hide in these questions.

Rule

$1 litre = 1000 cm^{3}$ and $1 m^{3} = 1000000 cm^{3}$ .

2 litres of water are poured into a cylinder of radius 8 cm. How deep is the water?

Worked example

1
$2 litres = 2000 cm^{3}$ — change units first
2
$π \times 8^{2} \times h = 2000$ — same water in the cylinder
3
$h = \frac{2000}{64 π} = 9.95 cm$ — divide by 64π

Common mistake

Thinking $1 m^{3}$ is 100 cm³. A metre is 100 cm in each of three directions, so it is $10 0^{3}$ .

7. Which Method? Read the Question

ابحث عن الشيئين اللذين يحملان الكمية نفسها، ثم اكتب: الحجم قبل يساوي الحجم بعد. إذا قرأت صُهر أو أُعيد تشكيله فساوِ الحجمين. إذا صُب في وعاء آخر فحجم الماء ثابت. إذا غاص مجسم أو أُخرج فالارتفاع هو حجم المجسم مقسومًا على مساحة القاعدة. إذا سُئلت كم قطعة يمكن صنعها فاقسم الحجمين وقرّب إلى الأسفل. إذا ظهرت اللترات أو الأمتار فحوّل إلى سنتيمترات مكعبة أولًا. أما إيجاد طول في مجسم واحد أو مساحته السطحية فلهما دروس خاصة. واترك باي رمزًا، فهو في الطرفين ويُحذف غالبًا، وقرّب مرة واحدة في النهاية.

Find the two things that hold the same amount. Then write that volume before equals volume after.

You see	You do
Melted, recast, made into	set the two volumes equal
Poured into another container	the water's volume stays the same
Sinks in, or is taken out	solid's volume ÷ base area gives the rise
How many can be made	divide the volumes, round down
Litres or metres	change to cm³ first
One solid, find a length	Volume of a Prism
Then find the surface area	Surface Area of a Cuboid and Cylinder

Key idea

Keep π as a symbol. It is on both sides, so it usually cancels and you round only once, at the end.

تدرّب على تساوي الحجوم: الصهر وإعادة الصب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تساوي الحجوم: الصهر وإعادة الصب

1. Same Stuff, New Shape

2. Melted and Made Into a New Solid

3. Poured Into Another Container

4. Drop It In or Take It Out

5. How Many Can You Make?

6. Units First

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على تساوي الحجوم: الصهر وإعادة الصب

أسئلة امتحانات سابقة على تساوي الحجوم: الصهر وإعادة الصب، محلولة ومشروحة بالعربي