شرح المحيط والمساحة والحجم المركب

Composite Perimeter, Area and Volume

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Add the Pieces or Cut One Out

الشكل المركّب مصنوع من أشكال بسيطة تعرف مساحاتها، مثل المستطيل والمثلث والدائرة. إذا كانت القطع ملتصقة ببعضها فاجمع مساحاتها. وإذا كانت قطعة مقطوعة من الشكل، كفتحة في وسطه، فاطرح مساحة الفتحة من مساحة الشكل الكامل. ابدأ دائمًا برسم خطوط التقسيم على الشكل، واكتب أبعاد كل قطعة قبل أن تحسب أي شيء.

A composite shape is made of simple shapes: rectangles, triangles, circles. You already know each of their areas.

The shape	You do
Pieces joined together	add the areas
A piece cut out	whole take the hole

Rule

Draw the split lines on the diagram first. Write the size of every piece before you work anything out.

2. Split Into Rectangles and Triangles

في سؤال الأربع درجات يكون الشكل بأضلاع مستقيمة وفيه طول مجهول. قسّم الشكل إلى قطع بسيطة: هنا مثلث فوق مستطيل. احسب مساحة المثلث بنصف القاعدة في الارتفاع، واكتب مساحة المستطيل بالعرض في الارتفاع المجهول. القطعتان معًا هما الشكل كله، فاجعل مجموع مساحتيهما مساويًا للمساحة الكلية المعطاة، ثم حلّ المعادلة: اطرح مساحة المثلث من الطرفين، ثم اقسم على العرض. تحقق بالتعويض. الخطأ الشائع: استخدام الضلع المائل ارتفاعًا للمثلث؛ الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة.

The 4-mark question: a shape with straight sides and one missing length. Here a rectangle 12 cm wide and x cm tall has a triangle on top, base 12 cm and height 5 cm. The total area is 114 cm². Find x.

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ — The triangle on top: half × base × height. Its height 5 is at right angles to the 12 cm base.
2
$12 \times x = 12 x$ — The rectangle: width × height. The height is the unknown, so its area is 12x.
3
$12 x + 30 = 114$ — The two pieces make the whole shape, so their areas add up to the total, 114.
4
$12 x = 84$ — Take 30 from both sides so the x term is alone.
5
$x = 7 cm$ — Divide both sides by 12. Check: 12 × 7 + 30 = 114.

Common mistake

Using a sloping side as the triangle's height. The height must be at right angles to the base.

3. Find the Missing Lengths First

كثيرًا ما يترك الامتحان بعض الأضلاع بلا طول، فأوجدها أولًا وبعدها يسهل المحيط والمساحة. في الشكل على هيئة حرف لام، الضلعان الأفقيان في الأعلى معًا يساويان العرض الكامل، فاطرح المعلوم من العرض لتجد المجهول. وبالطريقة نفسها الضلعان الرأسيان على اليمين معًا يساويان الارتفاع الكامل. للمحيط امشِ حول الأضلاع الخارجية الستة مرة واحدة واجمعها. للمساحة ارسم خطًا يقسم الشكل إلى مستطيلين، واحسب مساحة كل منهما ثم اجمع، ويمكنك التحقق بطرح الركن الناقص من المستطيل الكامل. الخطأ الشائع: إضافة خط التقسيم إلى المحيط، وهو داخل الشكل لا على حافته.

Exams often leave some sides without a length. Find them first, then the perimeter or area is easy.

An L-shape: the bottom is 10 cm, the left side 8 cm, the top 4 cm and the short right side 3 cm. Every corner is a right angle. Two inside edges have no length.

Worked example

1
$10 - 4 = 6$ — The two top edges together span the full width, 10 cm. One is 4, so the inside top edge is 6.
2
$8 - 3 = 5$ — The two right-hand edges together make the full height, 8 cm. One is 3, so the inside step is 5.
3
$P = 10 + 8 + 4 + 5 + 6 + 3 = 36 cm$ — Walk round all six outside edges once and add them.
4
$4 \times 8 = 32$ — For the area, cut with a line straight down. The tall part is 4 wide and 8 high.
5
$6 \times 3 = 18$ — The short part on the right is 6 wide and 3 high.
6
$32 + 18 = 50 cm^{2}$ — Add the two pieces. Check another way: 10 × 8 − 6 × 5 = 50 too.

Common mistake

Adding the cut line to the perimeter. You drew it to split the area. It is inside the shape, so it is not part of the edge.

4. Floor Plans and Tins of Paint

في سؤال الخمس درجات تحسب مساحة أرضية، ثم عدد علب الطلاء، ثم التكلفة. الأرضية مستطيل ينقصه ركن، فاحسب مساحة المستطيل الكامل كأن الركن موجود، ثم اطرح مساحة الركن الناقص. بعدها اقسم مساحة الأرضية على المساحة التي تغطيها العلبة الواحدة لتعرف عدد العلب اللازمة. إذا خرج الناتج كسرًا فقرّب دائمًا إلى الأعلى، لأن العدد الأقل لا يغطي الأرضية كلها. أخيرًا التكلفة هي عدد العلب في سعر العلبة الواحدة. الخطأ الشائع: التقريب إلى الأسفل فيبقى جزء من الأرضية بلا طلاء.

The 5-mark question: find the area of a floor, then how many tins and the cost. Here the floor is a 9 m by 7 m rectangle with a 4 m by 3 m corner missing. One tin covers 12 m² and costs $18.

Worked example

1
$9 \times 7 = 63$ — The full rectangle round the floor, as if the corner were still there.
2
$4 \times 3 = 12$ — The missing corner.
3
$63 - 12 = 51 m^{2}$ — Whole take the corner leaves the floor area.
4
$51 \div 12 = 4.25$ — Each tin covers 12 m², so divide to see how many tins the floor needs.
5
$5 tins$ — 4 tins cover only 48 m², less than 51. So round up, never down.
6
$5 \times $18 = $90$ — The cost is the number of tins × the price of one tin.

Common mistake

Buying 4 tins because 4.25 rounds to 4. Part of the floor would be bare, so always round tins up.

5. Circles With Other Shapes

هذا السؤال يخلط الأضلاع المستقيمة بالمنحنيات. في المثال الأول نصف دائرة ملتصق بضلع المستطيل القصير: احسب مساحة المستطيل، ثم لاحظ أن ذلك الضلع هو قطر نصف الدائرة، فاقسمه على اثنين لتحصل على نصف القطر. احسب مساحة الدائرة الكاملة ثم خذ نصفها، واجمع القطعتين، واترك باي في الآلة الحاسبة حتى السطر الأخير ثم قرّب. في المثال الثاني دائرة مقطوعة من مستطيل: احسب المستطيل كاملًا مع الفتحة، ثم اطرح مساحة الدائرة لتبقى المساحة المظللة. الخطأ الشائع: استخدام القطر مكان نصف القطر.

The 5-mark question mixes straight edges and curves. First: a 10 cm by 6 cm rectangle with a semicircle on one 6 cm side.

Worked example

1
$10 \times 6 = 60$ — The rectangle: length × width.
2
$r = 6 \div 2 = 3$ — The semicircle sits on the 6 cm side, so 6 is its diameter. Halve it to get the radius.
3
$π \times 3^{2} = 9 π$ — The area of the whole circle, $π r^{2}$ .
4
$\frac{1}{2} \times 9 π = 4.5 π$ — The semicircle is half a circle, so halve it.
5
$60 + 4.5 π = 74.1 cm^{2}$ — Add the pieces. Keep π in the calculator until this last line, then round to 3 s.f.

Second: a 14 cm by 10 cm rectangle with a circle of radius 4 cm cut out.

Worked example

1
$14 \times 10 = 140$ — The whole rectangle, hole included.
2
$π \times 4^{2} = 16 π$ — The hole: $π r^{2}$ with radius 4.
3
$140 - 16 π = 89.7 cm^{2}$ — Whole take the hole leaves the shaded part. Round to 3 s.f.

Common mistake

Using the diameter 6 as the radius. The semicircle sits on the 6 cm side, so its radius is 3.

6. Perimeter: Only the Outside Edge

المحيط هو الحافة الخارجية فقط. امشِ حول الشكل من الخارج، واترك أي ضلع تلتقي عنده قطعتان لأنه صار داخل الشكل. في المثال: اجمع الأضلاع المستقيمة الثلاثة الخارجية للمستطيل، ولا تحسب الضلع الذي تحت نصف الدائرة. ثم احسب محيط الدائرة الكاملة من قطرها وخذ نصفه، لأن نصف الدائرة فقط على الحافة. أخيرًا اجمع الجزء المستقيم والجزء المنحني وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع: إضافة الضلع الذي تحت نصف الدائرة.

The 3-mark question asks for the perimeter. Walk round the outside. Edges where two pieces join are inside, so leave them out. Here: the 10 cm by 6 cm rectangle with a semicircle on one 6 cm side.

Worked example

1
$10 + 6 + 10 = 26$ — The three straight outside sides. The 6 cm side under the semicircle is inside, so it is left out.
2
$π \times 6 = 6 π$ — A full circle's edge is $π d$ . The diameter is 6.
3
$\frac{1}{2} \times 6 π = 3 π$ — Only half the circle is on the edge, so halve it.
4
$26 + 3 π = 35.4 cm$ — Add the straight part and the curved part. Round to 3 s.f.

Common mistake

Adding the 6 cm edge under the semicircle. It is inside the shape, not on the edge.

7. Composite Solids: Add the Volumes

عندما يوضع مجسم فوق آخر، مثل نصف كرة فوق أسطوانة، احسب حجم كل مجسم وحده ثم اجمعهما. حجم الأسطوانة هو مساحة الدائرة في الارتفاع. حجم نصف الكرة هو نصف حجم الكرة الكاملة، وحجم الكرة أربعة أثلاث في باي في مكعب نصف القطر. اجمع الحجمين بدلالة باي، وإذا طلب السؤال ذلك فتوقف هنا، وإلا فاحسب بالآلة الحاسبة وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية، والوحدة سنتيمتر مكعب.

The 5-mark solid question: a hemisphere on a cylinder, both radius 3 cm. The cylinder is 10 cm tall. Find each volume and add.

Worked example

1
$π \times 3^{2} \times 10 = 90 π$ — The cylinder: $π r^{2} h$ , the circle's area times the height.
2
$\frac{4}{3} \times π \times 3^{3} = 36 π$ — A whole sphere of radius 3: $\frac{4}{3} π r^{3}$ .
3
$\frac{1}{2} \times 36 π = 18 π$ — The hemisphere is half a sphere, so halve it.
4
$90 π + 18 π = 108 π$ — Add the two pieces. If the question says “in terms of π”, stop here.
5
$= 339 cm^{3}$ — Otherwise work out 108 × π = 339.29… and round to 3 s.f.

Key idea

A hemisphere is half of $\frac{4}{3} π r^{3}$ . See Volume and Surface Area of a Sphere.

8. Composite Solids: Surface Area

المساحة السطحية لمجسم مركّب هي الأسطح التي يمكنك طلاؤها من الخارج فقط. السطح المنحني لنصف الكرة نصف سطح الكرة الكاملة، أي اثنان في باي في مربع نصف القطر. في المثال نجمع ثلاثة أسطح: الدائرة المستوية في قاعدة الأسطوانة، والسطح الجانبي المنحني للأسطوانة وهو كالملصق إذا فُرد صار مستطيلًا، والسطح المنحني لنصف الكرة في الأعلى. الدائرة التي يلتقي عندها المجسمان مخفية في الداخل فلا تُحسب. الخطأ الشائع: استخدام سطح الكرة الكاملة للجزء العلوي، أو إضافة دائرة الالتقاء.

Exams also ask for the surface area of a joined solid. Count only the surfaces you could paint from the outside.

Formula

S = 2 π r^{2}

This is the curved surface of a hemisphere: half of a sphere's $4 π r^{2}$ . $r$ is the radius.

A hemisphere sits on top of a cylinder. Both have radius 4 cm, and the cylinder is 9 cm tall.

Worked example

1
$π \times 4^{2} = 16 π$ — The flat circle at the bottom of the cylinder: $π r^{2}$ .
2
$2 π \times 4 \times 9 = 72 π$ — The curved side of the cylinder: $2 π r h$ , the label unrolled into a rectangle.
3
$2 π \times 4^{2} = 32 π$ — The curved top: the hemisphere, $2 π r^{2}$ .
4
$16 π + 72 π + 32 π = 120 π$ — Add the three outside surfaces. The circle where the two solids join is hidden inside, so it is not counted.
5
$= 377 cm^{2}$ — 120 × π = 376.99…, which is 377 to 3 s.f. If they ask “in terms of π”, the answer is 120π.

Common mistake

Using the full sphere's $4 π r^{2}$ for the top, or adding the joining circle. Half a sphere has $2 π r^{2}$ of curved surface, and the join is hidden.

9. Empty Space and Percentages

بعض الأسئلة تسأل عن الفراغ الفارغ أو النسبة المئوية الممتلئة. الفكرة: الكل ناقص الجزء، ثم قارن بالكل. احسب حجم الصندوق بالطول في العرض في الارتفاع، ثم حجم العلبة الأسطوانية واتركه بدلالة باي حتى لا تقرّب مبكرًا. اطرح حجم العلبة من حجم الصندوق لتحصل على الفراغ. ثم النسبة المئوية هي الجزء مقسومًا على الكل مضروبًا في مئة، والكل هنا هو الصندوق لا العلبة. اكتب كل حجم في سطر مستقل، فمعظم الدرجات على خطوات الحل.

Exams ask how much space is empty, or what percentage is filled. Whole take the part, then compare with the whole.

A tin is a cylinder with radius 6 cm and height 10 cm. It stands in a box 12 cm by 12 cm by 10 cm. What percentage of the box is empty?

Worked example

1
$12 \times 12 \times 10 = 1440$ — The box: length × width × height, in cm³.
2
$π \times 6^{2} \times 10 = 360 π$ — The tin: $π r^{2} h$ . Leave it as 360π so nothing is rounded too early.
3
$1440 - 360 π = 309.03 \dots$ — The empty space is the box take the tin, about 309 cm³.
4
$\frac{309.03 \dots}{1440} \times 100 = 21.5%$ — A percentage is part ÷ whole × 100. The whole is the box, not the tin.

Key idea

Write each volume on its own line. Most of the marks are for the working, so a correct method still scores even if the last step slips.

10. Which Method? Read the Question

انظر إلى الجزء المظلل وإلى المطلوب. إذا كانت الأضلاع كلها مستقيمة فقسّم الشكل إلى مستطيلات ومثلثات. إذا كان ضلع بلا طول فالأضلاع المتقابلة تتساوى في مجموعها، والضلع المائل يحتاج نظرية فيثاغورس. في أسئلة العلب والتكلفة احسب المساحة أولًا ثم قرّب العدد إلى الأعلى. الشكل المظلل الذي فيه فتحة: الكل ناقص الفتحة. المحيط: الحواف الخارجية فقط. المجسمات فوق بعضها: اجمع الحجوم. المساحة السطحية: اجمع الأسطح الخارجية واترك مكان الالتقاء. الفراغ أو النسبة الممتلئة: الكل ناقص الجزء ثم قسّم على الكل واضرب في مئة. واكتب مساحة كل قطعة على الرسم، فالمصحح يعطي درجات لكل قطعة.

Look at what is shaded and what they ask for.

You see	You do
Straight sides only	split into rectangles and triangles
A side has no length	opposite sides add up; a sloping side needs Pythagoras' Theorem
Tins, cost, how many	area first, then round up
Shaded with a hole	whole take the hole
Perimeter	outside edges only
Shaded between a chord and an arc	Area of a Sector
One solid on another	add the volumes
Surface area of a joined solid	add the outside surfaces, leave out the join
Empty space or percentage filled	whole take the part, then ÷ whole × 100

Key idea

Label every piece with its area on the diagram. Examiners give marks for each piece.

تدرّب على المحيط والمساحة والحجم المركب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المحيط والمساحة والحجم المركب

1. Add the Pieces or Cut One Out

2. Split Into Rectangles and Triangles

3. Find the Missing Lengths First

4. Floor Plans and Tins of Paint

5. Circles With Other Shapes

6. Perimeter: Only the Outside Edge

7. Composite Solids: Add the Volumes

8. Composite Solids: Surface Area

9. Empty Space and Percentages

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على المحيط والمساحة والحجم المركب

أسئلة امتحانات سابقة على المحيط والمساحة والحجم المركب، محلولة ومشروحة بالعربي