شرح المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية

Equations That Become Quadratics

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Where Quadratics Hide

بعض المعادلات لا تبدو تربيعية في البداية، لكن بعد عدة خطوات يظهر مربع المجهول، فنحلّها كأي معادلة تربيعية. الامتحان يخفيها في ثلاثة أماكن: الأشكال، حين نضرب ضلعين فيهما المجهول لحساب المساحة أو في نظرية فيثاغورس؛ والكسور التي فيها المجهول في المقام، فعند التخلص من المقامات يُضرب المجهول في نفسه؛ والقصص عن السرعة والزمن والتكلفة، لأن الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة. وكلها تنتهي بالطريقة نفسها: انقل كل شيء إلى طرف واحد ليساوي صفرًا ثم حُلّ. ولأن المجهول غالبًا طول أو سرعة أو سعر، فعادة نرفض أحد الحلّين.

Some equations do not look quadratic on the page. After a few moves an $x^{2}$ appears, and then you solve it like any quadratic. Exams hide them in three places:

Steps

1
Shapes. Sides like (x + 3) and (2x − 1). Area or Pythagoras multiplies them, and x × x makes $x^{2}$ .
2
Fractions. x on the bottom, like $\frac{2}{x}$ . Clearing the bottoms multiplies x by x.
3
Stories. Speed, time or cost. Time = distance ÷ speed puts x on the bottom of a fraction.

Key idea

They all end the same way: everything on one side, = 0, then solve. And because x is often a length, speed or price, one of the two answers is usually thrown away.

2. Show That: From a Shape

أسئلة «أثبت أن» تطبع لك المعادلة التي يجب أن تصل إليها، فالدرجات كلها على خطوات الحل، لذلك اكتب كل سطر. أولًا: مساحة المستطيل تساوي الطول في العرض، فنضرب القوسين ونساوي الناتج بالمساحة المعطاة. ثانيًا: نفك القوسين بضرب كل حد في كل حد، فنحصل على أربعة حدود. ثالثًا: نجمع حدود المجهول المتشابهة. رابعًا: ننقل المساحة إلى الطرف الأيسر بطرحها من الطرفين ليصبح الطرف الأيمن صفرًا، ونتوقف عندما نصل إلى المعادلة المطبوعة. الخطأ الشائع نسيان تغيير الإشارة عند نقل العدد إلى الطرف الآخر.

“Show that” questions print the equation you must reach. Here is the rectangle kind, one move per line.

A rectangle is (x + 3) cm by (2x − 1) cm. Its area is 60 cm². Show that $2 x^{2} + 5 x - 63 = 0$ .

Worked example

1
$(x + 3) (2 x - 1) = 60$ — Area of a rectangle = length × width. The area is 60, so that is the equation.
2
$2 x^{2} - x + 6 x - 3 = 60$ — Expand the brackets: x × 2x, x × (−1), 3 × 2x and 3 × (−1). Four terms.
3
$2 x^{2} + 5 x - 3 = 60$ — Collect the x terms: −x + 6x = 5x.
4
$2 x^{2} + 5 x - 3 - 60 = 0$ — Take 60 from both sides, so the right side is 0.
5
$2 x^{2} + 5 x - 63 = 0$ — −3 − 60 = −63. This is the printed equation, so stop here.

Key idea

In a “show that”, the answer is already printed, so the marks are for your working. Write every line. Jumping straight to the printed equation scores nothing.

Common mistake

Writing 2x² + 5x − 3 + 60 = 0. Moving the 60 to the left changes its sign: −3 − 60 = −63.

3. Fractions with x on the Bottom

عندما يكون المجهول في مقام الكسر، تخلّص من كل المقامات مرة واحدة: اضرب كل حد في حاصل ضرب المقامات كلها. في المثال نضرب كل حد، ومنه العدد في الطرف الأيمن، في حاصل ضرب المقامين، فيُختصر في كل كسر مقامه ولا يبقى أي كسر. ثم نفك الأقواس في الطرفين، ونجمع الحدود المتشابهة، وننقل كل الحدود إلى الطرف الذي فيه مربع المجهول ليبقى موجبًا ويساوي الطرف الآخر صفرًا. بعدها نحلل إلى قوسين، ونساوي كل قوس بالصفر. لا توجد قصة هنا، لذلك نُبقي الحلّين. الخطأ الشائع نسيان ضرب العدد في الطرف الأيمن، وتحقق دائمًا بالتعويض في المعادلة الأصلية.

When x is on the bottom of a fraction, clear every bottom at once. Multiply every term by all the bottoms multiplied together.

Solve $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 2} = 1$ .

Worked example

1
$\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 2} = 1$ — The question. The bottoms are x and (x + 2).
2
$\frac{2}{x} \times x (x + 2) + \frac{3}{x + 2} \times x (x + 2) = 1 \times x (x + 2)$ — Multiply every term by x(x + 2). That includes the 1 on the right.
3
$2 (x + 2) + 3 x = x (x + 2)$ — Cancel: in the first term the x cancels, in the second the (x + 2) cancels. No fractions left.
4
$2 x + 4 + 3 x = x^{2} + 2 x$ — Expand the brackets on both sides.
5
$5 x + 4 = x^{2} + 2 x$ — Collect the left side: 2x + 3x = 5x.
6
$0 = x^{2} - 3 x - 4$ — Take 5x and 4 from both sides. Move everything to the side with $x^{2}$ , so it stays positive.
7
$(x - 4) (x + 1) = 0$ — Factorise: −4 × 1 = −4 and −4 + 1 = −3.
8
$x = 4 or x = - 1$ — Each bracket equals 0. There is no story here, so keep both answers.

Common mistake

Forgetting the right side: writing 2(x + 2) + 3x = 1. The 1 is a term too, so it becomes x(x + 2).

Key idea

Check by putting an answer back in. x = 4 gives $\frac{2}{4} + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . It works.

4. Fractions from a Story

أسئلة التكلفة والسرعة والزمن تضع المجهول في مقام الكسر. اكتب كل كمية ككسر أولًا ثم تخلّص من المقامات. عدد التذاكر يساوي المبلغ مقسومًا على سعر التذكرة الواحدة، فنكتب عدد تذاكر كل شخص ككسر. الشخص الثاني حصل على تذكرة أقل، فالفرق بين العددين يساوي واحدًا: العدد الأكبر ناقص العدد الأصغر. ثم نضرب كل حد في حاصل ضرب المقامين، ونفك الأقواس، فتُلغى حدود المجهول في الطرف الأيسر، وننقل العدد لنصل إلى المعادلة المطبوعة. الخطأ الشائع أن تجمع الكسرين، و«أقل بواحد» تعني طرحًا. وتذكّر: الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة.

Cost, speed and time questions put x on the bottom of a fraction. Write each amount as a fraction first, then clear the bottoms.

Sam spends $60 on tickets at $x each. Lee spends $60 on tickets at $(x + 3) each and gets 1 ticket fewer. Show that $x^{2} + 3 x - 180 = 0$ .

Worked example

1
$Sam: \frac{60}{x} Lee: \frac{60}{x + 3}$ — Number of tickets = money ÷ price of one ticket.
2
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 3} = 1$ — Lee has 1 fewer, so Sam's number minus Lee's number is 1.
3
$60 (x + 3) - 60 x = x (x + 3)$ — Multiply every term by x(x + 3), including the 1. The bottoms cancel.
4
$60 x + 180 - 60 x = x^{2} + 3 x$ — Expand both sides.
5
$180 = x^{2} + 3 x$ — 60x − 60x = 0, so the x terms on the left cancel out.
6
$x^{2} + 3 x - 180 = 0$ — Take 180 from both sides. This is the printed equation.

Memory trick

Time = distance ÷ speed. Number bought = money spent ÷ price of one.

Common mistake

Adding the fractions: $\frac{60}{x} + \frac{60}{x + 3} = 1$ . “1 fewer” is a difference, so subtract: bigger number − smaller number = 1.

5. Solve, Then Choose the Real One

حل المعادلة التربيعية يعطي حلّين، والقصة تحدد أيهما حقيقي، ثم نجيب عن السؤال المطلوب فعلًا. نحلل المعادلة بإيجاد عددين حاصل ضربهما الحد الثابت ومجموعهما معامل المجهول، ثم نساوي كل قوس بالصفر. نرفض الحل السالب لأن السعر لا يمكن أن يكون سالبًا، ونكتب السبب بالكلمات. لكن السؤال عن الشخص الثاني، فنضيف إلى السعر لنحصل على سعر تذكرته، ثم نقسم المبلغ على السعر لنجد عدد التذاكر، ونتحقق. الخطأ الشائع التوقف عند قيمة المجهول. ارفض أي حل يجعل طولًا أو سرعة أو سعرًا أو زمنًا سالبًا، أو يجعل عدد أشخاص أو تذاكر غير صحيح.

Solving gives two answers. The story decides which one is real. Then answer the question that was actually asked.

Carry on: solve $x^{2} + 3 x - 180 = 0$ and find how many tickets Lee buys.

Worked example

1
$x^{2} + 3 x - 180 = 0$ — The equation from the last card. x is the price of Sam's tickets.
2
$(x + 15) (x - 12) = 0$ — Two numbers that multiply to −180 and add to +3: 15 and −12.
3
$x = - 15 or x = 12$ — Each bracket equals 0.
4
$x = - 15 x = 12$ — Reject −15: a price cannot be negative. So Sam's tickets cost $12.
5
$x + 3 = 12 + 3 = 15$ — The question is about Lee, whose tickets cost $(x + 3). So $15 each.
6
$60 \div 15 = 4$ — Lee buys 4 tickets. Check: Sam buys 60 ÷ 12 = 5, and 5 − 1 = 4.

Common mistake

Stopping at x = 12. The question asked how many tickets Lee buys, not what x is. Read the last line of the question again.

Key idea

Throw away an answer that makes a length, speed, price or time negative, or a number of people or tickets that is not a whole number. Say why in words: “a price cannot be negative”.

6. When It Won't Factorise

القصص كثيرًا ما تعطي معادلة لا تتحلل. إذا طلب السؤال التقريب لمنزلتين عشريتين فاستخدم القانون العام، ثم اختر الحل الحقيقي. أولًا: اقرأ المعاملات الثلاثة وانتبه لإشارة السالب في معامل المجهول. ثانيًا: احسب المميز، أي ما تحت الجذر، أولًا، وضع المعامل السالب بين قوسين لأن مربع العدد السالب موجب. ثالثًا: سالب المعامل السالب يصبح موجبًا، والمقام ضعف معامل المربع. رابعًا: احسب الحلّين بالجمع ثم بالطرح وقرّب. خامسًا: ارفض الحل الذي يجعل السرعة الثانية سالبة، حتى لو كان المجهول نفسه موجبًا. الخطأ الشائع في الآلة الحاسبة كتابة السالب دون قوسين، فتربّع العدد قبل السالب ويخرج الناتج سالبًا.

Stories often give an equation that does not factorise. If the question says “to 2 decimal places”, use the formula, then still choose the real answer.

A cyclist rides 30 km at x km/h, then 20 km at (x − 5) km/h. The ride takes 3 hours, which gives $3 x^{2} - 65 x + 150 = 0$ . Find x.

Worked example

1
$a = 3, b = - 65, c = 150$ — Read off a, b and c. Keep the minus on b.
2
$b^{2} - 4 a c = (- 65)^{2} - 4 \times 3 \times 150$ — Work out the part under the square root first. Put b in brackets.
3
$= 4225 - 1800 = 2425$ — (−65)² = +4225: a negative number squared is positive. 4 × 3 × 150 = 1800.
4
$x = \frac{- ( - 65 ) \pm 2425}{2 \times 3} = \frac{65 \pm 2425}{6}$ — −b = −(−65) = +65. The bottom is 2a = 6.
5
$x = \frac{65 + 2425}{6} = 19.04$ — √2425 = 49.244…, so (65 + 49.244) ÷ 6 = 19.04 to 2 d.p.
6
$x = \frac{65 - 2425}{6} = 2.63$ — (65 − 49.244) ÷ 6 = 2.626…, which is 2.63 to 2 d.p.
7
$x - 5 = 2.63 - 5 = - 2.37$ — Reject 2.63: the second speed x − 5 would be negative, and a speed cannot be negative.
8
$x = 19.04$ — So the first speed is 19.04 km/h.

Common mistake

Typing −65² into the calculator. It gives −4225, because it squares 65 first. Type (−65)² with the brackets.

Key idea

Both answers here were positive, but 2.63 still failed: check every length or speed in the story, not just x.

7. Which Move? Read the Question

صياغة السؤال تخبرك بالخطوة الأولى. أضلاع فيها المجهول ومساحة أو حجم: المساحة تساوي الطول في العرض، فك الأقواس، واجعل المعادلة تساوي صفرًا. مثلث قائم الزاوية أضلاعه بدلالة المجهول: استخدم نظرية فيثاغورس، فك الأقواس، واجعلها تساوي صفرًا. المجهول في مقام كسر: اضرب كل حد في كل المقامات. سرعة أو سعر بدلالة المجهول: الزمن يساوي المسافة على السرعة، والعدد يساوي المبلغ على السعر. «أثبت أن»: اكتب كل سطر وتوقف عند المعادلة المطبوعة. «لمنزلتين عشريتين»: استخدم القانون العام. «أوجد السرعة» أو «أوجد الطول»: ارفض أي حل سالب ثم أجب عن السؤال. وقبل أن تنتهي اقرأ السؤال مرة أخرى: هل يريد المجهول أم شيئًا يُحسب منه؟

The wording tells you the first move.

You see	You do
Sides like (x + 3), and an area or volume	Area = length × width, expand, make it = 0
A right-angled triangle with sides in x	a² + b² = c², expand, make it = 0
x on the bottom of a fraction	Multiply every term by all the bottoms
A speed of x km/h, or a price of $x	Time = distance ÷ speed; number = money ÷ price
“Show that … = 0”	Write every line and stop at the printed equation
“To 2 decimal places”	Use the quadratic formula
“Find the speed”, “find the length”	Reject any negative answer, then answer the question

Key idea

Before you finish, read the question again: does it want x, or something worked out from x?

تدرّب على المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية

1. Where Quadratics Hide

2. Show That: From a Shape

3. Fractions with x on the Bottom

4. Fractions from a Story

5. Solve, Then Choose the Real One

6. When It Won't Factorise

7. Which Move? Read the Question

تدرّب على المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية، محلولة ومشروحة بالعربي