شرح المعادلات الآنية مع منحنى

Simultaneous Equations with a Curve

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Line Meets a Curve

هنا إحدى المعادلتين خط مستقيم، والأخرى فيها مربع أحد المجهولين فهي منحنى. الطريقة: اجعل أحد المجهولين موضوع القانون في معادلة الخط المستقيم، ثم عوّض به في معادلة المنحنى. ستحصل على معادلة تربيعية، فيكون هناك غالبًا حلّان. كل حل هو نقطة يقطع فيها الخط المنحنى، ولهذا تأتي الحلول أزواجًا. وأحيانًا تكون المعادلة التربيعية مربعًا كاملًا فيكون للمجهول قيمة واحدة فقط، أي أن الخط يمسّ المنحنى في نقطة واحدة، وهذا ليس خطأ.

One equation is a straight line. The other has $x^{2}$ or $y^{2}$ in it, so it is a curve.

Rule

Make x or y the subject of the line, then substitute it into the curve. You get a quadratic, so there are usually two answers.

Key idea

Each answer is a point where the line crosses the curve. That is why they come in pairs.

Key idea

Sometimes the quadratic is a perfect square, like $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , which is $(x - 1)^{2} = 0$ . Then there is only one x. The line just touches the curve at one point. That is not a mistake.

2. Substitute the Line

هذه هي الطريقة لكل سؤال فيه خط ومنحنى، والمنحنى هنا دائرة. ابدأ بمعادلة الخط لأنها بلا مربعات، واجعل «ص» وحده في طرف. ثم عوّض به في معادلة الدائرة مع الإبقاء على القوس لأن العبارة كلها تُربَّع. افكّ مربع القوس ولا تنسَ الحد الأوسط، ثم اجمع الحدود المتشابهة، وانقل العدد حتى تصبح المعادلة التربيعية مساوية للصفر. حلّلها إلى قوسين واجعل كل قوس صفرًا لتجد قيمتي «س». بعدها عوّض بكل قيمة في معادلة الخط، فهي أسهل من المنحنى، لتجد «ص» المقابلة، وانتبه لضرب السالب في السالب. اكتب الإجابة نقطتين، كل «س» مع «ص» الخاصة بها. الخطأ الشائع خلط الأزواج. واكتب كل خطوة لأن معظم الدرجات على التعويض والوصول إلى المعادلة التربيعية وحلّها.

This is the method for every line-and-curve question. Here the curve is a circle.

Worked example

1
$x^{2} + y^{2} = 41, 2 x + y = 3$ — The question. The line has no squares, so start with the line.
2
$y = 3 - 2 x$ — Take 2x from both sides of the line, so y is alone.
3
$x^{2} + (3 - 2 x)^{2} = 41$ — Replace y in the curve. Keep the bracket, because the whole line gets squared.
4
$x^{2} + 9 - 12 x + 4 x^{2} = 41$ — Expand the bracket: $(3 - 2 x)^{2}$ = 9 − 12x + 4x². Do not forget the middle term.
5
$5 x^{2} - 12 x + 9 = 41$ — Collect the x² terms: x² + 4x² = 5x².
6
$5 x^{2} - 12 x - 32 = 0$ — Take 41 from both sides. A quadratic must equal 0 before you solve it.
7
$(x - 4) (5 x + 8) = 0$ — Factorise. Check by expanding: 5x² + 8x − 20x − 32 = 5x² − 12x − 32.
8
$x = 4 or x = - \frac{8}{5}$ — Each bracket can be 0: x − 4 = 0 or 5x + 8 = 0.
9
$y = 3 - 2 (4) = - 5$ — Put x = 4 into the line. The line is easier than the curve.
10
$y = 3 - 2 (- \frac{8}{5}) = \frac{31}{5}$ — Now x = −8/5. Minus times minus: −2 × (−8/5) = +16/5, and 3 + 16/5 = 31/5.
11
$(4, - 5), (- \frac{8}{5}, \frac{31}{5})$ — Write each x with its own y, as two points.

Common mistake

Mixing the pairs up. Write each x with its own y, as two points.

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working: replacing y, getting the quadratic = 0, and solving it. Answers with no algebra score 1 mark at most.

3. Two y = Equations: Set Them Equal

كثير من الأسئلة تعطي المعادلتين على صورة «ص تساوي ...». عندها لا تحتاج إلى إعادة ترتيب: ساوِ الطرفين الأيمنين ببعضهما، لأن كليهما يساوي «ص»، وهذه الخطوة غالبًا تأخذ الدرجة الأولى. بعدها انقل كل الحدود إلى طرف واحد حتى تصبح المعادلة التربيعية مساوية للصفر، ثم حلّلها إلى قوسين واجعل كل قوس صفرًا لتجد قيمتي «س». عوّض بكل قيمة في معادلة الخط لأنها أبسط، واكتب كل «س» مع «ص» الخاصة بها. وانتبه: إذا اختفى العدد وبقي مربع المجهول والمجهول فقط، فلا تقسم على المجهول لأنك ستُضيّع حل الصفر، بل أخرج المجهول عاملًا مشتركًا.

Many questions give both equations as “y = …”. Then there is nothing to rearrange: set them equal.

Worked example

1
$y = x^{2} + 3 x - 8, y = 2 x + 4$ — The question. Both equations start with y =.
2
$x^{2} + 3 x - 8 = 2 x + 4$ — Both equal y, so they equal each other. This line is usually the first mark.
3
$x^{2} + x - 8 = 4$ — Take 2x from both sides: 3x − 2x = x.
4
$x^{2} + x - 12 = 0$ — Take 4 from both sides, so it equals 0: −8 − 4 = −12.
5
$(x + 4) (x - 3) = 0$ — Factorise. +4 × (−3) = −12 and +4 + (−3) = +1.
6
$x = - 4 or x = 3$ — Each bracket can be 0.
7
$y = 2 (3) + 4 = 10$ — Put x = 3 into the line, because it is simpler than the curve.
8
$y = 2 (- 4) + 4 = - 4$ — Now x = −4: 2 × (−4) = −8, and −8 + 4 = −4.
9
$(3, 10), (- 4, - 4)$ — Each x with its own y. Check (3, 10) in the curve: 9 + 9 − 8 = 10.

Common mistake

Sometimes the numbers cancel and you get $x^{2} + 3 x = 0$ . Do not divide by x: you lose the answer x = 0. Factorise instead: $x (x + 3) = 0$ , so x = 0 or x = −3.

4. Careful with the Brackets

معظم الدرجات تضيع في فكّ الأقواس. ضع معادلة الخط كاملة بين قوسين في كل مكان تعوّض فيه. في المثال يظهر «ص» مرتين في معادلة المنحنى، فنضع القوس في المرتين، ثم نفكّ كل جزء: مربع القوس، وضرب المجهول في القوس. بعدها نجمع الحدود المتشابهة ونحلّ المعادلة التربيعية، ثم نعوّض بكل قيمة في معادلة الخط لنجد «ص». الخطأ الشائع أن تربّع القوس بتربيع حدّيه فقط وتنسى الحد الأوسط.

Most marks are lost in the expanding. Put the whole line in a bracket every time it appears.

Worked example

1
$3 x^{2} + y^{2} - x y = 5, y = 2 x - 3$ — y appears twice in the curve
2
$3 x^{2} + (2 x - 3)^{2} - x (2 x - 3) = 5$ — a bracket each time
3
$3 x^{2} + 4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} + 3 x = 5$ — expand each part
4
$5 x^{2} - 9 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 1, 0.8$ — tidy and solve
5
$(1, - 1), (0.8, - 1.4)$ — y = 2x − 3 for each

Common mistake

Writing (2x − 3)² as 4x² + 9. It is $4 x^{2} - 12 x + 9$ : the middle term is easy to lose.

5. Replace x Instead

إذا كان «س» في معادلة الخط بلا معامل أمامه، فاجعل «س» هو موضوع القانون بدلًا من «ص»، فهذا يُبعد عنك الكسور. في المثال: ننقل حد «ص» لنحصل على «س» بدلالة «ص»، ثم نعوّض به في المنحنى داخل قوس. نفكّ القوس ونجمع المربعات وننقل العدد لتصبح المعادلة مساوية للصفر، ثم نحلّلها فنحصل هذه المرة على قيمتي «ص». بعدها نعوّض بكل قيمة لنجد «س» المقابلة. الخطأ الشائع كتابة النقطة بترتيب خاطئ؛ النقطة تُكتب دائمًا «س» أولًا ثم «ص»، حتى لو وجدت «ص» أولًا.

If x has no number in front in the line, make x the subject instead. It keeps fractions away.

Worked example

1
$x - 3 y = 1, x y - y^{2} = 6$ — The question. In the line, x stands on its own.
2
$x = 3 y + 1$ — Add 3y to both sides. Making y the subject would give $\frac{x - 1}{3}$ , a fraction.
3
$(3 y + 1) y - y^{2} = 6$ — Replace x in the curve, with a bracket.
4
$3 y^{2} + y - y^{2} = 6$ — Expand: y times each term in the bracket.
5
$2 y^{2} + y = 6$ — Collect the squares: 3y² − y² = 2y².
6
$2 y^{2} + y - 6 = 0$ — Take 6 from both sides, so it equals 0.
7
$(2 y - 3) (y + 2) = 0$ — Factorise. Check: 4y − 3y = y and −3 × 2 = −6.
8
$y = 1.5 or y = - 2$ — Each bracket can be 0. This time the answers are y values.
9
$x = 3 (1.5) + 1 = 5.5$ — Put y = 1.5 into x = 3y + 1.
10
$x = 3 (- 2) + 1 = - 5$ — Now y = −2: 3 × (−2) = −6, and −6 + 1 = −5.
11
$(5.5, 1.5), (- 5, - 2)$ — Write x first, even though you found y first.

Common mistake

Writing (1.5, 5.5). A point is always (x, y), so x goes first.

6. When It Won’t Factorise

إذا طلب السؤال الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين فالمعادلة التربيعية لن تتحلّل، فاستخدم القانون العام. في المثال: المعادلتان تبدآن بـ«ص تساوي» فنساويهما، ثم ننقل الحدود حتى تصبح المعادلة مساوية للصفر. نقرأ المعاملات الثلاثة مع إشاراتها السالبة، ونحسب ما تحت الجذر التربيعي مع وضع الأعداد السالبة بين قوسين. ثم نعوّض في القانون ونحسب الحلّين، أحدهما بالجمع والآخر بالطرح، ونحتفظ بكل الأرقام دون تقريب. نعوّض بالقيم غير المقرّبة في معادلة الخط لنجد «ص»، ولا نقرّب إلا في النهاية. الخطأ الشائع تقريب «س» أولًا، فتخرج «ص» غير دقيقة وتضيع درجة الدقة.

If the question says “give your answers to 2 decimal places”, the quadratic will not factorise. Use the quadratic formula (see the lesson The Quadratic Formula and Completing the Square).

Worked example

1
$y = x^{2} + x - 3, y = 5 x - 2$ — The question. Both start with y =, so set them equal.
2
$x^{2} + x - 3 = 5 x - 2$ — Both equal y.
3
$x^{2} - 4 x - 3 = - 2$ — Take 5x from both sides: x − 5x = −4x.
4
$x^{2} - 4 x - 1 = 0$ — Add 2 to both sides, so it equals 0.
5
$a = 1, b = - 4, c = - 1$ — Read off a, b and c. Keep the minus signs.
6
$b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times (- 1)$ — The part under the square root. Put the negatives in brackets.
7
$= 16 + 4 = 20$ — (−4)² = 16, and −4 × 1 × (−1) = +4.
8
$x = \frac{- ( - 4 ) \pm 20}{2} = \frac{4 \pm 20}{2}$ — −b means −(−4) = 4. The bottom is 2a = 2.
9
$x = 4.2360 \dots or x = - 0.2360 \dots$ — Work out + and − separately. Keep all the digits for now.
10
$y = 5 (4.2360 \dots) - 2 = 19.180 \dots$ — Put the unrounded x into the line.
11
$y = 5 (- 0.2360 \dots) - 2 = - 3.180 \dots$ — Same for the other x.
12
$(4.24, 19.18), (- 0.24, - 3.18)$ — Round only at the end, to 2 decimal places.

Common mistake

Rounding x first. 5 × 4.24 − 2 = 19.20, not 19.18, so the answer loses its accuracy mark.

7. The Distance Between Them (Higher)

في السؤال الأطول يُطلب منك بعد إيجاد نقطتي التقاطع طول القطعة بينهما، ويُحسب بنظرية فيثاغورس. نأخذ النقطتين من البطاقة السابقة، ونحسب المسافة الأفقية بينهما والمسافة الرأسية بينهما. ثم نطبّق فيثاغورس: نجمع مربعي المسافتين ونأخذ الجذر التربيعي. اكتب الإجابة بالصورة الدقيقة إذا طُلب ذلك، وإلا فاكتبها عددًا عشريًا.

A 6-mark version asks for the length AB after you find the points. Use Pythagoras.

Worked example

1
$A (4, - 5), B (- 1.6, 6.2)$ — the points from the earlier card
2
$5.6, 11.2$ — the across and up distances
3
$A B = 5. 6^{2} + 11. 2^{2} = 156.8$ — Pythagoras
4
$A B = \frac{28 5}{5} \approx 12.5$ — exact form if asked, otherwise a decimal

8. Which Method? Read the Question

ابحث عن المجهول المربّع. إذا كانت المعادلتان خطين مستقيمين فاستخدم طريقة الحذف. إذا كان هناك خط ومنحنى فعوّض بالخط في المنحنى. إذا بدأت المعادلتان بـ«ص تساوي» فساوِ بينهما ثم اجعل المعادلة مساوية للصفر. إذا كان «ص» وحده في معادلة الخط فعوّض عنه مع الأقواس، وإذا كان «س» وحده فعوّض عن «س» بدلًا منه. إذا طُلبت منزلتان عشريتان فاستخدم القانون العام وقرّب في النهاية فقط. إذا طُلب طول القطعة بين النقطتين فجد النقطتين ثم طبّق فيثاغورس، وإذا طُلبت نقطة المنتصف فخذ متوسط الإحداثيات السينية ومتوسط الإحداثيات الصادية. وفي النهاية تحقّق من النقطتين في الخط والمنحنى كليهما.

Look for the squared letter.

You see	You do
Two straight lines	Use the lesson Simultaneous Equations by Elimination
A line and a curve	Substitute the line into the curve
Both start with y =	Set them equal, then make it = 0
y alone in the line	Replace y; use brackets
x alone in the line	Replace x instead
“2 decimal places”	Quadratic formula; round at the end
“Length AB”	Find A and B, then Pythagoras
“Midpoint of AB”	Find A and B, then average the x's and the y's

Key idea

Check both points in the line and the curve. Both equations must work.

تدرّب على المعادلات الآنية مع منحنى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلات الآنية مع منحنى

1. A Line Meets a Curve

2. Substitute the Line

3. Two y = Equations: Set Them Equal

4. Careful with the Brackets

5. Replace x Instead

6. When It Won’t Factorise

7. The Distance Between Them (Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على المعادلات الآنية مع منحنى

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلات الآنية مع منحنى، محلولة ومشروحة بالعربي