شرح تقدير المتوسط للبيانات المجمعة

Estimating the Mean for Grouped Data

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Grouped Data Hides

الجدول المجمّع يخبرك بعدد القيم في كل فئة، لكنه لا يعطيك القيم بالضبط، لذلك لا يمكنك حساب الوسط الحسابي الدقيق. الحل أن نفترض أن كل القيم في الفئة تقع في منتصفها، ويسمى ذلك مركز الفئة. ولإيجاد مركز الفئة اجمع حديها ثم اقسم على اثنين.

A grouped table tells you how many are in each class, but not the exact values. So you cannot find the exact mean.

Instead, pretend every value sits in the middle of its class. That middle is the midpoint.

Class	Midpoint
$0 < t \leq 10$	5
$10 < t \leq 20$	15
$20 < t \leq 30$	25

Rule

Midpoint = the two ends added, then halved: $\frac{10 + 20}{2} = 15$ .

2. Estimating the Mean

لتقدير الوسط الحسابي من جدول مجمّع: أولًا أوجد مركز كل فئة. ثم اضرب مركز كل فئة في تكرارها، أي نعتبر كل من في الفئة عند منتصفها. بعد ذلك اجمع هذه النواتج لتحصل على تقدير للمجموع الكلي، واجمع التكرارات لتعرف العدد الكلي. أخيرًا اقسم المجموع على العدد الكلي. اكتب كل سطر، فمعظم الدرجات للخطوات: المراكز، ثم الضرب والجمع، ثم القسمة. الخطأ الشائع هو القسمة على عدد الفئات بدل مجموع التكرارات. وتأكد أن الناتج يقع داخل مدى البيانات.

The 4-mark question: “Calculate an estimate of the mean.” Here, 40 students timed their journey to school.

Formula

mean \approx \frac{\sum f x}{\sum f}

$f$ is the frequency (how many are in the class) and $x$ is the class midpoint. The sign $\sum$ means “add them all up”, and ≈ means “about”, because it is an estimate.

Time (t minutes)	Midpoint x	Frequency f
$0 < t \leq 10$	5	4
$10 < t \leq 20$	15	14
$20 < t \leq 30$	25	12
$30 < t \leq 40$	35	10

Worked example

1
$5 \times 4 = 20$ — Row 1: midpoint × frequency. We count each of the 4 students as taking 5 minutes.
2
$15 \times 14 = 210$ — Row 2: the 14 students in 10 to 20 minutes each count as 15 minutes.
3
$25 \times 12 = 300$ — Row 3: the 12 students in 20 to 30 minutes each count as 25 minutes.
4
$35 \times 10 = 350$ — Row 4: the 10 students in 30 to 40 minutes each count as 35 minutes.
5
$\sum f x = 20 + 210 + 300 + 350 = 880$ — Add the four products. This is an estimate of all 40 times added together.
6
$\sum f = 4 + 14 + 12 + 10 = 40$ — Add the frequencies to get how many students there are.
7
$\frac{880}{40} = 22 minutes$ — Mean = total ÷ how many. 22 lies between 0 and 40, so it is sensible.

Key idea

Show every line. Three of the 4 marks are for working: one for the midpoints, one for multiplying and adding, one for dividing by the total frequency.

Common mistake

Dividing by 4, the number of classes. Divide by the number of students, 40.

3. Classes of Different Widths

في الامتحان غالبًا تكون الفئات بأطوال مختلفة، وقد يكون مركز الفئة عددًا عشريًا. الطريقة نفسها، لكن احسب كل مركز بعناية: اجمع حدي الفئة واقسم على اثنين، واكتب المراكز لأنها تأخذ درجة. ثم اضرب كل مركز في تكراره، واجمع، واقسم على مجموع التكرارات، وتأكد أن الناتج معقول. الخطأ الشائع هو استخدام طول الفئة أو الحد الأعلى لها بدل المركز. وإذا لم تنتهِ القسمة فقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية.

Most exam tables have classes of different widths, and the midpoints are often decimals. The method is the same; just find each midpoint with care.

50 parcels are weighed:

Mass (m kg)	Frequency f
$0 < m \leq 2$	6
$2 < m \leq 5$	14
$5 < m \leq 10$	20
$10 < m \leq 20$	10

Worked example

1
$\frac{2 + 5}{2} = 3.5$ — Midpoint of 2 to 5: add the ends and halve. A midpoint can be a decimal.
2
$1, 3.5, 7.5, 15$ — Do the same for every class: (0 + 2) ÷ 2, (5 + 10) ÷ 2, (10 + 20) ÷ 2. Write the midpoints down — they earn a mark.
3
$1 \times 6 + 3.5 \times 14 + 7.5 \times 20 + 15 \times 10$ — Multiply each midpoint by its frequency, row by row.
4
$= 6 + 49 + 150 + 150 = 355$ — Work out each product, then add them. This is $\sum f x$ .
5
$6 + 14 + 20 + 10 = 50$ — Add the frequencies: 50 parcels, as the question said.
6
$\frac{355}{50} = 7.1 kg$ — Divide. 7.1 kg lies between 0 and 20 kg, so it is sensible.

Common mistake

Using the class width (2, 3, 5, 10) or the top of each class (2, 5, 10, 20) instead of the midpoint. Only the midpoint gets the marks.

Key idea

If the division does not end, give 3 significant figures, for example 12.93… ≈ 12.9.

4. Estimating a Total

هنا يطلب السؤال تقدير المجموع الكلي، لا الوسط. اعمل كما في تقدير الوسط: أوجد مركز كل فئة واضربه في تكرارها، ثم اجمع النواتج. هذا هو المجموع المقدّر، فتوقف هنا ولا تقسم. الخطأ الشائع هو القسمة على مجموع التكرارات، فتحصل على الوسط بدل المجموع.

The 3-mark question asks for an estimate of the total, not the mean. Stop before you divide.

Sara spent money each week for 20 weeks: $0 to $20 in 4 weeks, $20 to $40 in 10 weeks, $40 to $60 in 6 weeks.

Worked example

1
$10 \times 4 = 40$ — The $0 to $20 class has midpoint 10. Count each of its 4 weeks as $10.
2
$30 \times 10 = 300$ — The $20 to $40 class has midpoint 30, and it happened in 10 weeks.
3
$50 \times 6 = 300$ — The $40 to $60 class has midpoint 50, and it happened in 6 weeks.
4
$40 + 300 + 300 = 640$ — Add the products. This is the estimated total, $640. Stop here: there is no dividing.

Common mistake

Dividing by 20. That gives the mean per week ($32), not the total.

5. Finding a Missing Frequency

أحيانًا يُعطى الوسط ويكون أحد التكرارات مجهولًا. اضرب مركز كل فئة معروفة في تكرارها واجمع، ثم أضف حد الفئة المجهولة: مركزها مضروبًا في المجهول. واجمع التكرارات المعروفة وأضف إليها المجهول أيضًا، فهؤلاء أشخاص يُحسبون. ثم اكتب معادلة: المجموع مقسومًا على مجموع التكرارات يساوي الوسط المعطى. اضرب الطرفين في المقام، وفك القوس، واجمع المجهول في طرف واحد، ثم حل. الخطأ الشائع هو نسيان المجهول في المقام. وتحقق بالتعويض، فالتكرار عدد أشخاص ويجب أن يكون عددًا صحيحًا غير سالب.

Sometimes the mean is given and one frequency is a letter. Put the letter into the mean formula, then solve the equation.

An estimate of the mean time is 20 minutes. Find x.

Time (t minutes)	Frequency f
$0 < t \leq 10$	6
$10 < t \leq 20$	$x$
$20 < t \leq 30$	9
$30 < t \leq 40$	5

Worked example

1
$5 \times 6 + 25 \times 9 + 35 \times 5 = 430$ — Midpoint × frequency for the three rows you know: 30 + 225 + 175.
2
$\sum f x = 430 + 15 x$ — The missing row has midpoint 15 and frequency x, so it adds 15 × x = 15x.
3
$\sum f = 20 + x$ — The known frequencies make 6 + 9 + 5 = 20. Add x too: those people count.
4
$\frac{430 + 15 x}{20 + x} = 20$ — Mean = Σfx ÷ Σf, and the question says the mean is 20.
5
$430 + 15 x = 20 (20 + x)$ — Multiply both sides by (20 + x) to clear the fraction.
6
$430 + 15 x = 400 + 20 x$ — Expand the bracket: 20 × 20 = 400 and 20 × x = 20x.
7
$30 = 5 x$ — Take 400 and 15x from both sides, so x is on one side only.
8
$x = 6$ — Divide both sides by 5.
9
$\frac{430 + 15 \times 6}{20 + 6} = \frac{520}{26} = 20$ — Check: put x = 6 back in. We get the given mean, 20, so x = 6 is right.

Common mistake

Dividing by 20 instead of 20 + x. The class with the missing frequency has people in it too.

Key idea

A frequency counts people, so it must be a whole number, 0 or more. If you get a fraction or a negative, check your working.

6. Modal Class and the Median Class

الفئة المنوالية هي الفئة ذات أكبر تكرار. أما الفئة التي تحتوي الوسيط فتحتاج خطوات: أولًا احسب موقع الوسط بإضافة واحد إلى العدد الكلي والقسمة على اثنين. ثم اجمع التكرارات فئة بعد فئة (المجموع التراكمي) حتى يتجاوز المجموع هذا الموقع؛ الفئة التي يحدث فيها التجاوز هي فئة الوسيط. الخطأ الشائع هو كتابة الفئة المنوالية على أنها فئة الوسيط.

The 1-mark questions: "Write down the modal class" and "Find the class that contains the median". Use the 40 journey times again.

Rule

The modal class is the class with the highest frequency: here $10 < t \leq 20$ (14 students).

Worked example

1
$\frac{40 + 1}{2} = 20.5$ — There are 40 students, so the middle one is at position 20.5, halfway between the 20th and 21st.
2
$4$ — Running total after the first class, 0 to 10: 4 students. Not yet 20.5.
3
$4 + 14 = 18$ — Add the next class, 10 to 20. 18 students so far, still short of 20.5.
4
$18 + 12 = 30$ — Add the class 20 to 30. Now 30 students, which passes 20.5.
5
$median class: 20 < t \leq 30$ — The running total passed the middle inside this class, so the median is in it.

Common mistake

Giving the modal class as the median class. Count along the running total to the middle.

7. Which Method? Read the Question

ابحث عن كلمة «تقدير» وعما يطلبه السؤال. تقدير الوسط: المركز في التكرار، ثم اجمع، ثم اقسم على مجموع التكرارات. تقدير المجموع: المركز في التكرار ثم اجمع وتوقف. الفئة المنوالية: أكبر تكرار. فئة الوسيط: المجموع التراكمي حتى المنتصف. وسط معطى وتكرار مجهول: ضع المجهول في المجموع وفي مجموع التكرارات ثم حل المعادلة. مدرج تكراري بدل الجدول: التكرار يساوي ارتفاع العمود مضروبًا في طول الفئة، ثم قدّر الوسط كالعادة. وتأكد دائمًا أن الوسط يقع داخل مدى البيانات، وإلا فراجع المراكز.

Look for the word "estimate" and what it asks for.

You see	You do
Estimate the mean	midpoint × frequency, add, ÷ total frequency
Estimate the total	midpoint × frequency, add, stop
Modal class	highest frequency
Class containing the median	running total to the middle
Mean given, one frequency is a letter	put the letter in Σfx and Σf, then solve
A histogram instead of a table	frequency = bar height × class width, then estimate the mean as usual
Exact values with frequencies	Averages from Frequency Tables
Bars of different widths	Histograms (Unequal Class Intervals)

Key idea

Your mean must lie inside the range of the data. If it does not, check your midpoints.

تدرّب على تقدير المتوسط للبيانات المجمعة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تقدير المتوسط للبيانات المجمعة

1. What Grouped Data Hides

2. Estimating the Mean

3. Classes of Different Widths

4. Estimating a Total

5. Finding a Missing Frequency

6. Modal Class and the Median Class

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على تقدير المتوسط للبيانات المجمعة

أسئلة امتحانات سابقة على تقدير المتوسط للبيانات المجمعة، محلولة ومشروحة بالعربي