شرح فك قوسين

Expanding Two Brackets

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Brackets, Four Products

كل سؤال في هذا الدرس يقول «فُكّ وبسّط» وعليه درجتان. كل حدّ في القوس الأول يضرب كل حدّ في القوس الثاني، فحدّان في حدّين يعطيان أربعة نواتج ضرب. بعد ذلك اجمع الحدّين الأوسطين لأنهما متشابهان. تخيّل أن القوس الأول دعا الثاني إلى العشاء فحضر أربعة ضيوف: هذه هي النواتج الأربعة.

Every question here says expand and simplify for 2 marks. Each term in the first bracket multiplies each term in the second.

Rule

2 terms times 2 terms makes 4 products. Then collect the two middle terms.

Key idea

$(x + 2)$ invited $(x + 3)$ to dinner. Four guests turned up: $x^{2}$ , $3 x$ , $2 x$ and $6$ .

2. Expanding Two Brackets

كل حدّ في القوس الأول يضرب كل حدّ في القوس الثاني، فاتّبع ترتيبًا ثابتًا، ناتجًا واحدًا في كل مرة: الأول في الأول، ثم الأول في الثاني، ثم الحدّ الثاني من القوس الأول في الأول، ثم في الثاني. كل عدد يحمل إشارته معه. اكتب النواتج الأربعة في سطر واحد، ثم اجمع حدّي المجهول، وما ليس له شبيه يبقى كما هو. اكتب دائمًا سطر النواتج الأربعة، فهو يأخذ درجة إذا كانت ثلاثة منها على الأقل صحيحة. الخطأ الشائع: الاكتفاء بالناتج الأول والأخير ونسيان الحدّين الأوسطين.

Every term in the first bracket multiplies every term in the second. Go in order, one product at a time.

Worked example

1
$(x + 6) (x - 4)$ — The question. Two terms times two terms, so expect 4 products.
2
$x \times x = x^{2}$ — First × first. x times x is x squared.
3
$x \times (- 4) = - 4 x$ — First × second. The −4 keeps its minus, so this product is negative.
4
$6 \times x = 6 x$ — Now the +6 takes its turn: +6 times the first term, x.
5
$6 \times (- 4) = - 24$ — Last product: +6 times −4. Plus times minus is minus.
6
$= x^{2} - 4 x + 6 x - 24$ — Write all four products in one line, each with its own sign.
7
$= x^{2} + 2 x - 24$ — Collect the two x terms: −4x + 6x = 2x. The x² and −24 have no partner, so they stay.

Key idea

Always show the four-product line. It earns a mark for working if at least 3 of the 4 terms are right, even if your final answer slips.

Common mistake

Stopping at $x^{2} - 24$ . That is only 2 of the 4 products. The middle terms are missing.

3. Watch the Signs

أبقِ كل إشارة ملتصقة بعددها. السالب في الموجب سالب، والسالب في السالب موجب. في المثال الأول العدد السالب يأخذ إشارته إلى الناتجين اللذين يدخل فيهما، فيكونان سالبين، ثم تجمع الحدّين الأوسطين. وعندما يكون في القوسين عددان سالبان يصبح الناتج الأخير موجبًا، ويتجمع الحدّان الأوسطان السالبان في سالب أكبر. الخطأ الشائع: كتابة الناتج الأخير سالبًا. ضع العدد السالب بين قوسين حتى ترى الإشارتين.

Keep each sign glued to its number. Minus × plus is minus; minus × minus is plus.

Worked example

1
$(m - 7) (m + 3)$ — The question. The −7 takes its minus into both of its products.
2
$m \times m = m^{2}$ — First × first.
3
$m \times 3 = 3 m$ — First × second. Both are positive, so the product is positive.
4
$(- 7) \times m = - 7 m$ — Now −7 times m. Minus times plus is minus.
5
$(- 7) \times 3 = - 21$ — −7 times +3. Minus times plus is minus again.
6
$= m^{2} + 3 m - 7 m - 21$ — All four products in one line.
7
$= m^{2} - 4 m - 21$ — Collect: 3m − 7m = −4m.

Both minus: now the last product turns positive.

Worked example

1
$(p - 5) (p - 6)$ — The question. Both brackets have a minus.
2
$p \times p = p^{2}$ — First × first.
3
$p \times (- 6) = - 6 p$ — First × second. Plus times minus is minus.
4
$(- 5) \times p = - 5 p$ — Minus times plus is minus.
5
$(- 5) \times (- 6) = + 30$ — Minus times minus is plus, so this is +30, not −30.
6
$= p^{2} - 6 p - 5 p + 30$ — All four products in one line.
7
$= p^{2} - 11 p + 30$ — Collect: −6p − 5p = −11p. Two minuses add up to a bigger minus.

Common mistake

Writing −30 at the end. $(- 5) \times (- 6) = + 30$ . Put a negative number in brackets so you see both minus signs.

4. When a Bracket Is Back to Front

بعض الأسئلة تكتب العدد أولًا والحرف ثانيًا داخل القوس، والحرف سالب. لا شيء يتغير: ما زالت أربعة نواتج ضرب بالترتيب نفسه. انتبه بالذات لضرب الحرف في الحرف السالب: يصبح مربع الحرف وتبقى الإشارة سالبة، وهذا هو الحدّ الذي يضيع من الطلاب. بعد ذلك اجمع حدّي الحرف. ترتيب الحدود في الإجابة النهائية لا يهم، فأي ترتيب يأخذ الدرجة.

Some papers write the letter second, like $(5 - y)$ . Nothing changes: still four products. Watch the y × −y.

Worked example

1
$(y + 3) (5 - y)$ — The question. The second bracket starts with the number, and its y is negative.
2
$y \times 5 = 5 y$ — First × first. Write the number before the letter.
3
$y \times (- y) = - y^{2}$ — y × y is y², and the minus stays: −y². This is the term students lose.
4
$3 \times 5 = 15$ — Now the +3 times 5.
5
$3 \times (- y) = - 3 y$ — The +3 times −y. Plus times minus is minus.
6
$= 5 y - y^{2} + 15 - 3 y$ — All four products in one line.
7
$= 15 + 2 y - y^{2}$ — Collect: 5y − 3y = 2y. The −y² and 15 have no partner.

Key idea

Any order is fine for the mark: $- y^{2} + 2 y + 15$ is the same answer.

5. A Number in Front of x

إذا كان أمام المجهول عدد، فاضرب الأعداد أولًا ثم الحروف؛ فالمجهول في المجهول مربع المجهول. اتّبع النواتج الأربعة كالمعتاد، وكل عدد مع إشارته، ثم اكتبها في سطر واحد واجمع حدّي المجهول. الخطأ الشائع: جمع المعاملين بدلًا من ضربهما عند ضرب الحدّين الأولين؛ في الضرب نضرب الأعداد.

When x has a number in front, multiply the numbers and then the letters. So $4 x \times 2 x$ is 4 × 2 = 8 and x × x = x², giving 8x².

Worked example

1
$(4 x + 3) (2 x - 5)$ — The question. Both x terms have a number in front.
2
$4 x \times 2 x = 8 x^{2}$ — Multiply the numbers, 4 × 2 = 8, then the letters, x × x = x².
3
$4 x \times (- 5) = - 20 x$ — 4 × −5 = −20, and the x stays.
4
$3 \times 2 x = 6 x$ — Now the +3 times 2x: 3 × 2 = 6.
5
$3 \times (- 5) = - 15$ — The +3 times −5. Plus times minus is minus.
6
$= 8 x^{2} - 20 x + 6 x - 15$ — All four products in one line.
7
$= 8 x^{2} - 14 x - 15$ — Collect: −20x + 6x = −14x.

Common mistake

Adding the numbers: $4 x \times 2 x = 6 x^{2}$ . Products multiply: $8 x^{2}$ .

6. Two Letters in the Brackets

بعض الأقواس فيها حرفان مختلفان. الطريقة نفسها: أربعة نواتج، تضرب الأعداد ثم تكتب الحروف بجانب بعضها بالترتيب الأبجدي. ترتيب الحرفين في الضرب لا يهم، فهما حدّ واحد متشابه ويمكن جمعهما. أما مربع الحرف الأول ومربع الحرف الثاني فحدّان مختلفان ويبقيان منفصلين. وإذا جاء حرف مكان عدد فعامله تمامًا كعدد. الخطأ الشائع: اعتبار حاصل ضرب الحرفين بترتيبين مختلفين حدّين مختلفين، وهما في الحقيقة الحدّ نفسه.

Some brackets hold two letters, like x and y. Multiply the numbers, then write the letters side by side.

Worked example

1
$(3 x - y) (x + 3 y)$ — The question. Still four products.
2
$3 x \times x = 3 x^{2}$ — 3 × 1 = 3, and x × x = x².
3
$3 x \times 3 y = 9 x y$ — 3 × 3 = 9, and x times y is written xy.
4
$(- y) \times x = - x y$ — Minus times plus is minus. y × x is the same as x × y, so write it xy.
5
$(- y) \times 3 y = - 3 y^{2}$ — −1 × 3 = −3, and y × y = y².
6
$= 3 x^{2} + 9 x y - x y - 3 y^{2}$ — All four products in one line.
7
$= 3 x^{2} + 8 x y - 3 y^{2}$ — 9xy − xy = 8xy. The x² and y² are different terms, so they stay apart.

A letter in place of a number. Treat it just like a number: $2 a \times 3 x = 6 a x$ .

Worked example

1
$(x + 2 a) (3 x - a)$ — The question. The letter a stands for a number, so +2a is just a term.
2
$x \times 3 x = 3 x^{2}$ — First × first.
3
$x \times (- a) = - a x$ — Plus times minus is minus. Write the letters in alphabetical order: ax.
4
$2 a \times 3 x = 6 a x$ — 2 × 3 = 6, and the letters a and x sit side by side.
5
$2 a \times (- a) = - 2 a^{2}$ — 2 × −1 = −2, and a × a = a².
6
$= 3 x^{2} - a x + 6 a x - 2 a^{2}$ — All four products in one line.
7
$= 3 x^{2} + 5 a x - 2 a^{2}$ — Collect: −ax + 6ax = 5ax.

Common mistake

Treating xy and yx as different terms. They are the same, so 9xy − yx = 8xy.

7. Squaring a Bracket

مربع القوس يعني القوس مضروبًا في نفسه. القاعدة: مربع الحدّ الأول، ثم ضعف حاصل ضرب الحدّين، ثم مربع الحدّ الثاني. إشارة الحدّ الأوسط مثل إشارة القوس، أما الحدّ الأخير فدائمًا موجب. في المثال الأول نكتب القوس مرتين ونوجد النواتج الأربعة، فنجد الحدّين الأوسطين متساويين، ومجموعهما هو ضعف حاصل الضرب. وفي المثال الثاني نربّع الحدّ الأول كله، عدده وحرفه، ثم نضاعف حاصل الضرب بإشارة سالبة كالقوس، ثم نربّع الحدّ الثاني. الأخطاء الشائعة: نسيان الحدّ الأوسط، وتربيع الحرف وحده دون معامله.

A squared bracket means the bracket times itself. Textbooks print the result as two formulas:

Formula

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Formula

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

$a$ is the first term in the bracket and $b$ is the second. Square the first, double the two multiplied, square the second. The sign in the middle copies the bracket; the end is always +.

Worked example

1
$(x + 7)^{2} = (x + 7) (x + 7)$ — Squared means times itself, so write the bracket twice.
2
$= x^{2} + 7 x + 7 x + 49$ — The four products: x × x, x × 7, 7 × x and 7 × 7. The two middle ones are equal.
3
$= x^{2} + 14 x + 49$ — 7x + 7x = 14x. That is the $2 ab$ in the formula: 2 × x × 7.

Worked example

1
$(3 x - 2)^{2}$ — The question. Here a = 3x and b = 2, with a minus, so use the second formula.
2
$a^{2} = (3 x)^{2} = 9 x^{2}$ — Square the whole first term: 3² = 9 and x² stays.
3
$2 ab = 2 \times 3 x \times 2 = 12 x$ — Double the two terms multiplied. It goes in with a minus, like the bracket.
4
$b^{2} = 2^{2} = 4$ — Square the second term. The end is always +.
5
$= 9 x^{2} - 12 x + 4$ — Put the three parts together: first squared, minus the middle, plus the end.

Common mistake

Writing $(x + 7)^{2} = x^{2} + 49$ . The middle term 14x is missing. Also, $(3 x)^{2}$ is 9x², not 3x².

8. Find the Letters (Extended/Higher)

بعض الأسئلة تعطيك إجابة فيها حروف مجهولة وتطلب إيجادها. فُكّ الطرف الذي فيه أقواس، ثم طابق الطرفين حدًّا بحدّ: معامل المجهول مع معامل المجهول، والعدد الحر مع العدد الحر. في المثال الأول نفك مربع القوس بالقاعدة، فنساوي الحدّ الأوسط بنظيره لنجد الحرف الأول، ثم نساوي الحدّ الأخير بنظيره لنجد الثاني، ونتحقق بالفك. وفي المثال الثاني يوجد عدد مضاف بعد القوس، فيدخل في مطابقة الأعداد الحرة. كل حرف له عادة درجة مستقلة، فإن وجدت واحدًا فقط فاكتبه.

Some questions give an answer with letters in it and ask you to find them. Expand the side with brackets, then match the two sides term by term.

Worked example

1
$(x + a)^{2} = x^{2} + 14 x + b$ — The question. Find a and b.
2
$x^{2} + 2 a x + a^{2} = x^{2} + 14 x + b$ — Expand the left with the square formula: the middle is 2ax and the end is a².
3
$2 a = 14$ — The x terms must match, so 2a = 14.
4
$a = 7$ — Divide both sides by 2.
5
$b = a^{2} = 7^{2} = 49$ — The numbers on their own must match too, so b = a².
6
$(x + 7)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$ — Check by expanding. It matches, so a = 7 and b = 49.

Worked example

1
$(x - 3)^{2} + k = x^{2} - p x + 2$ — The question. Find p and k.
2
$x^{2} - 6 x + 9 + k = x^{2} - p x + 2$ — Expand the square: −3x twice makes −6x, and (−3)² = +9.
3
$- 6 = - p$ — Match the x terms: −6x = −px.
4
$p = 6$ — Both sides have a minus, so p = 6.
5
$9 + k = 2$ — Match the numbers on their own: 9 + k = 2.
6
$k = 2 - 9 = - 7$ — Take 9 from both sides.

Key idea

Each letter usually earns its own mark. If you find one and not the other, still write the one you found.

9. Which Method? Read the Question

عُدّ الحدود ثم انظر إلى الإشارات لتختار الطريقة. قوسان: أربعة نواتج ثم اجمع الحدّين الأوسطين. قوس مربع: اكتبه مرتين أو استخدم قاعدة المربع. حروف مجهولة في الطرفين: فُكّ ثم طابق حدًّا بحدّ. مستطيل أضلاعه أقواس: المساحة تساوي الطول في العرض ثم فُكّ. عدد في قوس واحد أو ثلاثة أقواس: انظر درس الفك والتبسيط. وإذا طُلب تحويله إلى حاصل ضرب: انظر درس تحليل المقادير التربيعية. في مثال المستطيل، كتابة حاصل ضرب القوسين وحدها قد تأخذ درجة، ثم تفك وتجمع. للتحقق عوّض بعدد صغير في السؤال وفي إجابتك، فيجب أن يعطيا الناتج نفسه.

Count the terms, then check the signs.

You see	You do
Two brackets	4 products, collect the middle
A bracket squared	write it twice, or use a² + 2ab + b²
Letters to find on both sides	expand, then match term by term
A rectangle with sides in brackets	area = one side × the other, then expand
A number × one bracket	see Expand and Simplify
Three brackets	two at a time (Expand and Simplify)
Make it a product	see Factorising Quadratic Expressions

Brackets hidden in a shape. A rectangle is $(x + 4)$ cm long and $(x - 1)$ cm wide. Write its area in the form $x^{2} + a x + b$ .

Worked example

1
$area = (x + 4) (x - 1)$ — Area of a rectangle = length × width. Writing this product can already earn a mark.
2
$= x^{2} - x + 4 x - 4$ — The four products: x × x, x × (−1), 4 × x and 4 × (−1).
3
$= x^{2} + 3 x - 4$ — Collect: −x + 4x = 3x. So a = 3 and b = −4.

Key idea

Check: put x = 1 into the question and your answer. Both should give the same number.

تدرّب على فك قوسين

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح فك قوسين

1. Two Brackets, Four Products

2. Expanding Two Brackets

3. Watch the Signs

4. When a Bracket Is Back to Front

5. A Number in Front of x

6. Two Letters in the Brackets

7. Squaring a Bracket

8. Find the Letters (Extended/Higher)

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على فك قوسين

أسئلة امتحانات سابقة على فك قوسين، محلولة ومشروحة بالعربي