شرح التحليل البسيط

Simple Factorising

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Factorising Means

فكّ القوس يُزيل القوس، والتحليل إلى عوامل عكسه: يُعيد القوس. تبدأ بمقدار وتكتبه على شكل شيء مضروب في قوس، تمامًا كما تكتب عددًا على شكل حاصل ضرب عددين. القاعدة: ابحث عمّا تشترك فيه كل الحدود، وأخرجه خارج القوس، وما يتبقى من كل حدّ يوضع داخله. ويمكنك دائمًا أن تتحقق: افكّ إجابتك، فإن رجع السؤال نفسه فإجابتك صحيحة.

Expanding takes the bracket away: $6 (2 y - 3) = 12 y - 18$ . Factorising puts it back: you start with $12 y - 18$ and find $6 (2 y - 3)$ .

Example

Think of 12. Writing it as $3 \times 4$ is factorising a number. Here you write an expression as something times a bracket.

Rule

Find what every term shares. Take it outside the bracket. What is left goes inside.

Key idea

You can always check: expand your answer and you should get the question back.

2. Take Out the Biggest Number

أسئلة الدرجة الواحدة يكون فيها حدّان عدديان بسيطان. ابحث عن أكبر عدد يقسم كل الحدود، وليس أيّ عدد يقسمها. اكتب هذا العدد مرة واحدة خارج القوس، وداخل القوس ضع ما يتبقى من كل حدّ بعد القسمة مع الإبقاء على الإشارة بينهما. ثم افكّ القوس لتتحقق أنك رجعت إلى السؤال. الخطأ الشائع: إخراج عامل صغير، فيبقى داخل القوس حدّان ما زال بينهما عامل مشترك، وهذا تحليل غير كامل.

The 1-mark questions look like $9 y - 12$ . Find the biggest number that divides every term.

Worked example

1
$12 y - 18$ — The question. Look for the biggest number that goes into both 12 and 18.
2
$12 y = 6 \times 2 y, 18 = 6 \times 3$ — 6 is the biggest number that goes into 12 and 18. 2 and 3 also go in, but they are smaller.
3
$= 6 (2 y - 3)$ — Write the 6 once, outside the bracket. Inside goes what is left of each term, 2y and 3, with the minus kept between them.
4
$6 \times 2 y - 6 \times 3 = 12 y - 18 ✓$ — Expand to check. You get the question back, so the answer is right.

Common mistake

$3 (4 y - 6)$ is not finished: 4y and 6 still share 2. Use the biggest common factor.

3. Factorise Fully: Numbers and Letters

أسئلة الدرجتين تقول «حلّل تحليلًا كاملًا». أخرج أكبر عدد مشترك، وأخرج أيضًا كل حرف مشترك بين الحدود. لكل حرف خذ أصغر قوة تظهر في كل الحدود. ابدأ بالأعداد، ثم كل حرف على حدة، ثم اجمع القطع معًا لتحصل على العامل المشترك. بعدها اقسم كل حدّ عليه، وضع النواتج داخل القوس مع الإبقاء على الإشارة. الخطأ الشائع: إخراج العدد فقط وترك الحروف المشتركة. وإذا أخرجت عاملًا غير كامل فقد تأخذ درجة واحدة فقط، لذلك افحص ما داخل القوس دائمًا.

The 2-mark questions say fully. Take out the biggest number and every letter the terms share.

Rule

For each letter, take the lowest power that appears in every term. $a^{3}$ and $a^{2}$ share $a^{2}$ .

Worked example

1
$18 a^{3} b^{2} - 12 a^{2} b^{5}$ — The question. Deal with the numbers first, then each letter, one at a time.
2
$18 = 6 \times 3, 12 = 6 \times 2$ — 6 is the biggest number that goes into 18 and 12.
3
$a^{3}, a^{2} \to a^{2}$ — Both terms have at least $a^{2}$ , so a² comes out. Always take the lowest power.
4
$b^{2}, b^{5} \to b^{2}$ — Both terms have at least $b^{2}$ , so b² comes out too.
5
$common factor = 6 a^{2} b^{2}$ — Put the pieces together. This goes outside the bracket.
6
$18 a^{3} b^{2} \div 6 a^{2} b^{2} = 3 a$ — Divide the first term by it: 18 ÷ 6 = 3, $a^{3} \div a^{2} = a$ , and $b^{2} \div b^{2} = 1$ .
7
$12 a^{2} b^{5} \div 6 a^{2} b^{2} = 2 b^{3}$ — Divide the second term: 12 ÷ 6 = 2, $a^{2} \div a^{2} = 1$ , and $b^{5} \div b^{2} = b^{3}$ .
8
$= 6 a^{2} b^{2} (3 a - 2 b^{3})$ — Common factor outside, the two answers inside. Keep the minus from the question.

Common mistake

Taking out only the number: $6 (3 a^{3} b^{2} - 2 a^{2} b^{5})$ . The terms still share $a^{2} b^{2}$ , so it is not fully factorised.

Key idea

Show what you take out. In a 2-mark “fully” question, a correct but unfinished answer such as $2 p (6 p - 9)$ for $12 p^{2} - 18 p$ usually still earns 1 mark. Then check the bracket: 6p and 9 still share 3, so the full answer is $6 p (2 p - 3)$ . If a question asks why someone lost a mark, that is the reason to give.

4. When a Term Is the Whole Factor

أحيانًا يكون أحد الحدود هو العامل المشترك كله. حدّد العامل المشترك من الأعداد وأصغر قوة للمجهول، ثم اقسم كل حدّ عليه. عندما تقسم الحدّ على نفسه يكون الناتج واحدًا وليس صفرًا، فاكتب الواحد مكانه داخل القوس. ثم افكّ القوس لتتحقق أن الحدّين رجعا. الخطأ الشائع: ترك مكانه فارغًا، فيختفي هذا الحدّ عند الفكّ.

Sometimes one term is the whole common factor, like the 4x in $4 x + 12 x^{2}$ . Its place in the bracket is taken by 1.

Worked example

1
$4 x + 12 x^{2}$ — The question. Both terms share a number and an x.
2
$common factor = 4 x$ — 4 is the biggest number that goes into 4 and 12, and the lowest power of x is x.
3
$4 x \div 4 x = 1$ — Divide the first term by 4x. Anything divided by itself is 1, not 0.
4
$12 x^{2} \div 4 x = 3 x$ — Divide the second term: 12 ÷ 4 = 3 and $x^{2} \div x = x$ .
5
$= 4 x (1 + 3 x)$ — Common factor outside, 1 and 3x inside.
6
$4 x \times 1 + 4 x \times 3 x = 4 x + 12 x^{2} ✓$ — Expand to check. Both terms come back, so it is right.

Common mistake

Writing $4 x (3 x)$ . It expands to $12 x^{2}$ only, so the 4x has vanished. Leave 1 in its place.

5. Find the HCF of Two Terms

بعض الأسئلة تطلب فقط العامل المشترك الأكبر لحدّين، وهو الجزء الذي كنت ستُخرجه خارج القوس، لكن دون قوس. ابدأ بالأعداد وأوجد أكبر عدد يقسم الاثنين، ثم انظر إلى المجهول وخذ أصغر قوة له، لأن الحدّ ذا القوة الأصغر لا يحتوي إلا على ذلك العدد من المجهول. اضرب القطع معًا، فتكون الإجابة حدًّا واحدًا. الخطأ الشائع: أخذ القوة الأكبر، وهذا مستحيل لأن الحدّ الآخر لا يحتويها.

Some questions only ask for the highest common factor (HCF) of two terms, like $18 x^{4}$ and $24 x^{7}$ . It is the part you would take outside the bracket, with no bracket.

Worked example

1
$18 x^{4} and 24 x^{7}$ — The question. Deal with the numbers first, then the letter.
2
$18 = 6 \times 3, 24 = 6 \times 4$ — 6 is the biggest number that goes into both 18 and 24.
3
$x^{4}, x^{7} \to x^{4}$ — $x^{4}$ is four x's multiplied, and $x^{7}$ contains those same four. So both share x⁴: the lowest power.
4
$HCF = 6 x^{4}$ — Multiply the pieces together. The answer is one term, with no bracket.

Common mistake

Taking the highest power, $x^{7}$ . $18 x^{4}$ has only four x's, so it cannot share seven.

6. A Square Minus a Square

عندما ترى حدّين كلاهما مربّع وبينهما إشارة طرح، فهما «فرق بين مربعين»، ولا يوجد بينهما عامل مشترك. أوجد ما رُبِّع في كل حدّ، ثم اكتب قوسين في كل منهما الجذران، أحدهما بإشارة طرح والآخر بإشارة جمع. وهذا صحيح لأن الحدّين الأوسطين يلغي أحدهما الآخر عند الفكّ. وفي «التحليل الكامل» قد تحتاج أولًا إلى إخراج عدد مشترك حتى يصبح ما داخل القوس فرقًا بين مربعين، ثم تحلّله. الخطأ الشائع: التوقف بعد إخراج العدد، مع أن القوس ما زال يمكن تحليله.

Two square terms with a minus between them, like $9 x^{2} - 16 y^{2}$ , share nothing. They factorise into two brackets.

Worked example

1
$9 x^{2} - 16 y^{2}$ — The question. Two terms, a minus between them, and both are squares.
2
$= (3 x)^{2} - (4 y)^{2}$ — Find what is squared: 3x × 3x = 9x², and 4y × 4y = 16y².
3
$= (3 x - 4 y) (3 x + 4 y)$ — Write two brackets, each with 3x and 4y. One bracket gets a minus, the other a plus.

Key idea

Why it works: expand it back and the middle terms, $- 12 x y$ and $+ 12 x y$ , cancel.

“Factorise fully” may need a number out first:

Worked example

1
$3 m^{2} - 75$ — The question. 75 is not a square number, so this is not a square minus a square yet.
2
$= 3 (m^{2} - 25)$ — Take out the common factor 3: $3 m^{2} \div 3 = m^{2}$ and 75 ÷ 3 = 25.
3
$= 3 (m^{2} - 5^{2})$ — Now the bracket is a square minus a square, because 25 = 5 × 5.
4
$= 3 (m - 5) (m + 5)$ — Split the bracket into two brackets, one with − and one with +. Keep the 3 in front.

Common mistake

Stopping at $3 (m^{2} - 25)$ . The bracket still factorises, so it is not fully factorised.

7. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ عُدّ الحدود وانظر إلى الإشارات. حدّان عدديان: أخرج أكبر عدد مشترك. «تحليل كامل» مع حروف: أكبر عدد وأصغر قوة لكل حرف. أحد الحدود هو العامل كله: ضع الواحد مكانه. «أوجد العامل المشترك الأكبر»: أكبر عدد وأصغر قوى دون قوس. مربّع ناقص مربّع: قوسان، أحدهما بطرح والآخر بجمع. ثلاثة حدود فيها مربّع المجهول: قوسان، وهذا في درس تحليل المقادير التربيعية. وفي النهاية افكّ إجابتك في ذهنك، فإن رجع السؤال فهي صحيحة.

Count the terms and look at the signs.

You see	You do
$9 y - 12$	Take out the biggest number
“Fully”, with letters	Biggest number and the lowest power of each letter
One term is the whole common factor	Leave 1 in its place
“Find the HCF”	Biggest number and lowest powers, with no bracket
Square minus square	Two brackets, one with − and one with +
Three terms with x²	Two brackets: see Factorising Quadratic Expressions

Key idea

Expand your answer in your head. If you get the question back, it is right.

تدرّب على التحليل البسيط

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التحليل البسيط

1. What Factorising Means

2. Take Out the Biggest Number

3. Factorise Fully: Numbers and Letters

4. When a Term Is the Whole Factor

5. Find the HCF of Two Terms

6. A Square Minus a Square

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على التحليل البسيط

أسئلة امتحانات سابقة على التحليل البسيط، محلولة ومشروحة بالعربي