شرح تحليل المقادير التربيعية

Factorising Quadratic Expressions

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Factorising Means

أنت تعرف الفك: تحويل قوسين مضروبين إلى تعبير تربيعي. التحليل إلى عوامل هو الرحلة نفسها بالعكس: تبدأ بالتعبير التربيعي وتبحث عن القوسين اللذين جاء منهما. كما تكتب عددًا على صورة حاصل ضرب عددين، تكتب التعبير التربيعي على صورة قوس مضروب في قوس. لماذا نحتاجه؟ في الامتحان نحلّل لحلّ المعادلات ولتبسيط الكسور، فهو أداة ستستخدمها كثيرًا. ويمكنك دائمًا التحقق من قوسيك بفكهما. ومعلومة: كاتب في بابل، في العراق اليوم، كتب قبل آلاف السنين مسألة هي معادلة تربيعية وحلّها خطوة بخطوة دون أي حرف.

You already know how to expand: $(x + 3) (x + 2)$ becomes $x^{2} + 5 x + 6$ .

Factorising is the same journey backwards. You start with $x^{2} + 5 x + 6$ and find the two brackets it came from.

Example

Think of 12. Writing it as $3 \times 4$ is factorising a number. Factorising a quadratic is the same idea: write it as one bracket times another.

Rule

Why bother? In the exam you factorise to solve an equation and to simplify a fraction. It is a tool you will use again and again.

Key idea

Factorising undoes expanding. You can always check your brackets by expanding them back.

Key idea

About 3,800 years ago, a scribe in Babylon (in today's Iraq) set this problem on a clay tablet: the area of a square plus its side makes three quarters. That is $x^{2} + x = \frac{3}{4}$ , a quadratic equation, solved step by step without a single letter.

2. How: Sum and Product

عند فك قوسين، العددان داخلهما يقومان بمهمتين معًا: مجموعهما يعطي معامل الحدّ الأوسط، وحاصل ضربهما يعطي العدد الأخير. لذلك الطريقة: ابحث عن عددين حاصل ضربهما العدد الأخير، ومن بينهما اختر الزوج الذي مجموعه معامل الحدّ الأوسط، ثم ضع كل عدد في قوس بإشارته، وتحقّق بالفك. في المثال العدد الأخير سالب، فلا بد أن يكون أحد العددين سالبًا والآخر موجبًا؛ نكتب كل الأزواج ونجمع كلًّا منها حتى نجد الزوج المطلوب. قاعدة الإشارات: إذا كان العدد الأخير موجبًا فالإشارتان مثل إشارة الحدّ الأوسط؛ وإذا كان سالبًا فإحداهما موجبة والأخرى سالبة، والعدد الأكبر يأخذ إشارة الحدّ الأوسط. الخطأ الشائع: اختيار زوج صحيح في المقدار لكن بإشارات خاطئة، فتحقّق دائمًا بالفك.

Look at how two brackets expand. The two numbers inside do two jobs at once.

Formula

(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + pq

$p$ and $q$ are the numbers in the brackets. They add to make the middle number, $p + q$ , and multiply to make the last number, $pq$ . For example, $(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 5 x + 6$ : 3 + 2 = 5 and 3 × 2 = 6.

Steps

1
Find two numbers that multiply to the last number.
2
Of those, pick the pair that adds to the middle number.
3
Put one number in each bracket.
4
Check by expanding.

Worked example

1
$x^{2} + 2 x - 35$ — The question. We need two numbers that multiply to −35 and add to +2.
2
$1 \times (- 35), (- 1) \times 35, 5 \times (- 7), (- 5) \times 7$ — List every pair that multiplies to −35. One number must be negative, because only + × − gives a minus answer.
3
$- 5 + 7 = 2$ — Add each pair. Only −5 and 7 make +2, so they are the pair.
4
$(x - 5) (x + 7)$ — Put one number in each bracket with its sign: −5 goes in as x − 5, and 7 as x + 7.
5
$x^{2} + 7 x - 5 x - 35$ — Check by expanding: x × x, then x × 7, then −5 × x, then −5 × 7.
6
$= x^{2} + 2 x - 35$ — 7x − 5x = 2x. It matches the question, so the brackets are right.

Last number positive

Both signs are the same as the middle sign.

y^{2} - 9 y + 14

= (y - 2) (y - 7)

Last number negative

One + and one −. The bigger number takes the middle sign.

x^{2} + 2 x - 35

= (x - 5) (x + 7)

Common mistake

Picking a pair that adds correctly but has the wrong signs. Always expand to check — it takes ten seconds.

3. Both Numbers Negative

كثير من أسئلة الامتحان فيها سالب في الحدّ الأوسط وموجب في العدد الأخير. عندها يكون العددان في القوسين سالبين معًا: حاصل الضرب موجب فالإشارتان متشابهتان، والمجموع سالب فكلاهما سالب. اكتب الأزواج السالبة التي حاصل ضربها العدد الأخير، واجمع كل زوج حتى تجد الذي يعطي معامل الحدّ الأوسط، ثم ضع كل عدد في قوس، وتحقّق بالفك. الخطأ الشائع: كتابة القوسين بإشارة موجب؛ حاصل الضرب صحيح لكن المجموع خاطئ. وإذا كان في التعبير حرفان فالطريقة نفسها، ويحمل كل عدد الحرف الثاني معه.

Many exam questions have a minus in the middle and a plus at the end, like $x^{2} - 10 x + 16$ . Then both numbers in the brackets are negative.

Worked example

1
$x^{2} - 10 x + 16$ — The question. We need two numbers that multiply to +16 and add to −10.
2
$(- 1) \times (- 16), (- 2) \times (- 8), (- 4) \times (- 4)$ — The product is +, so both signs are the same. The sum is −, so both must be negative. List the negative pairs.
3
$(- 2) + (- 8) = - 10$ — Add each pair: −17, −10, −8. Only −2 and −8 make −10.
4
$(x - 2) (x - 8)$ — One number in each bracket. Both brackets get a minus.
5
$x^{2} - 8 x - 2 x + 16$ — Check by expanding. The last term is $(- 2) \times (- 8) = + 16$ , because minus times minus is plus.
6
$= x^{2} - 10 x + 16$ — −8x − 2x = −10x. It matches the question.

Common mistake

Writing $(x + 2) (x + 8)$ . It multiplies to +16 but adds to +10, not −10. A minus in the middle with a plus at the end means two minus signs.

Example

Two letters work the same way. For $p^{2} - 8 pq + 15 q^{2}$ , find two numbers that multiply to 15 and add to −8: −3 and −5. Each one carries a q, so $p^{2} - 8 pq + 15 q^{2} = (p - 3 q) (p - 5 q)$ .

4. When There Is a Number in Front of x²

إذا كان أمام مربع المجهول عدد غير الواحد، فهناك خطوة إضافية: تقسيم الحدّ الأوسط. الخطوات: اضرب معامل مربع المجهول في العدد الأخير، ثم ابحث عن عددين حاصل ضربهما هذا الناتج ومجموعهما معامل الحدّ الأوسط، ثم استخدمهما لتقسيم الحدّ الأوسط إلى حدّين، ثم أخرج عاملًا مشتركًا من كل نصف فيتطابق القوسان، وأخيرًا أخرج القوس المشترك. ابحث عن الزوج بكتابة الأزواج بالترتيب بدءًا من الواحد، فهذا يجده دائمًا حتى لو كان الناتج كبيرًا. التقسيم لا يغيّر قيمة التعبير. إذا لم يتطابق القوسان بعد التقسيم فهناك خطأ، فارجع وراجع الزوج.

Some questions start with $3 x^{2}$ or $6 y^{2}$ instead of just $x^{2}$ . Then one extra step helps: split the middle term.

Steps

1
Multiply the first number by the last number.
2
Find two numbers that multiply to that and add to the middle number.
3
Use them to split the middle term into two.
4
Take out a common factor from each half. The brackets will match.

Worked example

1
$3 x^{2} - 10 x - 8$ — The question. The number in front of x² is 3 and the last number is −8.
2
$3 \times (- 8) = - 24$ — Multiply first × last. Now we need two numbers that multiply to −24 and add to the middle number, −10.
3
$(1, - 24), (2, - 12), (3, - 8), (4, - 6)$ — List the pairs in order, starting from 1. The sum −10 is negative, so the bigger number gets the minus. Their sums are −23, −10, −5, −2.
4
$2 + (- 12) = - 10$ — The pair is 2 and −12. Listing in order always finds it, even when a × c is large.
5
$3 x^{2} - 12 x + 2 x - 8$ — Split −10x into −12x + 2x. The value has not changed, because −12x + 2x = −10x.
6
$3 x (x - 4) + 2 x - 8$ — Take 3x out of the first two terms: 3x² ÷ 3x = x and −12x ÷ 3x = −4.
7
$3 x (x - 4) + 2 (x - 4)$ — Take 2 out of the last two terms: 2x ÷ 2 = x and −8 ÷ 2 = −4. Both brackets are (x − 4), so you are on track.
8
$(3 x + 2) (x - 4)$ — (x − 4) is in both parts, so take it out. What is left, 3x + 2, is the other bracket.
9
$3 x^{2} - 12 x + 2 x - 8 = 3 x^{2} - 10 x - 8$ — Check by expanding. It matches the question.

Key idea

If the two brackets after splitting do not match, you made a slip. Go back and check the pair of numbers.

5. Perfect Squares

أحيانًا يكون الحدّ الأول والحدّ الأخير مربعين كاملين، وعندها قد تكون الإجابة قوسًا واحدًا مربعًا. اختبر ذلك: أوجد الشيئين اللذين رُبِّعا، ثم احسب ضعف حاصل ضربهما؛ إذا ساوى الحدّ الأوسط في المقدار فالنمط مناسب. إشارة الحدّ الأوسط تحدد إشارة القوس: موجب أو سالب. ثم تحقّق بالفك. الخطأ الشائع: كتابة قوس بالسالب وقوس بالموجب، فهذا يعطي فرقًا بين مربعين بلا حدّ أوسط؛ المربع الكامل له الإشارة نفسها في القوسين. وإذا لم تكن متأكدًا، فطريقة تقسيم الحدّ الأوسط تنجح دائمًا.

Sometimes the first and last terms are both squares, like $9 x^{2}$ and 25. Then the answer may be one bracket squared.

Formula

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2} a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

$a$ and $b$ are the things being squared. The middle term must be 2 × a × b — that is how you test if the pattern fits.

Worked example

1
$9 x^{2} - 30 x + 25$ — The question. The first and last terms are both squares, so test the pattern.
2
$9 x^{2} = (3 x)^{2}, 25 = 5^{2}$ — Find what is squared: a = 3x and b = 5.
3
$2 \times 3 x \times 5 = 30 x$ — Test the middle: 2ab = 30x. The question has −30x: the same size, so the pattern fits. The minus decides the sign next.
4
$(3 x - 5)^{2}$ — The middle term has a minus, so use the $(a - b)^{2}$ form.
5
$(3 x - 5) (3 x - 5) = 9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25$ — Check by expanding: −15x − 15x = −30x. It matches the question.

Common mistake

Writing $(3 x - 5) (3 x + 5)$ . That expands to $9 x^{2} - 25$ with no middle term. A perfect square has the same sign in both brackets.

Key idea

Not sure it is a perfect square? The split method still works: 9 × 25 = 225, and (−15) × (−15) = 225 and (−15) + (−15) = −30.

6. Take Out a Common Factor First

عندما يقول السؤال «حلّل تحليلًا كاملًا» ابحث عن عدد يقسم كل الحدود، وأخرجه أولًا، فيصبح تحليل ما داخل القوس أسهل بكثير. بعد ذلك حلّل التعبير داخل القوس بطريقة العددين: حاصل ضربهما العدد الأخير ومجموعهما معامل الحدّ الأوسط. احتفظ بالعدد الذي أخرجته في المقدمة، فهو جزء من الإجابة. تحقّق بفك القوسين ثم الضرب في ذلك العدد. الخطأ الشائع: إجابة صحيحة عند الفك لكن أحد قوسيها ما زال فيه عامل مشترك، فهي غير مكتملة وتخسر درجة. وإذا كان معامل مربع المجهول سالبًا فأخرج سالب واحد بالطريقة نفسها، فتنقلب كل الإشارات داخل القوس.

When the question says factorise completely, look for a number that divides every term. Take it out first — the brackets become much easier.

Worked example

1
$3 x^{2} - 6 x - 45$ — The question. 3, 6 and 45 are all in the 3 times table.
2
$3 (x^{2} - 2 x - 15)$ — Take out the 3: 3x² ÷ 3 = x², −6x ÷ 3 = −2x and −45 ÷ 3 = −15.
3
$(- 5) \times 3 = - 15, - 5 + 3 = - 2$ — Factorise the bracket: we need two numbers that multiply to −15 and add to −2. They are −5 and 3.
4
$3 (x - 5) (x + 3)$ — Put them in brackets and keep the 3 in front. It is part of the answer.
5
$3 (x^{2} - 2 x - 15) = 3 x^{2} - 6 x - 45$ — Check: (x − 5)(x + 3) = x² − 2x − 15, then × 3 gives the question back.

Common mistake

Stopping at $(3 x - 15) (x + 3)$ . It expands correctly, but 3x − 15 still has a common 3, so it is not factorised completely and loses a mark.

Key idea

If x² has a minus, take out −1 the same way. It flips every sign inside: $- x^{2} + 2 x + 15 = - (x^{2} - 2 x - 15) = - (x - 5) (x + 3)$ .

7. When the Exam Says “Hence Solve”

كثيرًا ما يطلب الامتحان أن تحلّل ثم «ومن ثم حُلّ» المعادلة التي تساوي صفرًا. «ومن ثم» تعني: استخدم القوسين اللذين وجدتهما، ولا تبدأ من جديد. القاعدة: إذا كان حاصل ضرب شيئين صفرًا فلا بد أن يكون أحدهما صفرًا. لذلك تأكد أن المعادلة تساوي صفرًا، ثم اكتبها بالقوسين، ثم اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحُلّ كل معادلة وحدها، فتحصل على حلّين. تحقّق بالتعويض بأحد الحلّين في المعادلة. الخطأ الشائع: نسيان أن الإشارة تنقلب عند الحل؛ فإذا كان في القوس طرح عدد كان الحل ذلك العدد موجبًا. وإذا كان أمام المجهول عدد في القوس، فاقسم عليه في النهاية.

Very often the exam asks you to factorise, then hence solve the equation = 0. “Hence” means: use the brackets you just found.

Rule

If two things multiply to make 0, one of them must be 0. So each bracket can be set equal to 0.

Worked example

1
$x^{2} + 2 x - 35 = 0$ — The equation. It must equal 0 before the brackets can help, and it already does.
2
$(x - 5) (x + 7) = 0$ — Swap in the brackets we found earlier. “Hence” means use them — do not start again.
3
$x - 5 = 0 or x + 7 = 0$ — Two brackets multiply to 0, so one of them must be 0. Set each one equal to 0.
4
$x = 5$ — Solve the first: add 5 to both sides.
5
$x = - 7$ — Solve the second: take 7 from both sides.
6
$5^{2} + 2 \times 5 - 35 = 0$ — Check one answer in the equation: 25 + 10 − 35 = 0. Correct.

Common mistake

Giving $x = - 5$ and $x = 7$ . The signs flip when you solve: $x - 5 = 0$ gives $x = 5$ .

Key idea

With a number in front it works the same way: $3 x + 2 = 0$ gives $3 x = - 2$ , so $x = - \frac{2}{3}$ .

8. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر إلى معامل مربع المجهول وإلى كلمات السؤال. كل الحدود تشترك في عدد: أخرجه أولًا ثم حلّل ما في القوس. مربع المجهول وحده بلا معامل: عددان حاصل ضربهما العدد الأخير ومجموعهما معامل الحدّ الأوسط. عدد أمام مربع المجهول: اضرب الأول في الأخير ثم قسّم الحدّ الأوسط. الحدّ الأول والأخير مربعان: جرّب المربع الكامل. «ومن ثم حُلّ» والمعادلة تساوي صفرًا: اجعل كل قوس يساوي صفرًا. التحليل عادة عليه درجتان، وقوسان فيهما حاصل الضرب الصحيح أو المجموع الصحيح يأخذان درجة منهما، فاكتب قوسيك دائمًا. والحل بعدها درجة إضافية، فتحقّق من قوسيك بالفك أولًا.

Before you start, look at the number in front of $x^{2}$ and at the words of the question.

You see	You do
Every term shares a number	Take it out first, then factorise the bracket
Just $x^{2}$	Two numbers: multiply to the last, add to the middle
A number in front, like $3 x^{2}$	Multiply first × last, then split the middle
First and last terms are squares	Try $(a + b)^{2}$ or $(a - b)^{2}$
“Hence solve … = 0”	Set each bracket equal to 0

Key idea

Factorising is usually 2 marks. Brackets with the right product or the right sum already earn 1 of them, so always write your brackets down. “Hence solve” is 1 more mark and uses your brackets — expand to check them first.

تدرّب على تحليل المقادير التربيعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تحليل المقادير التربيعية

1. What Factorising Means

2. How: Sum and Product

3. Both Numbers Negative

4. When There Is a Number in Front of x²

5. Perfect Squares

6. Take Out a Common Factor First

7. When the Exam Says “Hence Solve”

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على تحليل المقادير التربيعية

أسئلة امتحانات سابقة على تحليل المقادير التربيعية، محلولة ومشروحة بالعربي