شرح الفرق بين مربعين

Difference of Two Squares

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Difference of Two Squares Is

كلمة «فرق» تعني طرحًا، فالفرق بين مربعين هو حدّ مربع مطروح منه حدّ مربع آخر. القاعدة: الفرق بين مربعين يساوي قوسين، في أحدهما إشارة سالب وفي الآخر إشارة موجب، وفي كل قوس الشيئان اللذان رُبِّعا. في المثال نبدأ من القوسين ونضرب كل حدّ في كل حدّ، فيظهر حدّان في الوسط متساويان في المقدار ومختلفان في الإشارة فيلغي أحدهما الآخر، ولا يبقى إلا المربعان. التحليل إلى عوامل هو هذه الخطوات بالعكس. وجرّب الفكرة في الحساب الذهني: حاصل ضرب عددين قريبين من عدد مستدير يصبح سهلًا بهذه الطريقة.

A difference means a take-away. So a difference of two squares is one square number or term minus another, like $x^{2} - 49$ .

Formula

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Here $a$ is what is squared in the first term and $b$ is what is squared in the second. One bracket gets a minus, the other a plus.

Worked example

1
$(x - 7) (x + 7)$ — Start with two brackets that have the same 7 but opposite signs. Let us see why they give a difference of two squares.
2
$= x^{2} + 7 x - 7 x - 49$ — Multiply every term in the first bracket by every term in the second: $x \times x$ , $x \times 7$ , $- 7 \times x$ , $- 7 \times 7$ .
3
$= x^{2} + 7 x - 7 x - 49$ — The two middle terms are the same size with opposite signs, so they add to 0 and cancel.
4
$= x^{2} - 49$ — Only the two squares are left: $x^{2}$ minus $7^{2} = 49$ .

Key idea

Factorising just runs this backwards: see $x^{2} - 49$ , write $(x - 7) (x + 7)$ .

Key idea

Work out $101 \times 99$ in your head. Write it as $(100 + 1) (100 - 1)$ , which is $10 0^{2} - 1^{2} = 10000 - 1 = 9999$ . Try $52 \times 48$ the same way.

2. Square Minus Square

هذا سؤال الدرجتين المعتاد: حلّل تعبيرًا من حدّين بينهما إشارة طرح وكل منهما مربع. اسأل نفسك: ما الذي رُبِّع في كل حدّ؟ خذ الجذر التربيعي لكل حدّ: جذر العدد، ونصف أُس الحرف. ثم اكتب قوسين بالجذرين، أحدهما بإشارة سالب والآخر بإشارة موجب، ولا يهم ترتيب القوسين. الخطأ الشائع: أن تكتب العددين الأصليين داخل القوسين بدلًا من جذريهما التربيعيين.

The 2-mark question: factorise something like $25 x^{2} - 9 y^{2}$ . Ask what is squared in each term.

Worked example

1
$25 x^{2} - 9 y^{2}$ — The question. Two terms, a minus between them, and both are squares. That is the sign to use this pattern.
2
$= (5 x)^{2} - (3 y)^{2}$ — Square root each term: $25 x^{2}$ is 5x and $9 y^{2}$ is 3y. Root the number and halve the power.
3
$= (5 x - 3 y) (5 x + 3 y)$ — Now use $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ with a = 5x and b = 3y. The order of the brackets does not matter.

Common mistake

Writing $(25 x - 9 y) (25 x + 9 y)$ . Use the square roots: $25 x^{2} = 5 x$ , not $25 x$ .

3. Take Out a Number First

عندما يقول السؤال «حلّل تحليلًا كاملًا» قد لا تكون الأعداد مربعات بعد. أخرج العامل المشترك أولًا، ثم انظر من جديد: سيصبح ما داخل القوس فرقًا بين مربعين، فتحلّله إلى قوسين أحدهما بالسالب والآخر بالموجب، ويبقى العامل المشترك في المقدمة. وأحيانًا يكون العامل المشترك عددًا وحرفًا معًا، والفكرة نفسها. الخطأ الشائع: التوقف بعد إخراج العامل المشترك، أو ترك عدد مشترك داخل أحد القوسين؛ الإجابتان صحيحتان لكن التحليل غير مكتمل. واكتب سطر العامل المشترك دائمًا، فقد يمنحك درجة حتى لو أخطأت بعده.

When the question says factorise fully, the numbers may not be square yet. Take out the common factor first, then look again.

Worked example

1
$2 x^{2} - 72$ — The question. 72 is not a square number, so the pattern will not work yet.
2
$= 2 (x^{2} - 36)$ — Both 2 and 72 divide by 2, so take it out: $2 x^{2} \div 2 = x^{2}$ and $72 \div 2 = 36$ .
3
$= 2 (x - 6) (x + 6)$ — Now the bracket is a square minus a square: $36 = 6^{2}$ . The 2 stays in front.

Exams often use two letters and hide an x in the common factor too. Same idea.

Worked example

1
$3 x^{3} - 48 x y^{2}$ — The question. 48 is not square, and $x^{3}$ is not a square either.
2
$= 3 x (x^{2} - 16 y^{2})$ — Both terms divide by 3 and by x, so take out 3x: $3 x^{3} \div 3 x = x^{2}$ and $48 x y^{2} \div 3 x = 16 y^{2}$ .
3
$= 3 x (x - 4 y) (x + 4 y)$ — Inside is a difference of two squares: $16 y^{2}$ is 4y squared. One minus bracket, one plus bracket.

Common mistake

Stopping at $2 (x^{2} - 36)$ , or writing $(2 x - 12) (x + 6)$ . Both are right but not finished: the first bracket still factorises, the second still has a 2 inside it.

Key idea

Show the common-factor line. If you make a slip after it, that line alone can still earn you a mark.

4. Use It on Numbers

بعض الأسئلة تطلب الفرق بين مربعي عددين بدون آلة حاسبة. تربيع كل عدد بطيء، فاستخدم القاعدة نفسها: الفرق بين المربعين يساوي الفرق بين العددين مضروبًا في مجموعهما. احسب كل قوس: الفرق، ثم المجموع، ثم اضربهما. غالبًا يكون المجموع عددًا مستديرًا يسهل الضرب فيه، وهذه هي العلامة التي تخبرك أن السؤال يريد هذه الحيلة.

Some questions ask for $5 3^{2} - 4 7^{2}$ without a calculator. Squaring both is slow. Use the pattern.

Worked example

1
$5 3^{2} - 4 7^{2}$ — The question. It is a square minus a square, so $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ works on numbers too.
2
$= (53 - 47) (53 + 47)$ — Put a = 53 and b = 47 into the two brackets: one minus, one plus.
3
$= 6 \times 100$ — Work out each bracket: 53 − 47 = 6 is the difference and 53 + 47 = 100 is the sum.
4
$= 600$ — Multiplying by 100 is easy, which is why this is faster than squaring 53 and 47.

Key idea

Look for a sum that makes a round number, like 100. That is the sign the question wants this trick.

5. Twice, or a Bracket Squared

في الأسئلة الأصعب تكون المربعات مخفية. الحرف المرفوع للقوة الرابعة هو مربع لمربع الحرف، وقد يكون قوس كامل هو الشيء المربَّع. الطريقة: اكتب كل حدّ على صورة مربع، وطبّق القاعدة مرة، ثم افحص كل قوس من جديد، فقد يكون أحدهما فرقًا بين مربعين أيضًا فتحلّله مرة ثانية. وإذا كان القوس كله مربعًا فعامله كشيء واحد في القاعدة، ثم رتّب كل قوس بجمع الأعداد. بعد الترتيب قد يبقى في أحد القوسين عامل مشترك، و«تحليلًا كاملًا» تعني أن تخرجه. تذكّر: مجموع مربعين لا يتحلّل أبدًا.

Harder questions hide the squares. A power of 4 is a square of a square, and a whole bracket can be the thing that is squared.

Worked example

1
$x^{4} - 81 = (x^{2})^{2} - 9^{2}$ — Write each term as a square: $x^{4}$ is x² squared, because $x^{2} \times x^{2} = x^{4}$ , and 81 is 9 squared.
2
$= (x^{2} - 9) (x^{2} + 9)$ — Use the pattern once, with a = x² and b = 9.
3
$= (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$ — Check each bracket again. $x^{2} - 9$ is also a square minus a square, so it splits into $(x - 3) (x + 3)$ .

Worked example

1
$(x + 5)^{2} - 4^{2}$ — The question. Here the whole bracket x + 5 is the thing being squared, so treat it as a.
2
$= (x + 5 - 4) (x + 5 + 4)$ — Use the pattern with a = x + 5 and b = 4: one minus, one plus.
3
$= (x + 1) (x + 9)$ — Tidy each bracket: 5 − 4 = 1 and 5 + 4 = 9.

After tidying, a bracket may still have a common factor. Fully means you take it out.

Worked example

1
$(3 x + 1)^{2} - 16$ — The question. $16 = 4^{2}$ , and the bracket 3x + 1 is squared.
2
$= (3 x + 1 - 4) (3 x + 1 + 4)$ — Use the pattern with a = 3x + 1 and b = 4.
3
$= (3 x - 3) (3 x + 5)$ — Tidy each bracket: 1 − 4 = −3 and 1 + 4 = 5.
4
$= 3 (x - 1) (3 x + 5)$ — The first bracket 3x − 3 divides by 3, so take the 3 out to the front. 3x + 5 has no common factor, so stop.

Common mistake

Trying to factorise $x^{2} + 9$ . A square plus a square never factorises.

6. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة، انظر إلى الإشارة بين الحدّين وهل كل حدّ مربع. حدّان مربعان بينهما طرح: خذ الجذرين واكتب قوسًا بالسالب وقوسًا بالموجب. كلمة «تحليلًا كاملًا» والأعداد ليست مربعات: أخرج العامل المشترك أولًا. فرق بين مربعي عددين: الفرق في المجموع. قوة رابعة أو قوس مربع: حلّل ثم افحص كل قوس من جديد. مجموع مربعين: لا يتحلّل. كسر مقامه فرق بين مربعين: حلّل المقام ثم اختصر. ثلاثة حدود: هذا درس تحليل المقادير التربيعية. وتحقّق من أي إجابة بفك الأقواس: يجب أن تلغي الحدود الوسطى بعضها.

Check the sign between the terms and whether each term is a square.

You see	You do
$25 x^{2} - 9 y^{2}$	Square roots, one minus bracket, one plus
“Fully”, numbers not square	Take out the common factor first
$5 3^{2} - 4 7^{2}$	Difference times sum
$x^{4}$ or a bracket squared	Factorise, then check each bracket again
A square plus a square	It does not factorise
A fraction like $\frac{x - 4}{x ^{2} - 16}$	Factorise the bottom, then cancel. See Algebraic Fractions
Three terms, like $x^{2} + 5 x + 6$	See Factorising Quadratic Expressions

Key idea

Check any answer by expanding: the middle terms must cancel.

تدرّب على الفرق بين مربعين

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الفرق بين مربعين

1. What a Difference of Two Squares Is

2. Square Minus Square

3. Take Out a Number First

4. Use It on Numbers

5. Twice, or a Bracket Squared

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الفرق بين مربعين

أسئلة امتحانات سابقة على الفرق بين مربعين، محلولة ومشروحة بالعربي