شرح إيجاد الوسيط والربيعيات

Finding the Median and Quartiles

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Quartiles Cut the Data Into Quarters

رتّب البيانات أولًا. الوسيط يقسمها نصفين، والربيعيان يقسمان كل نصف نصفين مرة أخرى. الربيع الأدنى عند ربع الطريق، والوسيط في المنتصف، والربيع الأعلى عند ثلاثة أرباع الطريق. المدى الربيعي يساوي الربيع الأعلى ناقص الربيع الأدنى، وهو انتشار النصف الأوسط من البيانات. ميزته أنه يتجاهل أصغر القيم وأكبرها، فلا تفسده قيمة شاذة واحدة كما يحدث مع المدى. مثال من الحياة: منحنيات نمو وزن الأطفال عند الطبيب، فالمنحنى الأوسط هو الوسيط، والمنحنيان حوله هما الربيع الأدنى والربيع الأعلى.

Put the data in order. The median cuts it in half. The quartiles cut each half in half again.

Word	What it means
Lower quartile	a quarter of the way along
Median	halfway along
Upper quartile	three quarters of the way along

Formula

IQR = UQ - LQ

The interquartile range, IQR, is the upper quartile take away the lower quartile. It is the spread of the middle half of the data.

Key idea

The IQR ignores the very smallest and biggest values. So one strange value cannot spoil it, unlike the range.

Key idea

Doctors check a baby's weight on a growth chart. The middle curve is the 50th percentile, the median. The 25th and 75th percentile curves are the lower and upper quartiles. A baby on the 75th curve weighs more than about 75% of babies of the same age.

2. Quartiles From a List

لإيجاد المدى الربيعي من قائمة: رتّب القائمة من الأصغر إلى الأكبر أولًا، لأن الربيعيات لا تصح إلا على قائمة مرتبة، ثم عُدّ القيم. موقع الربيع الأدنى: عدد القيم زائد واحد، مقسومًا على أربعة. وموقع الربيع الأعلى: ثلاثة أضعاف ذلك. هذا الناتج موقع وليس الجواب، فعُدّ على القائمة حتى تصل إلى القيمة في هذا الموقع. موقع الوسيط هو عدد القيم زائد واحد مقسومًا على اثنين، وقد يُطلب أيضًا. ثم اطرح الربيع الأدنى من الأعلى واحتفظ بوحدة البيانات. الخطأ الشائع نسيان الترتيب، أو كتابة الموقع بدل القيمة الموجودة فيه.

The 2 or 3-mark question: "Find the interquartile range" of a list. Order the list, then count to each position.

Dina cycled these distances, in km, on 11 days: 12, 7, 20, 4, 15, 9, 25, 11, 6, 18, 14.

Formula

LQ: \frac{n + 1}{4} th value

UQ: \frac{3 ( n + 1 )}{4} th value

Here $n$ is how many values there are.

Worked example

1
$4, 6, 7, 9, 11, 12,$ — Put the 11 distances in order, smallest first. Quartiles only work on an ordered list.
2
$14, 15, 18, 20, 25$ — The rest of the ordered list. Count the values: $n = 11$ .
3
$\frac{11 + 1}{4} = 3$ — Put $n = 11$ into the lower quartile formula. This gives a position, not the answer.
4
$3 rd value = 7$ — Count 3 along the ordered list: 4, 6, 7. So the lower quartile is 7 km.
5
$\frac{11 + 1}{2} = 6 th value = 12$ — The median is halfway along, the 6th value. You do not need it for the IQR, but questions often ask for it too.
6
$\frac{3 ( 11 + 1 )}{4} = 9$ — The upper quartile position is three times the lower one: 3 × 3 = 9.
7
$9 th value = 18$ — Count 9 along the list. So the upper quartile is 18 km.
8
$18 - 7 = 11 km$ — IQR = upper quartile − lower quartile. Keep the units of the data.

Common mistake

Forgetting to order the list, or giving the position (3rd) instead of the value (7).

Key idea

15 values: the quartiles are the $\frac{16}{4} = 4$ th and the $12$ th values.

3. When the Position Ends in .5

أحيانًا يخرج موقع الربيع عددًا ينتهي بنصف، وهذا يعني أن الربيع يقع في منتصف المسافة بين قيمتين متجاورتين. الطريقة: عُدّ القيم واحسب الموقع بالقاعدة نفسها، فإذا انتهى بنصف فخذ القيمتين على جانبيه، واجمعهما واقسم على اثنين. افعل ذلك للربيع الأدنى والأعلى، ثم اطرح الأدنى من الأعلى. الخطأ الشائع أخذ إحدى القيمتين فقط؛ الموقع النصفي يعني المنتصف بينهما. في مخطط الساق والورقة تكون القيم مرتبة جاهزة، فعُدّ على الأوراق. واكتب الربيعين قبل الطرح، فلهما درجة على خطوات الحل حتى لو أخطأت في الطرح.

Exams often use 9 or 13 values. Then the position ends in .5, and the quartile is halfway between two values. Nine students spent these minutes on homework, already in order: 23, 25, 28, 31, 34, 36, 40, 42, 47.

Worked example

1
$n = 9$ — Count the values. They are already in order, so you can start counting positions.
2
$\frac{9 + 1}{4} = 2.5$ — The lower quartile position. 2.5th means halfway between the 2nd and the 3rd values.
3
$\frac{25 + 28}{2} = 26.5$ — The 2nd value is 25 and the 3rd is 28. Add them and halve to find the middle: LQ = 26.5.
4
$\frac{3 ( 9 + 1 )}{4} = 7.5$ — The upper quartile position: halfway between the 7th and the 8th values.
5
$\frac{40 + 42}{2} = 41$ — The 7th value is 40 and the 8th is 42. Halfway between them: UQ = 41.
6
$41 - 26.5 = 14.5 minutes$ — IQR = upper quartile − lower quartile.

Common mistake

Giving 25 or 28 as the lower quartile. Position 2.5 means halfway between them.

Key idea

A stem-and-leaf diagram lists the values in order for you. Count along the leaves. Write both quartiles down before you subtract: they earn a mark for working even if the subtraction goes wrong.

4. Median and IQR From a Graph

هنا نقدّر الوسيط والمدى الربيعي من منحنى التكرار التراكمي. الوسيط: خذ نصف العدد الكلي، واذهب منه على المحور الرأسي أفقيًا إلى المنحنى ثم انزل مباشرة واقرأ الوقت. الربيع الأدنى عند ربع العدد الكلي، والربيع الأعلى عند ثلاثة أرباعه، بالطريقة نفسها. ثم اطرح وقت الربيع الأدنى من وقت الربيع الأعلى. القاعدة: على المنحنى نستعمل النصف والأرباع من العدد الكلي مباشرة، دون إضافة واحد كما في القائمة، لأن البيانات كثيرة ولا يظهر الفرق، ونموذج التصحيح يتوقع ذلك. الخطأ الشائع طرح أعداد الأشخاص بدل الأوقات؛ اطرح الأوقات التي قرأتها على المحور الأفقي.

The 1 or 2-mark question: "Use your graph to find an estimate for the median" or "for the interquartile range". 40 people timed their wait for a bus.

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 40 = 20$ — The median is the middle person. Half of the 40 people is 20.
2
$across at 20, down: 15 min$ — Go across from 20 on the side axis to the curve, then straight down. The median is about 15 minutes.
3
$\frac{1}{4} \times 40 = 10 \to 10 min$ — Lower quartile: a quarter of 40 is 10. Across at 10, then down: 10 minutes.
4
$\frac{3}{4} \times 40 = 30 \to 20 min$ — Upper quartile: three quarters of 40 is 30. Across at 30, then down: 20 minutes.
5
$20 - 10 = 10 minutes$ — IQR = upper quartile − lower quartile. Use the two times from the bottom axis.

Rule

On a graph, use a half and quarters of the total: 20, 10 and 30. Go across from the side axis, then down.

Common mistake

Taking the coloured 10 and 30 away. Those are numbers of people. Subtract the times you read on the bottom axis.

Key idea

On a graph use $\frac{n}{4}$ , not $\frac{n + 1}{4}$ . With so many values the extra 1 makes no difference you could see, and the mark scheme expects 10, 20 and 30 here.

5. Percentiles From a Graph

المئين هو القيمة التي تقع عندها هذه النسبة المئوية من البيانات أو أقل منها. لإيجاده من المنحنى: حوّل النسبة المئوية إلى عدد أشخاص، بقسمتها على مئة وضربها في العدد الكلي، وهذا ارتفاع على المحور الرأسي. ثم اذهب أفقيًا إلى المنحنى وانزل مباشرة واقرأ القيمة. الخطأ الشائع الذهاب أفقيًا عند النسبة نفسها؛ النسبة ليست عدد أشخاص، فحوّلها أولًا. لاحظ أن الربيع الأدنى هو المئين الخامس والعشرون، والوسيط هو المئين الخمسون، والربيع الأعلى هو المئين الخامس والسبعون.

The 2-mark question: “Find an estimate of the 80th percentile.” A percentile is the value that this percentage of the data is at or below. Use the same 40 waiting times.

Formula

p th percentile: across at \frac{p}{100} \times n

Here $p$ is the percentage and $n$ is the total number on the graph.

Worked example

1
$\frac{80}{100} \times 40 = 32$ — Turn the percentage into people: 80% of 40 is 32 people. This is a height on the side axis.
2
$across at 32, down: about 21 min$ — Go across at 32 to the curve, then straight down. 80% of the people waited about 21 minutes or less.

Common mistake

Going across at 80. That is the percentage, not a number of people. 80% of 40 is 32.

Key idea

The lower quartile is the 25th percentile, the median is the 50th and the upper quartile is the 75th.

6. Reading the Graph Backwards

هذا السؤال يعكس الاتجاه: يعطيك عدد أشخاص انتظروا أكثر من قيمة مجهولة ويطلب القيمة. المنحنى يعدّ من هم عند القيمة أو أقل، فاطرح العدد المعطى من العدد الكلي أولًا لتعرف كم شخصًا انتظر القيمة المجهولة أو أقل. ثم اذهب من هذا العدد أفقيًا إلى المنحنى وانزل واقرأ القيمة. تحقق بالعكس: من هم عند هذه القيمة أو أقل، وباقي الكل يجب أن يساوي العدد المعطى. الخطأ الشائع الذهاب أفقيًا عند العدد المعطى مباشرة. وإذا أُعطيت نسبة مئوية فحوّلها إلى عدد أشخاص أولًا.

The 3-mark question gives a number of people and asks for the value: 10 people waited longer than $w$ minutes. Find $w$ .

Worked example

1
$40 - 10 = 30$ — 10 people waited longer than $w$ . So the other 30 people waited $w$ minutes or less.
2
$across at 30, down: 20$ — The graph counts the people at or below each time. So go across at 30 and read the time below.
3
$w = 20$ — Check: 30 people waited 20 minutes or less, so 40 − 30 = 10 waited longer.

Common mistake

Going across at 10. The graph counts people at or below a time, so take the 10 from the total first.

Key idea

A percentage? Turn it into people first: 25% of 40 is 10 people.

7. Which Method? Read the Question

تأكد أولًا: هل معك قائمة أم منحنى؟ مع القائمة: رتّبها ثم عُدّ حتى مواقع الربيعيات. مع المنحنى: للوسيط اذهب أفقيًا عند نصف العدد الكلي ثم انزل، وللمدى الربيعي اذهب عند الربع وثلاثة الأرباع، وللمئين اذهب عند تلك النسبة من العدد الكلي. لعدد من هم أكثر من قيمة: اصعد من القيمة واطرح من الكل. ولإيجاد القيمة من عدد من هم أكثر منها: اطرح من الكل أولًا ثم اذهب أفقيًا. أي المجموعتين أكثر ثباتًا؟ صاحبة المدى الربيعي الأصغر. وعند المقارنة اكتب ذلك بالكلمات، مثل: «المدى الربيعي للفريق الثاني أصغر، فدرجاته أكثر ثباتًا».

Check whether you have a list or a graph.

You see	You do
IQR of a list	order it, count to the quartile positions
Median from a graph	across at half the total, down
IQR from a graph	across at a quarter and three quarters
A percentile from a graph	across at that percentage of the total
How many more than a value	up from the value, take from the total (Drawing Cumulative Frequency Diagrams)
More than a value: find the value	take from the total, then across
Which is more consistent?	the smaller IQR
Draw the graph first	Drawing Cumulative Frequency Diagrams
Mean or mode of a list	Mean, Median, Mode and Range

Key idea

When you compare two sets, say it in words: "Team B's IQR is smaller, so their scores are more consistent."

تدرّب على إيجاد الوسيط والربيعيات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إيجاد الوسيط والربيعيات

1. Quartiles Cut the Data Into Quarters

2. Quartiles From a List

3. When the Position Ends in .5

4. Median and IQR From a Graph

5. Percentiles From a Graph

6. Reading the Graph Backwards

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على إيجاد الوسيط والربيعيات

أسئلة امتحانات سابقة على إيجاد الوسيط والربيعيات، محلولة ومشروحة بالعربي