شرح الأسس الكسرية

Fractional Indices

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Fraction Power Means

قد يكون الأس كسرًا. الأس نصف يعني الجذر التربيعي، والأس ثلث يعني الجذر التكعيبي. مقام الكسر في الأس هو الذي يحدد نوع الجذر. في المثال نضرب العدد المرفوع للنصف في نفسه، فنجمع الأسين فنحصل على العدد نفسه، وهذا بالضبط معنى الجذر التربيعي: العدد الذي إذا ضُرب في نفسه أعطى العدد الأصلي.

A power can be a fraction. The power $\frac{1}{2}$ means square root. The power $\frac{1}{3}$ means cube root.

Formula

a^{\frac{1}{n}} = n a

$a$ is the number. $n$ , the bottom of the power, says which root: 2 is a square root, 3 a cube root, 4 a fourth root.

Worked example

1
$9^{\frac{1}{2}} \times 9^{\frac{1}{2}}$ — Why is the power $\frac{1}{2}$ a square root? Multiply $9^{\frac{1}{2}}$ by itself and see.
2
$= 9^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$ — Same number multiplied, so add the powers. That is the usual index law.
3
$= 9^{1} = 9$ — A half plus a half is 1, and $9^{1}$ is just 9.
4
$3 \times 3 = 9$ — Which number times itself makes 9? It is 3.
5
$9^{\frac{1}{2}} = 3 = 9$ — Both $9^{\frac{1}{2}}$ and 3 make 9 when multiplied by themselves, so they are the same number: the square root of 9.

You see	It means
$2 5^{\frac{1}{2}}$	$25 = 5$
$8^{\frac{1}{3}}$	$38 = 2$
$8 1^{\frac{1}{4}}$	$481 = 3$

Rule

The bottom of the fraction tells you which root to take.

2. Root First, Then Power

عندما يكون الأس كسرًا، فالمقام يعني جذرًا والبسط يعني قوة. ابدأ بالجذر أولًا لأنه يصغّر العدد ويسهّل الحساب، ثم ارفع الناتج للقوة التي في البسط. في المثالين نأخذ الجذر الذي يحدده المقام، ثم نربّع أو نكعّب حسب البسط. الخطأ الشائع أن تضرب العدد في الكسر، والأس لا يعني الضرب أبدًا. يمكنك أن تبدأ بالقوة ثم الجذر وتحصل على الجواب نفسه، لكن البدء بالجذر أسهل.

The 2-mark question: work out a number like $8^{\frac{2}{3}}$ . The bottom is a root, the top is a power.

Formula

a^{\frac{m}{n}} = (n a)^{m}

Here $a$ is the number, $n$ (the bottom) is the root and $m$ (the top) is the power.

Worked example

1
$8^{\frac{2}{3}}$ — The question. The bottom 3 means cube root. The top 2 means square.
2
$38 = 2$ — Do the root first, because it makes the number small. 2 × 2 × 2 = 8, so the cube root of 8 is 2.
3
$2^{2} = 4$ — Now the top 2: square what you have. 2 × 2 = 4.
4
$8^{\frac{2}{3}} = 4$ — Done. Check the size: a power below 1 made 8 smaller.

Worked example

1
$3 2^{\frac{3}{5}}$ — Another one. The bottom 5 means fifth root. The top 3 means cube.
2
$532 = 2$ — Which number, used 5 times, multiplies to 32? 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, so it is 2.
3
$2^{3} = 8$ — Now the top 3: cube it. 2 × 2 × 2 = 8.
4
$3 2^{\frac{3}{5}} = 8$ — Done.

Common mistake

Working out $8 \times \frac{2}{3}$ . A power is never a multiply.

Key idea

Power first also works: $8^{2} = 64$ and $364 = 4$ . Root first keeps the numbers small.

3. A Minus in the Power

إشارة السالب في الأس تعني اقلب: أي واحد على العدد. ابدأ بالتخلص من السالب بكتابة واحد على العدد نفسه مع حذف السالب من الأس، ثم احسب الجذر من المقام والقوة من البسط كما تعلمت، وضع الناتج في المقام. انتبه: الأس السالب لا يجعل الجواب سالبًا أبدًا، بل يجعله كسرًا موجبًا.

The 2-mark question: a negative fraction power, like $2 7^{- \frac{1}{3}}$ . The minus means flip: one over the answer.

Formula

a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a ^{\frac{m}{n}}}

The minus only flips. Then $n$ is the root and $m$ is the power, exactly as before.

Worked example

1
$2 7^{- \frac{1}{3}}$ — The question. The minus says flip. The $\frac{1}{3}$ says cube root.
2
$= \frac{1}{2 7 ^{\frac{1}{3}}}$ — Deal with the minus first: write 1 over the same number, with the minus gone from the power.
3
$2 7^{\frac{1}{3}} = 3$ — Now the cube root of 27: 3 × 3 × 3 = 27, so it is 3.
4
$= \frac{1}{3}$ — Put the 3 on the bottom. The answer is positive and less than 1.

Worked example

1
$1 6^{- \frac{3}{4}}$ — The question. The minus says flip, the bottom 4 a fourth root, the top 3 a cube.
2
$= \frac{1}{1 6 ^{\frac{3}{4}}}$ — Flip first: 1 over the number, and the minus is gone.
3
$416 = 2$ — The bottom 4: fourth root. 2 × 2 × 2 × 2 = 16, so it is 2.
4
$2^{3} = 8$ — The top 3: cube it. 2 × 2 × 2 = 8, so $1 6^{\frac{3}{4}} = 8$ .
5
$= \frac{1}{8}$ — Put the 8 on the bottom of the flipped fraction.

Common mistake

Writing $- 3$ . A minus power never makes the answer negative. It flips it.

4. A Fraction Inside the Bracket

إذا كان العدد نفسه كسرًا، فالأس يُطبَّق على البسط وعلى المقام كلٌّ وحده. احسب الجذر لكل منهما، ثم القوة لكل منهما. وإذا كان في الأس إشارة سالب، فاقلب الكسر كله أولًا فيختفي السالب، ثم أكمل كالمعتاد. الخطأ الشائع أن تقلب البسط وحده أو المقام وحده، والصحيح أن الكسر كله ينقلب.

The 2-mark question: the number is a fraction. Use the power on the top and on the bottom.

Worked example

1
$(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}}$ — The question. The power reaches the top and the bottom of the fraction.
2
$= \frac{8 ^{\frac{2}{3}}}{2 7 ^{\frac{2}{3}}}$ — Give the power to the top and to the bottom, then work each one out.
3
$= \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}}$ — Bottom 3 means cube roots: the cube root of 8 is 2 and of 27 is 3.
4
$= \frac{4}{9}$ — Top 2 means square both: 2² = 4 and 3² = 9.

With a minus, flip the whole fraction first.

Formula

(\frac{a}{b})^{- \frac{m}{n}} = (\frac{b}{a})^{\frac{m}{n}}

Worked example

1
$(\frac{4}{9})^{- \frac{1}{2}}$ — The question. The minus says flip.
2
$= (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}}$ — Turn the whole fraction over. The minus is now used up, so the power is plain $\frac{1}{2}$ .
3
$= \frac{9}{4}$ — The power $\frac{1}{2}$ means square root, on the top and on the bottom.
4
$= \frac{3}{2}$ — 3 × 3 = 9 and 2 × 2 = 4.

Common mistake

Flipping only the top or only the bottom. The whole fraction turns over.

5. Write It as a Power

في سؤال «أوجد الأس المجهول» حوّل كل جذر وكل عدد إلى قوة للأساس نفسه. الجذر التربيعي يساوي الأس نصف، وواحد على قوة يساوي القوة نفسها بأس سالب، والعدد الصحيح تكتبه قوة بعدّ مرات الضرب. ثم اجمع الأسس عند الضرب، ووحّد المقامات إذا جمعت كسرًا مع عدد صحيح، وأخيرًا ساوِ الأسين. الخطأ الشائع أن تعتبر الجذر التربيعي تربيعًا، وهو العكس تمامًا.

The 1 or 2-mark question: "find $n$ ". Change every root and every number into a power of the same base.

Worked example

1
$\frac{1}{7} = 7^{n}$ — The question. The right side is a power of 7, so make the left side one too.
2
$7 = 7^{\frac{1}{2}}$ — A square root is the power one half.
3
$\frac{1}{7 ^{\frac{1}{2}}} = 7^{- \frac{1}{2}}$ — 1 over a power is the same power with a minus.
4
$7^{- \frac{1}{2}} = 7^{n}, n = - \frac{1}{2}$ — Both sides are now 7 to a power, so the powers must be equal.

Worked example

1
$2 \times 8 = 2^{n}$ — The question. Make every piece a power of 2.
2
$2 = 2^{\frac{1}{2}}$ — A square root is the power one half.
3
$8 = 2^{3}$ — 2 × 2 × 2 = 8, so 8 is 2 cubed.
4
$2^{\frac{1}{2}} \times 2^{3} = 2^{\frac{1}{2} + 3}$ — Same base multiplied, so add the powers.
5
$\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{7}{2}$ — Write 3 as $\frac{6}{2}$ so the bottoms match, then add the tops.
6
$n = \frac{7}{2}$ — Read off the power. 3.5 is also correct.

Common mistake

Writing $7 = 7^{2}$ . Squaring makes 49. A square root is the power one half.

6. Decimal Powers and Two-Part Sums

إذا جاء الأس عددًا عشريًا فحوّله أولًا إلى كسر، ثم خذ الجذر من المقام والقوة من البسط. وإذا كان السؤال حاصل ضرب جزأين، فاحسب كل جزء وحده: في الجزء الأول السالب يقلب ثم نحسب الجذر والقوة، وفي الجزء الثاني نحوّل العشري إلى كسر ونضرب الأسين لأنها قوة لقوة. ثم اضرب الناتجين. اكتب قيمة كل جزء في سطر مستقل، لأن لكل جزء صحيح درجة حتى لو أخطأت في الضرب الأخير. والأس نصف لا يعني القسمة على اثنين، بل يعني الجذر التربيعي.

Some questions write the power as a decimal, or multiply two index parts together. Change the decimal to a fraction, then work out each part on its own.

Worked example

1
$1 6^{1.5}$ — The question. The power 1.5 is a decimal.
2
$1.5 = \frac{3}{2}$ — Write it as a fraction: 1.5 is three halves. Now the bottom 2 means square root, the top 3 means cube.
3
$16 = 4$ — Root first: 4 × 4 = 16.
4
$4^{3} = 64$ — Then cube: 4 × 4 × 4 = 64. So $1 6^{1.5} = 64$ .

A two-part question: $8^{- \frac{2}{3}} \times (5^{4})^{0.5}$

Worked example

1
$8^{- \frac{2}{3}} \times (5^{4})^{0.5}$ — Two parts multiplied. Work out the first part and the second part separately, then multiply.
2
$8^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{8 ^{\frac{2}{3}}}$ — First part. The minus flips it.
3
$38 = 2, 2^{2} = 4$ — Bottom 3: cube root of 8 is 2. Top 2: square it to get 4.
4
$8^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$ — Put the 4 on the bottom. Write this value down: it earns a mark on its own.
5
$0.5 = \frac{1}{2}$ — Second part. Change the decimal to a fraction: 0.5 is a half.
6
$(5^{4})^{\frac{1}{2}} = 5^{4 \times \frac{1}{2}}$ — A power of a power: multiply the powers.
7
$5^{2} = 25$ — 4 × ½ = 2, and 5² = 25. Write this value down too.
8
$\frac{1}{4} \times 25 = \frac{25}{4}$ — Now multiply the two parts. $\frac{25}{4}$ is the same as 6.25.

Key idea

Show each part on its own line. Mark schemes give marks for each correct part, and a mark for a correct first move like $\frac{1}{8 ^{\frac{2}{3}}}$ , even if the final multiply goes wrong.

Common mistake

Reading the power 0.5 as "halve it". $62 5^{0.5}$ is not 625 ÷ 2 = 312.5. It is the square root: 25.

7. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة انظر إلى الأس: مقامه، ثم بسطه، ثم إشارته. المقام يحدد الجذر، والبسط يحدد القوة بعد الجذر، والسالب يعني اقلب أولًا. إذا كان داخل القوس كسر فاحسب البسط والمقام كلًا وحده، وإذا كان الأس عشريًا فحوّله إلى كسر أولًا، وإذا طُلب أس مجهول فحوّل الجذور إلى أسس ثم اجمع. وتحقّق من حجم الجواب: العدد الأكبر من واحد يصغر إذا رُفع لأس كسري أقل من واحد، ويصبح أقل من واحد إذا كان الأس سالبًا.

Look at the power first: its bottom, its top, then its sign.

You see	You do
a power like $\frac{1}{3}$	that root
a power like $\frac{2}{3}$	root (bottom), then power (top)
a minus in the power	flip, then root and power
a fraction in the bracket	top and bottom separately
a decimal power, like $0.5$	change it to a fraction first
a root, find $n$	roots become powers, then add
letters in the bracket	Fractional Indices with Letters
whole number powers only	Laws of Indices
the power is the unknown	Exponential Equations

Key idea

Check the size. For a number bigger than 1, a fraction power below 1 makes it smaller, and a minus power makes it less than 1.

تدرّب على الأسس الكسرية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأسس الكسرية

1. What a Fraction Power Means

2. Root First, Then Power

3. A Minus in the Power

4. A Fraction Inside the Bracket

5. Write It as a Power

6. Decimal Powers and Two-Part Sums

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأسس الكسرية

أسئلة امتحانات سابقة على الأسس الكسرية، محلولة ومشروحة بالعربي