شرح الجذور الصماء

Surds

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Surd Is

الجذر الأصم هو جذر تربيعي لا يساوي عددًا صحيحًا، وكسره العشري لا ينتهي، لذلك نبقيه على شكل جذر ليبقى الجواب دقيقًا. قاعدتان مهمتان: حاصل ضرب جذرين يساوي جذر حاصل ضربهما، والجذر مضروبًا في نفسه يعطي العدد الذي تحته. هذه الحقيقة الثانية هي التي نستخدمها لإزالة الجذر من مقام الكسر.

A surd is a square root that is not a whole number, like $2$ or $5$ . Its decimal never ends, so you keep the root sign: the answer stays exact.

Rule	Example
$a \times b = ab$	$3 \times 5 = 15$
$a \times a = a$	$7 \times 7 = 7$

Rule

A root times itself gives a whole number. That one fact clears a surd from the bottom of a fraction.

Key idea

A Babylonian clay tablet about 3,700 years old, now called YBC 7289, shows a square and its diagonal. It gives $2$ as about $1.4142130$ , when the true value is $1.4142136 \dots$ : out by less than one millionth.

2. Rationalise: One Surd Below

«إنطاق المقام» يعني إزالة الجذر من مقام الكسر دون تغيير قيمته. الطريقة: اضرب البسط والمقام في الجذر نفسه الموجود في المقام، وهذا مثل الضرب في واحد فلا تتغير القيمة. في المقام يصبح الجذر مضروبًا في نفسه فيعطي عددًا صحيحًا. ثم اختصر الأعداد الصحيحة لتصل إلى أبسط صورة. الخطأ الشائع أن تضرب المقام وحده، ويجب أن تفعل الشيء نفسه للبسط والمقام.

The 2-mark question: “rationalise the denominator”. It means: move the root off the bottom of the fraction, without changing the value.

Worked example

1
$\frac{10}{5}$ — The question. A root on the bottom is not allowed in a final answer, so we must clear it.
2
$= \frac{10 \times 5}{5 \times 5}$ — Multiply top and bottom by √5. That is the same as multiplying by 1, so the value does not change.
3
$= \frac{10 5}{5}$ — On the bottom, √5 × √5 = 5, a whole number. The root has gone from the bottom.
4
$= 25$ — Now cancel the whole numbers: 10 ÷ 5 = 2. Always cancel like this to give the simplest form.

Common mistake

Multiplying only the bottom by the root. Do the same to top and bottom, or the value changes.

3. Rationalise: 3 − √2 Below

عندما يكون المقام عددًا صحيحًا مع جذر، لا يكفي الضرب في الجذر وحده. اضرب البسط والمقام في القوس نفسه مع عكس الإشارة بين الحدين، أي المرافق. في المقام تُلغى الحدود الوسطى ويبقى مربع العدد الصحيح ناقص العدد الذي تحت الجذر، أي عدد صحيح. ثم في البسط اضرب العدد في كل حد من القوس، وأخيرًا اقسم كل حد على المقام. الخطأ الشائع أن تضرب في القوس نفسه بالإشارة نفسها فيبقى الجذر. اكتب سطر الضرب وحساب المقام كاملين، فلكل منهما درجة طريقة.

The most common question, 3 marks: a bottom like $3 - 2$ . Times √2 alone will not clear it, so we use this fact:

Formula

(a - b) (a + b) = a^{2} - b

$a$ is the whole number and $b$ the root. The two brackets differ only in their sign. Multiply them and the root terms cancel, leaving a whole number.

Worked example

1
$\frac{14}{3 - 2}$ — The question. The bottom has two terms, so we use the formula above.
2
$= \frac{14 ( 3 + 2 )}{( 3 - 2 ) ( 3 + 2 )}$ — Multiply top and bottom by the same bracket with the sign swapped. Same on top and bottom, so the value stays.
3
$bottom = 3^{2} - (2)^{2}$ — Do the bottom first. It is the formula with a = 3 and b = 2: the middle terms −3√2 and +3√2 cancel.
4
$= 9 - 2 = 7$ — 3² = 9 and (√2)² = 2. The bottom is now a whole number, 7.
5
$top = 14 \times 3 + 14 \times 2 = 42 + 142$ — Now the top: multiply 14 by both terms in the bracket.
6
$= \frac{42 + 14 2}{7}$ — Put the new top over the new bottom, ready to divide.
7
$= 6 + 22$ — Divide both terms by 7: 42 ÷ 7 = 6 and 14 ÷ 7 = 2.

Common mistake

Multiplying by $3 - 2$ again. The same sign keeps a root on the bottom; swap the sign.

Key idea

Write the “multiply top and bottom by $3 + 2$ ” line and the bottom’s working in full. Each earns a method mark, so a slip at the end costs you only 1 mark, not 3.

4. Simplify and Add Surds

لا يمكن جمع أو طرح الجذور الصماء إلا إذا كان العدد تحت الجذر واحدًا. لذلك ابسّط كل جذر أولًا: ابحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد، وافصل الجذر إلى جذرين، فيخرج جذر المربع عددًا صحيحًا ويبقى الجذر الآخر. عندما يصبح الجذران متشابهين، اجمع أو اطرح الأعداد التي أمامهما كما تجمع الحدود الجبرية المتشابهة. الخطأ الشائع أن تجمع الأعداد تحت الجذر، وهذا غير صحيح.

The 2-mark question: add or take away two surds. You can only add surds with the same root, so first pull the biggest square factor out of each root.

Worked example

1
$75 + 12$ — The question. The roots are different, so we cannot add them yet.
2
$75 = 25 \times 3$ — 25 is the biggest square that goes into 75, because 25 × 3 = 75.
3
$= 25 \times 3 = 53$ — Split the root into two roots. √25 = 5 comes out as a whole number; √3 stays.
4
$12 = 4 \times 3 = 23$ — Same for 12: 4 is the biggest square in it, and √4 = 2.
5
$53 + 23 = 73$ — Both are now lots of √3, so add the numbers in front, just like 5x + 2x = 7x.

Key idea

Taking away works the same way: $75 - 12 = 53 - 23 = 33$ .

Common mistake

Adding under the root: $75 + 12$ is not $87$ . You only add surds with the same root.

5. Multiply and Divide Surds

عند ضرب جذرين أصمين: اضرب الأعداد الخارجية معًا، والأعداد التي تحت الجذر معًا. وعند القسمة: اقسم الخارج على الخارج، والداخل على الداخل. بعد ذلك تأكد أن الجذر في أبسط صورة، فإذا كان تحته مربع كامل فأخرجه واضربه في العدد الخارجي. وفي سؤال إيجاد عدد صحيح، يصبح الجذر في النهاية جذرًا لمربع كامل فيخرج عددًا صحيحًا. ولقوى الجذر، اجمع الجذور أزواجًا: كل زوج يعطي العدد، والجذر الباقي يبقى.

Exams ask you to multiply or divide surds, often to find a whole number k. Two rules do it.

Formula

a b \times c d = a c b d

$a$ and $c$ are the numbers outside the roots; $b$ and $d$ are inside. Outside numbers multiply together, inside numbers multiply together.

Formula

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

Dividing works the same way: one root divided by another is the root of $a$ divided by $b$ .

Worked example

1
$46 \times 32$ — The question. Two surds multiplied, each with a number in front of its root.
2
$= (4 \times 3) \times (6 \times 2)$ — Outside numbers together, roots together. Order does not matter when you multiply.
3
$= 1212$ — 4 × 3 = 12 and √6 × √2 = √12.
4
$= 12 \times 23$ — √12 is not in its simplest form: √12 = √(4 × 3) = 2√3.
5
$= 243$ — 12 × 2 = 24.

Worked example

1
$\frac{18 20}{3 5} = k$ — The question: find the whole number k.
2
$= \frac{18}{3} \times \frac{20}{5}$ — Outside divides by outside, inside divides by inside.
3
$= 64$ — 18 ÷ 3 = 6 and 20 ÷ 5 = 4.
4
$= 6 \times 2 = 12$ — √4 = 2 is a whole number, so k = 12.

Key idea

Powers of a surd: pair the roots up. $(5)^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 55$ : one pair makes 5, and the root left over stays.

6. Expand Brackets With Surds

لفك الأقواس التي فيها جذور، اضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في القوس الثاني، فتحصل على أربعة نواتج، وتذكّر أن الجذر في نفسه يعطي عددًا صحيحًا. ثم اجمع الأعداد الصحيحة معًا والجذور المتشابهة معًا. مربع القوس يعني ضربه في نفسه، والخطأ الشائع أن تربّع كل جزء وحده فتضيع الحدود الوسطى. وعند وجود إشارة سالب أو عدد أمام الجذر، احتفظ بالإشارة مع حدها، واضرب الأعداد الخارجية معًا والجذور معًا، ثم طابق الجواب مع الصورة المطلوبة: العدد الصحيح وحده، والعدد الذي أمام الجذر وحده.

The 2- or 3-mark question: expand brackets with surds. Multiply every term by every term, then use $5 \times 5 = 5$ .

Worked example

1
$(3 + 5)^{2}$ — The question. Squared means the bracket times itself.
2
$= (3 + 5) (3 + 5)$ — Write it out twice so no term gets lost.
3
$= 3 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 3 + 5 \times 5$ — Every term in the first bracket times every term in the second: four products.
4
$= 9 + 35 + 35 + 5$ — Work each one out. √5 × √5 = 5, a whole number.
5
$= 14 + 65$ — Collect: 9 + 5 = 14, and 3√5 + 3√5 = 6√5.

Common mistake

Squaring each part: $(3 + 5)^{2}$ is not $9 + 5$ . You lose the middle terms.

Exams often put a number in front of the root and a minus in a bracket, then ask for the answer in the form $a + b 3$ .

Worked example

1
$(4 - 3) (2 + 53)$ — The question: write it as $a + b 3$ .
2
$= 8 + 203 - 23 - 53 \times 3$ — Four products: 4 × 2, 4 × 5√3, −√3 × 2 and −√3 × 5√3. Keep each sign with its term.
3
$(- 5) \times (3 \times 3) = (- 5) \times 3 = - 15$ — The hard term alone. Numbers outside multiply, roots multiply, and √3 × √3 = 3.
4
$= 8 + 203 - 23 - 15$ — Put −15 back in its place.
5
$= - 7 + 183$ — Whole numbers: 8 − 15 = −7. Roots: 20√3 − 2√3 = 18√3.
6
$a = - 7, b = 18$ — Match the parts: the whole number is a, the number in front of √3 is b.

7. Rationalise: a Negative Bottom

أحيانًا يخرج المقام سالبًا بعد الإنطاق، لأن العدد تحت الجذر أكبر من مربع العدد الصحيح. لا مشكلة، فالمقام صار عددًا صحيحًا وهذا هو المطلوب. الطريقة كما هي: اضرب البسط والمقام في المرافق، أي القوس مع عكس الإشارة، واحسب المقام بالقاعدة، ثم اضرب البسط. أخيرًا اقسم كل حد في البسط على المقام السالب، فتنعكس إشارة كل الحدود. الخطأ الشائع أن تعكس إشارة الحد الأول فقط.

Sometimes the bottom works out negative, because the root is bigger than the whole number. Keep going: a negative whole number is still fine.

Worked example

1
$\frac{10}{2 - 6}$ — The question. Two terms on the bottom, so swap the sign.
2
$= \frac{10 ( 2 + 6 )}{( 2 - 6 ) ( 2 + 6 )}$ — Multiply top and bottom by (2 + √6), the bottom with its sign swapped, so the roots on the bottom will cancel.
3
$bottom = 2^{2} - (6)^{2} = 4 - 6$ — The formula with a = 2 and b = 6.
4
$= - 2$ — 6 is bigger than 4, so the bottom is −2. It is a whole number, which is what we wanted.
5
$top = 20 + 106$ — 10 × 2 = 20 and 10 × √6 = 10√6.
6
$= \frac{20 + 10 6}{- 2}$ — Put the new top over the new bottom, ready to divide.
7
$= - 10 - 56$ — Divide each term by −2: 20 ÷ (−2) = −10 and 10√6 ÷ (−2) = −5√6. Both signs flip.

Common mistake

Flipping only the first sign. Dividing by −2 changes the sign of every term on top.

8. Rationalise: Roots on Top Too

قد يكون في البسط جذر أيضًا، والمطلوب كتابة الجواب بصورة عدد صحيح زائد جذر. الطريقة نفسها: اضرب البسط والمقام في مرافق المقام. المقام يصبح عددًا صحيحًا بالقاعدة. أما البسط فهو قوسان مضروبان، فاضرب كل حد في كل حد لتحصل على أربعة نواتج، ثم اجمع المتشابهات. بعد ذلك اقسم كل حد على المقام، وطابق الجواب مع الصورة المطلوبة. الخطأ الشائع أن تفك المقام فقط وتنسى أن البسط يحتاج إلى النواتج الأربعة.

Some questions have a root on top as well, and ask for the form $a + b$ . Same method; the top is just a bracket to expand.

Worked example

1
$\frac{4 + 2}{3 - 2}$ — The question: write it as $a + b$ .
2
$= \frac{( 4 + 2 ) ( 3 + 2 )}{( 3 - 2 ) ( 3 + 2 )}$ — Multiply top and bottom by the bottom bracket with its sign swapped.
3
$bottom = 3^{2} - (2)^{2} = 9 - 2 = 7$ — The formula with a = 3 and b = 2.
4
$top = 12 + 42 + 32 + 2$ — Four products: 4 × 3, 4 × √2, √2 × 3 and √2 × √2 = 2.
5
$= 14 + 72$ — 12 + 2 = 14 and 4√2 + 3√2 = 7√2.
6
$= \frac{14 + 7 2}{7} = 2 + 2$ — Divide both terms by 7: 14 ÷ 7 = 2 and 7√2 ÷ 7 = √2.
7
$a = 2, b = 2$ — 2 + √2 matches $a + b$ .

Common mistake

Multiplying out only the bottom. The top is a bracket too, so it needs all four products.

9. Surds in a Shape

في هذا السؤال شكل مثل مستطيل أطواله جذور صماء. ابدأ بكتابة القسمة الصحيحة، مثل العرض يساوي المساحة مقسومة على الطول. ثم أنطِق المقام: اضرب البسط والمقام في المرافق، فتلغى الحدود الوسطى في المقام ويبقى عدد صحيح. اضرب البسط، ثم اقسم كل حد على المقام. السؤال بدون آلة حاسبة ويريد الصورة الدقيقة، فلا تكتب عددًا عشريًا. ويمكنك التحقق بضرب جوابك في الطول لتحصل على المساحة.

The 3- or 4-mark question: a rectangle or cuboid with surd lengths. Set up the division, then rationalise.

Worked example

1
$width = \frac{area}{length} = \frac{12}{5 + 1}$ — The area is 12 and the length is √5 + 1. Width = area ÷ length.
2
$= \frac{12 ( 5 - 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )}$ — Two terms on the bottom, so multiply top and bottom by the bracket with the sign swapped.
3
$bottom = (5)^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4$ — The middle terms cancel, leaving 5 − 1 = 4.
4
$top = 125 - 12$ — Multiply 12 by both terms: 12 × √5 and 12 × (−1).
5
$= \frac{12 5 - 12}{4} = 35 - 3$ — Divide both terms by 4: 12 ÷ 4 = 3.

Key idea

No calculator here. The exam wants the exact form, so never write a decimal. Check: $(35 - 3) (5 + 1) = 15 + 35 - 35 - 3 = 12$ , the area.

10. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة انظر أين يوجد الجذر. إذا كان تحت الجذر عامل مربع فأخرجه. عند الجمع أو الطرح ابسّط كل جذر ثم اجمع المتشابهات. عند الضرب أو القسمة: الخارج مع الخارج والداخل مع الداخل. إذا كان في المقام جذر واحد فاضرب البسط والمقام فيه، وإذا كان المقام عددًا مع جذر فاضرب في المرافق. لفك الأقواس اضرب كل حد في كل حد، وفي الأشكال اكتب القسمة ثم أنطِق المقام. وفي النهاية تحقق: لا جذر في المقام، وكل جذر في أبسط صورة.

Look at where the root is.

You see	You do
A root with a square factor	pull the square out
Surds added or taken away	simplify each, then add like surds
Surds multiplied or divided	outside with outside, inside with inside
One root on the bottom	times that root, top and bottom
A bottom like $3 - 2$	times the bracket with the sign swapped
Brackets to expand	multiply every term
A shape with surd sides	divide, then rationalise

Key idea

At the end, check: no root on the bottom, and every root as small as it can be.

تدرّب على الجذور الصماء

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الجذور الصماء

1. What a Surd Is

2. Rationalise: One Surd Below

3. Rationalise: 3 − √2 Below

4. Simplify and Add Surds

5. Multiply and Divide Surds

6. Expand Brackets With Surds

7. Rationalise: a Negative Bottom

8. Rationalise: Roots on Top Too

9. Surds in a Shape

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على الجذور الصماء

أسئلة امتحانات سابقة على الجذور الصماء، محلولة ومشروحة بالعربي