شرح ميل المنحنى عند نقطة

Gradient of a Curve at a Point

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Gradient of a Curve (Higher)

انحدار المنحنى يتغير من مكان لآخر. ميل المنحنى عند نقطة هو ميل المماس، أي الخط المستقيم الذي يلامس المنحنى عند تلك النقطة. لتقديره من الرسم ارسم المماس بالمسطرة، واختر عليه نقطتين متباعدتين، ثم اقسم التغير الرأسي على التغير الأفقي. الإجابة من الرسم تكفي إذا كانت قريبة، ونماذج التصحيح تقبل مدى من القيم.

A curve's steepness changes. Its gradient at a point is the gradient of the tangent: the straight line that just touches it there.

Rule

To estimate it from a graph, draw the tangent with a ruler, pick two points far apart on it, then do up ÷ across.

Key idea

From a graph your answer only needs to be close. Mark schemes accept a range, like 1.5 to 3.

2. Estimating from a Graph

حدّد النقطة أولًا بتعويض قيمة السين في معادلة المنحنى، وضع علامة عليها في الرسم. ضع المسطرة بحيث تلامس المنحنى عند النقطة دون أن يقطعها، وارسم المماس طويلًا. اقرأ نقطتين متباعدتين على المماس، واحسب التغير في الصاد والتغير في السين بالترتيب نفسه، واستخدم الأقواس عند طرح عدد سالب. ثم اقسم التغير الرأسي على الأفقي؛ إذا كان الخط صاعدًا نحو اليمين فالميل موجب. الخطأ الشائع هو أخذ نقطتين من المنحنى، وهذا يعطي وترًا لا ميلًا عند النقطة.

The 3-mark question. Draw the tangent carefully, then read two points on it.

Worked example

1
$y = x^{2}, x = 1 \Rightarrow (1, 1)$ — The curve and the point. Put x = 1 into the curve to get y = 1, and mark this point on the graph.
2
$tangent through (1, 1)$ — Lay a ruler so it just touches the curve at the point, then draw the tangent long, with the curve not crossing it.
3
$(0, - 1) and (2, 3)$ — Read two points on the tangent, far apart. Far apart points give a more accurate gradient.
4
$up = 3 - (- 1) = 4$ — Up is the difference in y. The brackets round −1 stop a sign slip, because taking away a negative adds.
5
$across = 2 - 0 = 2$ — Across is the difference in x, taken in the same order as the y values.
6
$\frac{4}{2} = 2$ — Gradient is up ÷ across. The line goes up to the right, so the gradient is positive.

Common mistake

Reading two points on the curve instead of the tangent. That gives a chord, not the gradient at the point.

3. The Exact Gradient

إذا كانت معادلة المنحنى معروفة، فالمشتقة تعطي الميل الدقيق: فاضل، ثم عوّض قيمة السين. اشتق كل حد وحده: الأس ينزل معاملًا ويقل بمقدار واحد، والعدد الثابت يصبح صفرًا. إذا كانت قيمة السين سالبة فضعها بين قوسين في كل مكان، لأن مربع العدد السالب موجب، وضرب سالب في سالب يعطي موجبًا. الخطأ الشائع على الآلة الحاسبة هو كتابة السالب ثم التربيع دون قوسين، فتخرج النتيجة سالبة خطأً.

When you have the equation, $\frac{d y}{d x}$ gives the exact gradient. Put in the x value.

Worked example

1
$y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x$ — Differentiate: the power 2 comes down in front and the power drops by 1.
2
$x = 1 : 2 (1) = 2$ — Put x = 1 into dy/dx. This is the same 2 the tangent gave, but exact.

A negative x needs care. Put it in brackets every time it appears.

Worked example

1
$y = x^{3} - 5 x^{2} + 4, x = - 1$ — The curve and the x value. The x value is negative.
2
$x^{3} \to 3 x^{2}$ — The power 3 comes down, and the power drops from 3 to 2.
3
$- 5 x^{2} \to - 10 x$ — 2 × (−5) = −10, and the power drops from 2 to 1.
4
$4 \to 0$ — A number on its own is flat, so it has no slope and gives 0.
5
$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 10 x$ — Put the three results together.
6
$3 (- 1)^{2} - 10 (- 1)$ — Put −1 in brackets wherever x was.
7
$3 (1) - 10 (- 1)$ — (−1)² = 1, because a negative times a negative is positive.
8
$3 + 10 = 13$ — −10 × (−1) = +10. The gradient at x = −1 is 13.

Common mistake

Typing −1² on a calculator. It gives −1. Use brackets, (−1)², to get 1.

Key idea

For differentiating, see Differentiating Polynomials.

4. Where the Gradient Is Negative

عندما يُطلب مدى قيم السين التي يكون عندها الميل سالبًا، فالمطلوب حل المتباينة: المشتقة أصغر من الصفر. فاضل أولًا، ثم اقسم على العامل المشترك؛ القسمة على عدد موجب لا تغيّر اتجاه المتباينة. حلّل لتجد الجذرين، وهما النقطتان اللتان يكون الميل عندهما صفرًا. بما أن معامل مربع السين موجب، فالمنحنى على شكل حرف يو، ويكون تحت المحور بين الجذرين، فالحل هو القيم بين الجذرين. وللميل الموجب خذ القيم خارج الجذرين. تحقق بتعويض قيمة من داخل المدى.

“Find the range of values of x for which the gradient is negative” means solve $\frac{d y}{d x} < 0$ .

Worked example

1
$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 4$ — The curve.
2
$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 6 x - 12$ — Differentiate each term: 2x³ → 6x², −3x² → −6x, −12x → −12, and 4 → 0.
3
$6 x^{2} - 6 x - 12 < 0$ — A negative gradient means dy/dx is below 0.
4
$x^{2} - x - 2 < 0$ — Divide every term by 6. It is positive, so the < stays the same.
5
$(x - 2) (x + 1) = 0$ — Factorise. You need two numbers that multiply to −2 and add to −1: −2 and +1.
6
$x = 2 or x = - 1$ — Each bracket equal to 0 gives a root. These are the places where the gradient is exactly 0.
7
$U-shape, roots at - 1 and 2$ — The x² term is positive, so sketch a U. It is below the axis between its two roots.
8
$- 1 < x < 2$ — Below the axis means < 0. Check: at x = 0 the gradient is −12, which is negative.

Key idea

For a positive gradient take the outside of the U instead: $x < - 1$ or $x > 2$ . If the quadratic does not factorise, use the quadratic formula and round the roots as the question asks.

5. Which Method? Read the Question

أول سؤال تسأله لنفسك: هل لديك رسم أم معادلة؟ إذا طُلب استخدام الرسم فارسم المماس واقسم التغير الرأسي على الأفقي. إذا أُعطيت معادلة وقيمة للسين فعوّضها في المشتقة. إذا طُلب أن يكون الميل سالبًا فحلّ متباينة المشتقة أصغر من الصفر، وإذا أُعطي الميل عددًا فاجعل المشتقة تساويه وحلّ. وتذكّر: المنحنى النازل من اليسار إلى اليمين ميله سالب هناك.

Graph or equation? That decides the method.

You see	You do
“Use the graph”	Draw a tangent, up ÷ across
An equation and an x	Put x into dy/dx
“Gradient is negative”	Solve dy/dx < 0
“Gradient is 4”	Solve dy/dx = 4
“Equation of the tangent”	See Equation of the Tangent

Key idea

A curve going down from left to right has a negative gradient there.

تدرّب على ميل المنحنى عند نقطة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح ميل المنحنى عند نقطة

1. The Gradient of a Curve (Higher)

2. Estimating from a Graph

3. The Exact Gradient

4. Where the Gradient Is Negative

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على ميل المنحنى عند نقطة

أسئلة امتحانات سابقة على ميل المنحنى عند نقطة، محلولة ومشروحة بالعربي