شرح معادلة المماس

Equation of the Tangent Line

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Tangents and Normals (Higher)

المماس خط يلامس المنحنى في نقطة واحدة وله نفس ميل المنحنى عندها، وميله يساوي قيمة المشتقة عند تلك النقطة. أما العمودي فهو خط يمر بالنقطة نفسها ويكون عموديًا على المماس، وميله هو مقلوب ميل المماس مع تغيير الإشارة. كل سؤال عن المماس أو العمودي ينتهي بمعادلة خط مستقيم، تبنيها من نقطة وميل.

A tangent touches a curve at one point and has the same gradient as the curve there. A normal goes through the same point at right angles to it.

Formula

m_{tangent} = \frac{d y}{d x}

m_{normal} = - \frac{1}{m _{tangent}}

Key idea

Every tangent or normal question ends with a straight line. You build it from a point and a gradient.

2. The Tangent at a Point

لإيجاد معادلة المماس تحتاج ثلاثة أشياء: النقطة، ثم الميل عندها، ثم معادلة الخط. أولًا عوّض قيمة السين في معادلة المنحنى لتحصل على الصاد، فتعرف النقطة. ثانيًا فاضل، ثم عوّض قيمة السين في المشتقة لتحصل على الميل عددًا. ثالثًا ضع النقطة والميل في قانون الخط المستقيم بالنقطة والميل، وفكّ القوس ورتّب. الخطأ الشائع هو استخدام المشتقة نفسها ميلًا قبل التعويض فيها. وعند نقطة الانقلاب يكون الميل صفرًا، فالمماس أفقي.

Three things: the point, the gradient there, then the line. The line needs a point $(x_{1}, y_{1})$ on it and a gradient $m$ .

Formula

y - y_{1} = m (x - x_{1})

Worked example

1
$y = x^{3} - 2 x, x = 2$ — The curve and the x value you are given.
2
$y = 2^{3} - 2 (2)$ — Find y first. Put x = 2 into the curve, not into dy/dx.
3
$y = 8 - 4 = 4$ — The point is (2, 4).
4
$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 2$ — Differentiate: x³ → 3x², and −2x → −2.
5
$3 (2)^{2} - 2$ — Put x = 2 into dy/dx. This gives the gradient at the point.
6
$3 (4) - 2 = 10$ — (2)² = 4, then 3 × 4 = 12, and 12 − 2 = 10. The gradient is 10.
7
$y - 4 = 10 (x - 2)$ — Put the point (2, 4) and the gradient 10 into the line formula.
8
$y - 4 = 10 x - 20$ — Multiply out the bracket: 10 × x = 10x, and 10 × (−2) = −20.
9
$y = 10 x - 16$ — Add 4 to both sides. −20 + 4 = −16.

Common mistake

Using $3 x^{2} - 2$ as the gradient. Put x = 2 in first to get a number.

Key idea

At a turning point $\frac{d y}{d x} = 0$ , so the tangent is flat. Its equation is just $y =$ the y-coordinate of the point.

3. Finding the Point From the Gradient

بعض الأسئلة تعطيك الميل وتطلب النقطة. فاضل المنحنى، ثم اجعل المشتقة تساوي الميل المعطى، وحلّ المعادلة لتحصل على السين. بعد ذلك عوّض قيمة السين في معادلة المنحنى نفسها، لا في المشتقة، لتحصل على الصاد. اكتب النقطة بالسين أولًا ثم الصاد.

Some questions give the gradient and ask for the point. Set dy/dx equal to it.

Worked example

1
$y = 5 x^{2} - 12 x + 4$ — The curve. The gradient at G is given as 18.
2
$\frac{d y}{d x} = 10 x - 12$ — Differentiate: 5x² → 10x, and −12x → −12.
3
$10 x - 12 = 18$ — Set dy/dx equal to 18, the gradient you were given.
4
$10 x = 30$ — Add 12 to both sides.
5
$x = 3$ — Divide both sides by 10.
6
$y = 5 (3)^{2} - 12 (3) + 4$ — Put x = 3 into the curve (not dy/dx) to find y.
7
$y = 45 - 36 + 4 = 13$ — 5 × 9 = 45 and 12 × 3 = 36.
8
$G = (3, 13)$ — The point on the curve where the gradient is 18.

4. The Normal (Higher)

لإيجاد معادلة العمودي: احسب أولًا النقطة وميل المماس عندها. العمودي يصنع زاوية قائمة مع المماس، فاقلب ميل المماس وغيّر إشارته. ضع النقطة وهذا الميل الجديد في قانون الخط المستقيم. ثم اضرب الطرفين في المقام لتتخلص من الكسر، وفكّ الأقواس منتبهًا للإشارة السالبة أمام القوس، وانقل كل الحدود إلى طرف واحد بحيث يساوي الطرف الآخر صفرًا ومعاملاتها أعداد صحيحة. الخطأ الشائع هو استخدام ميل المماس نفسه.

The 5-mark question: find the point and the tangent's gradient, flip the gradient, then write the line in the form $a x + b y + c = 0$ . Here the tangent at G(3, 13) has gradient 18.

Worked example

1
$m_{normal} = - \frac{1}{18}$ — The normal is at right angles, so flip the tangent's gradient and change its sign.
2
$y - 13 = - \frac{1}{18} (x - 3)$ — Line formula with the point G(3, 13) and the normal's gradient.
3
$18 (y - 13) = - (x - 3)$ — Multiply both sides by 18 to clear the fraction.
4
$18 y - 234 = - x + 3$ — Multiply out: 18 × (−13) = −234, and −(x − 3) = −x + 3 because the minus changes both signs.
5
$x + 18 y - 234 = 3$ — Add x to both sides so every x and y term is on the left.
6
$x + 18 y - 237 = 0$ — Take 3 from both sides, so −234 − 3 = −237. Everything is on one side, with whole-number a, b, c.

Common mistake

Using the tangent's gradient, 18. A line at right angles needs −1/18.

5. Estimating From a Graph

إذا كان لديك رسم فقط دون معادلة، فارسم المماس بالمسطرة عند النقطة، واختر عليه نقطتين متباعدتين. احسب التغير في الصاد والتغير في السين بالترتيب نفسه، ثم اقسم الأول على الثاني لتحصل على الميل؛ إذا كان الخط نازلًا فالميل سالب. بعد ذلك اكتب معادلة الخط بصورة الميل والمقطع، وعوّض نقطة التماس لتجد المقطع. الإجابة تقديرية وتكفي إذا كانت قريبة، وارسم المماس طويلًا لأن النقاط المتباعدة تعطي تقديرًا أدق.

With only a graph, draw the tangent with a ruler, then find its gradient from two points on it.

Worked example

1
$(1, 3) and (6, 0)$ — Two points read from your tangent, far apart. The tangent touches the curve at (1, 3).
2
$up = 0 - 3 = - 3$ — Up is the difference in y. It is negative because the line goes down.
3
$across = 6 - 1 = 5$ — Across is the difference in x, in the same order.
4
$m = \frac{- 3}{5} = - 0.6$ — Gradient is up ÷ across.
5
$y = - 0.6 x + c$ — Any straight line is y = mx + c, and you now know m.
6
$3 = - 0.6 (1) + c$ — Put in the point (1, 3) to find c.
7
$c = 3 + 0.6 = 3.6$ — −0.6 × 1 = −0.6. Add 0.6 to both sides.
8
$y = - 0.6 x + 3.6$ — The tangent. Your answer only needs to be close to this.

Key idea

Draw the tangent long. Points far apart give a better estimate.

6. Which Method? Read the Question

حدّد ما يعطيك السؤال: النقطة، أم الميل، أم رسمًا. للمماس عند قيمة معينة للسين أوجد النقطة ثم قيمة المشتقة عندها ثم معادلة الخط. إذا أُعطي الميل فاجعل المشتقة تساويه. للعمودي استخدم سالب مقلوب ميل المماس. وإذا كان المنحنى مرسومًا فارسم المماس واقسم التغير الرأسي على التغير الأفقي. في النهاية تحقق من خطك بتعويض النقطة فيه، فيجب أن تحققه.

Find what the question gives you: the point, the gradient or a graph.

You see	You do
Tangent at x = a	point, dy/dx at a, then the line
Gradient given	set dy/dx equal to it
Normal or perpendicular	−1 over the tangent's gradient
A drawn curve	draw the tangent, rise over run
Turning point	Stationary Points

Key idea

Check your line: put the point back in. It must fit.

تدرّب على معادلة المماس

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح معادلة المماس

1. Tangents and Normals (Higher)

2. The Tangent at a Point

3. Finding the Point From the Gradient

4. The Normal (Higher)

5. Estimating From a Graph

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على معادلة المماس

أسئلة امتحانات سابقة على معادلة المماس، محلولة ومشروحة بالعربي