شرح الحل البياني للمعادلات الآنية

Graphical Solution of Simultaneous Equations

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Crossing Point Is the Answer

كل معادلة من المعادلتين تمثل خطًا مستقيمًا، وكل نقطة على الخط تحقق معادلته. لكن النقطة الوحيدة التي تقع على الخطين معًا هي نقطة تقاطعهما. لذلك إحداثيا نقطة التقاطع هما حل المعادلتين معًا. والخطان غير المتوازيين يتقاطعان مرة واحدة فقط، فيكون للمعادلتين حل واحد بالضبط.

Each equation is a straight line. Every point on a line makes its equation true.

Rule

Only the point where the two lines cross is on both lines. Its x and y solve both equations at once.

Key idea

Two lines that are not parallel cross once, so there is exactly one answer.

2. Read the Crossing Point

إذا كان الخطان مرسومين، فالحل هو نقطة تقاطعهما. انزل من نقطة التقاطع رأسيًا إلى محور السينات لتقرأ قيمة السينات، ثم اذهب أفقيًا إلى محور الصادات لتقرأ قيمة الصادات. تحقق بالتعويض في المعادلتين كلتيهما. واكتب الإجابة بالصيغة التي يطلبها السؤال: إحداثيات نقطة، أو قيمة كل مجهول على حدة. وإذا كان أحد الخطين أفقيًا فقيمة الصادات معروفة وتقرأ السينات فقط. الخطأ الشائع أن تبدّل بين القيمتين، تذكّر أن الإحداثي الأول دائمًا سيني.

The 1-mark question: the lines are already drawn. Write down the solution of the two equations.

Worked example

1
$x + 2 y = 8 and y = 2 x - 1$ — The two lines on the grid. The answer is the one point that is on both lines.
2
$they cross at (2, 3)$ — Find where the lines cross. Only that point makes both equations true.
3
$x = 2$ — Look straight down from the crossing to the x-axis. That number is x.
4
$y = 3$ — Look straight across to the y-axis. That number is y.
5
$2 + 2 (3) = 2 + 6 = 8$ — Check in the first equation: put x = 2 and y = 3 in. It gives 8, so it fits.
6
$2 (2) - 1 = 4 - 1 = 3$ — Check in the second equation too. It gives y = 3, so the point is on both lines.

Key idea

Match the answer to the words. “Write down the coordinates” → (2, 3). “Solve” → x = 2, y = 3. If one line is flat, like $y = 1$ , every point on it has y = 1, so you only need to read x.

Common mistake

Swapping them and writing $x = 3, y = 2$ . The first number of a point is always x.

3. Draw Both Lines First

أحيانًا عليك أن ترسم الخطين بنفسك. إذا كانت السينات والصادات في نفس الطرف، فأسرع نقطتين هما نقطتا القطع مع المحورين: ضع السينات صفرًا وحل لتجد نقطة على محور الصادات، ثم ضع الصادات صفرًا لتجد نقطة على محور السينات، وصِلهما بالمسطرة. أما إذا كانت الصادات وحدها فاختر قيمتين سهلتين للسينات متباعدتين حتى يكون الخط دقيقًا. بعد الرسم اقرأ نقطة التقاطع وتحقق في المعادلتين. الخطأ الشائع أن تخلط بين نقطتي المحورين، فتأكد أن كل نقطة تحقق المعادلة.

Sometimes you must draw the lines yourself. A line like $a x + b y = c$ has x and y on the same side, so the quickest two points are where it meets each axis:

Formula

a x + b y = c meets the axes at (0, \frac{c}{b}) and (\frac{c}{a}, 0)

$a$ is the number in front of x, $b$ the number in front of y, and $c$ the number on the other side. Put x = 0 to get the first point, and y = 0 to get the second.

Worked example

1
$2 x + 3 y = 12$ — The first line. Here a = 2, b = 3, c = 12.
2
$x = 0 : 2 (0) + 3 y = 12$ — Put x = 0, because every point on the y-axis has x = 0. The 2x term becomes 0.
3
$3 y = 12, y = 4$ — Divide both sides by 3. The line meets the y-axis at (0, 4).
4
$y = 0 : 2 x + 3 (0) = 12$ — Now put y = 0, because every point on the x-axis has y = 0.
5
$2 x = 12, x = 6$ — Divide both sides by 2. The line meets the x-axis at (6, 0). Join (0, 4) to (6, 0) with a ruler.
6
$y = x - 1 : x = 0 \Rightarrow y = - 1$ — The second line is already “y = …”, so pick an easy x. x = 0 gives y = −1, the point (0, −1).
7
$x = 4 \Rightarrow y = 4 - 1 = 3$ — Pick a second x far from the first, so the ruler line is accurate. This gives (4, 3). Join the two points.
8
$cross at (3, 2)$ — Read the crossing: down to x = 3, across to y = 2.
9
$2 (3) + 3 (2) = 12, 3 - 1 = 2$ — Check in both equations. Both are true, so x = 3, y = 2.

Common mistake

Mixing up the two axis points: (0, 4) is on the y-axis, (6, 0) is on the x-axis. Check each one fits $2 x + 3 y = 12$ .

4. When Lines Cross Between Grid Lines

لا يتقاطع الخطان دائمًا عند تقاطع خطوط الشبكة. عندها تكون إجابتك تقديرًا، فاقرأها لأقرب مربع صغير، أي لمنزلة عشرية واحدة. انزل من نقطة التقاطع إلى محور السينات وعُدّ المربعات الصغيرة، ثم اذهب أفقيًا إلى محور الصادات واقرأ بنفس الطريقة. تحقق في المعادلتين: يجب أن يكون الناتج قريبًا جدًا، وهذا متوقع مع التقدير. سلم التصحيح يقبل مدى صغيرًا حول التقاطع الحقيقي، فاكتب دائمًا ما تقرؤه من خطوطك أنت. الخطأ الشائع أن تقرّب لأعداد صحيحة، فلا تحقق النقطة المعادلتين.

Lines do not always cross on a grid corner. Then your answer is an estimate, read to the nearest small square.

Worked example

1
$x + y = 5 and y = 2 x + 1$ — The two lines. They cross between grid lines, so the answer will not be whole numbers.
2
$1 < x < 1.5$ — Look straight down from the crossing. It lands a little past 1, before 1.5 on the x-axis.
3
$x \approx 1.3$ — Count the small squares past 1 to read it to 1 decimal place.
4
$y \approx 3.7$ — Look straight across to the y-axis and read y the same way.
5
$1.3 + 3.7 = 5$ — Check in the first equation. It gives 5, so it fits.
6
$2 (1.3) + 1 = 3.6 \approx 3.7$ — Check in the second. 3.6 is very close to 3.7, which is what an estimate should give.
7
$x \approx 1.3, y \approx 3.7$ — The answer, to 1 decimal place. Algebra gives the exact point, about (1.33, 3.67).

Key idea

The mark scheme accepts a small range around the true crossing. If your own line is a little off, you still get the mark for reading where your lines cross, so always write an answer.

Common mistake

Rounding to whole numbers, like (1, 4). It must fit both equations. 1 + 4 = 5 works, but 2(1) + 1 = 3, not 4.

5. Which Method? Read the Question

اقرأ كيف يريد السؤال الإجابة. إذا كان الخطان مرسومين: اقرأ نقطة التقاطع. إذا طُلب رسم خط فيه السينات والصادات معًا: أوجد نقطتي القطع مع المحورين. إذا طُلب الحل بلا رسم فاستخدم طريقة الحذف الجبرية. إذا كان الخطان هما الخط نفسه فللمعادلتين عدد لا نهائي من الحلول، وإذا كانا متوازيين فلا يوجد حل. وتذكّر أن الحل من الرسم قد يكون تقريبيًا عندما يقع التقاطع بين خطوط الشبكة، أما الجبر فيعطي الحل الدقيق.

Read how the question wants the answer.

You see	You do
Lines already drawn	read the crossing point
“Draw” a line with x and y together	find where it meets each axis
“Draw” a line given as y = …	Drawing Straight-Line Graphs
“Solve”, no graph	Simultaneous Equations by Elimination
The same line twice	infinitely many solutions
Two parallel lines	no solution
A line and a curve	Solving Equations by Graphical Methods

Key idea

A graph answer can be slightly off when the lines cross between grid lines. Algebra gives the exact answer.

تدرّب على الحل البياني للمعادلات الآنية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحل البياني للمعادلات الآنية

1. The Crossing Point Is the Answer

2. Read the Crossing Point

3. Draw Both Lines First

4. When Lines Cross Between Grid Lines

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على الحل البياني للمعادلات الآنية

أسئلة امتحانات سابقة على الحل البياني للمعادلات الآنية، محلولة ومشروحة بالعربي