شرح رسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة

Drawing Straight-Line Graphs

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Straight-Line Graph Is

معادلة الخط المستقيم قاعدة تربط الإحداثي السيني بالإحداثي الصادي، وكل نقطة تحقق هذه القاعدة تقع على خط مستقيم واحد. لرسمه احسب بعض النقاط، ثم عيّنها على الشبكة، ثم صِلها بالمسطرة. احسب ثلاث نقاط على الأقل: نقطتان تحددان الخط، والثالثة تتحقق بها أنك لم تخطئ في الحساب.

An equation like $y = 3 x - 2$ is a rule. Every point whose x and y fit the rule sits on one straight line.

To draw it, work out some points, plot them, and join them with a ruler.

Rule

Work out at least three points. Two fix the line; the third checks you have not made a slip.

2. Draw the Line From a Table

في سؤال الثلاث درجات يُطلب رسم خط مستقيم لمدى معيّن من قيم المجهول السيني. ابدأ بجدول: اكتب في الصف الأول كل الأعداد الصحيحة في المدى المطلوب. ثم عوّض كل قيمة في القاعدة واحدة واحدة، وضع القيم السالبة بين قوسين، واضرب أولًا ثم اطرح. عندما يكون المجهول السيني صفرًا تحصل على نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي. ثم تحقق من صف القيم الصادية: يجب أن يزيد بالمقدار نفسه كل مرة، وهو معامل المجهول السيني؛ والقيمة التي تخالف هذا النمط خطأ فأعد حسابها. عيّن كل النقاط وصِلها بخط واحد بالمسطرة على المدى كله. والخطأ الشائع إيقاف الخط قبل نهاية المدى. واكتب الجدول وعيّن كل النقاط، فحتى لو أخطأت في الخط تأخذ درجات على النقاط الصحيحة.

The 3-mark question: “Draw the graph of $y = 3 x - 2$ for values of x from −2 to 3.” Make a table first, one x at a time.

Worked example

1
$x : - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ — Write every whole number from −2 to 3 along the top of a table. These are the x values the question asks for.
2
$x = - 2 : 3 \times (- 2) - 2 = - 6 - 2 = - 8$ — Put x = −2 into the rule. Keep it in brackets: 3 × (−2) = −6, then take away 2.
3
$x = - 1 : 3 \times (- 1) - 2 = - 3 - 2 = - 5$ — Same two moves for the next x: times by 3, then take away 2.
4
$x = 0 : 3 \times 0 - 2 = - 2$ — 3 × 0 = 0, so y = −2. This is where the line crosses the y-axis, because x = 0 there.
5
$x = 1 : 3 - 2 = 1$ — 3 × 1 = 3, then take away 2.
6
$x = 2 : 6 - 2 = 4$ — 3 × 2 = 6, then take away 2.
7
$x = 3 : 9 - 2 = 7$ — 3 × 3 = 9, then take away 2. That is the last x in the range.
8
$- 8, - 5, - 2, 1, 4, 7$ — Check the y row: it goes up 3 each time, the number in front of x. A value that breaks the pattern is a slip — work it out again.
9
$(- 2, - 8) \dots (3, 7)$ — Plot each pair as a point. Join them with one ruled line from x = −2 right to x = 3.

Common mistake

Stopping the line early. Draw it right from x = −2 to x = 3 with a ruler, through every point.

Key idea

Show the table and plot every point. Even if your line goes wrong, two or three correctly plotted points still earn marks.

3. When the x Term Is Negative

كثير من الأسئلة تكون فيها إشارة سالبة أمام حد المجهول السيني، فينحدر الخط من اليسار إلى اليمين، ويجب الانتباه إلى الإشارات. عند التعويض بقيمة سالبة ضعها بين قوسين حتى لا تضيع إشارتها. اضرب أولًا، ثم تذكّر أن طرح العدد السالب يساوي جمعه. عندما يكون المجهول السيني صفرًا تعرف أين يقطع الخط المحور الصادي، وعندما تخرج القيمة الصادية صفرًا تعرف أين يقطع المحور السيني. وتحقق في النهاية أن القيم الصادية تنقص بالمقدار نفسه كل مرة؛ هذه الإشارة السالبة هي سبب انحدار الخط. والخطأ الشائع إهمال إشارة السالب عند الضرب، فيخرج الناتج خطأ.

Many questions use a rule like $y = 6 - 3 x$ , with a minus in front of the x term. The line goes down from left to right. Take care with the signs.

Worked example

1
$x = - 2 : 6 - 3 \times (- 2)$ — Put x = −2 in, inside brackets, so its minus is not lost.
2
$3 \times (- 2) = - 6$ — Do the times first: 3 × (−2) = −6.
3
$6 - (- 6) = 6 + 6 = 12$ — Taking away a negative is the same as adding. So the first y is 12.
4
$x = - 1 : 6 - 3 \times (- 1) = 6 + 3 = 9$ — Same moves: 3 × (−1) = −3, and 6 − (−3) = 9.
5
$x = 0 : y = 6$ — 3 × 0 = 0, so y = 6. The line crosses the y-axis at 6.
6
$x = 1 : 6 - 3 = 3$ — 3 × 1 = 3, and 6 − 3 = 3.
7
$x = 2 : 6 - 6 = 0$ — y = 0, so the line crosses the x-axis at (2, 0).
8
$x = 3 : 6 - 9 = - 3$ — 6 − 9 goes below zero: y = −3.
9
$12, 9, 6, 3, 0, - 3$ — Check: y goes down 3 each time. The minus in −3x is what makes the line slope down.

Common mistake

Writing 6 − 3(−2) = 0. Three times −2 is −6, and 6 − (−6) = 12.

4. Flat and Upright Lines

في سؤال الدرجة الواحدة تحتوي المعادلة على مجهول واحد فقط، فلا تحتاج إلى جدول. إذا كانت المعادلة «الإحداثي الصادي يساوي عددًا» فكل النقاط لها القيمة الصادية نفسها مهما تغيّر السيني، فالخط أفقي يمر بهذا العدد على المحور الصادي. وإذا كانت «الإحداثي السيني يساوي عددًا» فالنقاط فوق بعضها، والخط رأسي يمر بهذا العدد على المحور السيني. وإذا تساوى الإحداثيان دائمًا فالخط مائل صاعد يمر بنقطة الأصل، وإذا كان أحدهما سالب الآخر فهو يمر بنقطة الأصل لكنه ينحدر. وللتذكّر: الصادي يساوي عددًا يعني أفقي، والسيني يساوي عددًا يعني رأسي. والخطأ الشائع رسم الخط الرأسي أفقيًا. وإذا رسمت أكثر من خط فاكتب معادلة كل خط بجانبه.

The 1-mark question: “Draw the line $y = - 3$ ” or “Draw the line $x = 5$ .” Only one letter appears, so you need no table.

Worked example

1
$y = - 3$ — Every point has y = −3, whatever x is: (0, −3), (2, −3), (4, −3). So it is a flat line through −3 on the y-axis.
2
$x = 5$ — Every point has x = 5, whatever y is: (5, 0), (5, 2), (5, −4). They stack up, so it is an upright line through 5 on the x-axis.
3
$y = x$ — Here y always equals x: (0, 0), (1, 1), (3, 3). So it is a sloping line through the origin, going up.
4
$y = - x$ — Now y is x with its sign changed: (1, −1), (−2, 2). It also goes through the origin, but slopes down.

Memory trick

y = a number: flat. x = a number: upright.

Common mistake

Drawing x = 5 flat. Points like (5, 0) and (5, 4) all have x = 5, and they stack straight up.

Key idea

When you draw more than one line on a grid, label each with its equation, so the examiner knows which is which.

5. Lines Like 2x + 3y = 12

بعض الأسئلة تعطي معادلة الخط والمجهولان في طرف واحد، فلا يمكن قراءة الإحداثي الصادي مباشرة. استعمل النقطتين السهلتين: عوّض بالصفر مكان المجهول السيني فيختفي حدّه، وحُلّ لتجد نقطة التقاطع مع المحور الصادي. ثم عوّض بالصفر مكان المجهول الصادي لتجد نقطة التقاطع مع المحور السيني. بعدها احسب نقطة ثالثة للتحقق: إذا وقعت النقاط الثلاث على خط واحد بالمسطرة فحسابك صحيح. والخطأ الشائع إيقاف الخط عند المحورين؛ ارسمه على المدى الذي يطلبه السؤال كله. وإذا خرجت قيمة عشرية فعيّنها في مكانها الدقيق بين خطوط الشبكة. أما «ارسم رسمًا تقريبيًا» في المستوى الموسّع فيعني خطًا بالاتجاه الصحيح مع كتابة نقطتي التقاطع مع المحورين دون جدول ولا شبكة.

Some questions give a line as $2 x + 3 y = 12$ , with x and y on the same side. There is no “y =” to read, so use the two easy points: x = 0, then y = 0.

Worked example

1
$2 x + 3 y = 12$ — The question. x and y are on the same side, so a table needs a little more work.
2
$x = 0 : 2 \times 0 + 3 y = 12$ — Put x = 0. The x term becomes 0, so only y is left.
3
$3 y = 12, so y = 4$ — Divide both sides by 3. So (0, 4) is on the line: where it crosses the y-axis.
4
$y = 0 : 2 x + 3 \times 0 = 12$ — Now put y = 0. The y term becomes 0, so only x is left.
5
$2 x = 12, so x = 6$ — Divide both sides by 2. So (6, 0) is on the line: where it crosses the x-axis.
6
$x = 3 : 2 \times 3 + 3 y = 12$ — Find a third point as a check. Put x = 3, so 2 × 3 = 6.
7
$3 y = 12 - 6 = 6$ — Take 6 from both sides, so the y term is alone.
8
$y = 2$ — Divide by 3. Plot (0, 4), (6, 0) and (3, 2): if they lie in one ruled line, your points are right.

Common mistake

Stopping the line at the axes. If the question says x from −3 to 6, carry on: at x = −3, y = 6. Draw the ruled line across the whole range.

Key idea

If a y value comes out as a decimal, plot it exactly. For $2 y = x + 3$ , x = 2 gives y = 2.5: put the point halfway between the gridlines, not on 2 or 3.

Key idea

“Sketch the line” (Extended) means no table and no grid. Draw a straight line sloping the right way, and write the numbers where it crosses each axis — here 4 on the y-axis and 6 on the x-axis.

6. Which Method? Read the Question

انظر إلى المجاهيل الموجودة في المعادلة لتختار الطريقة. «ارسم الخط لمدى معيّن»: جدول ثم تعيين النقاط ثم المسطرة على المدى كله. «أكمل الجدول»: عوّض كل قيمة في القاعدة. معادلة فيها مجهول واحد يساوي عددًا: خط أفقي أو رأسي. تساوي الإحداثيين أو تعاكسهما: خط مائل يمر بنقطة الأصل. المجهولان في طرف واحد: عوّض بالصفر مكان كل منهما ثم نقطة للتحقق. «هل تقع النقطة على الخط؟»: عوّض إحداثيها السيني وقارن الناتج بإحداثيها الصادي، واكتب السبب دائمًا. وإذا طُلب الميل أو الجزء المقطوع من المحور الصادي فهذا درس معادلة الخط المستقيم.

Look at which letters the equation has.

You see	You do
“Draw y = … for x from … to …”	table, plot, ruler, full range
“Complete the table”	put each x into the rule
Only y = a number, or x = a number	flat line, or upright line
y = x or y = −x	sloping line through (0, 0)
x and y on one side, like 2x + 3y = 12	put x = 0, then y = 0, then one check point
“Does this point lie on the line?”	put its x in, compare the y
Gradient or y-intercept asked	The Equation y = mx + c

Key idea

Does (100, 297) lie on $y = 3 x - 2$ ? $3 (100) - 2 = 298$ , not 297, so no. Always write the reason.

تدرّب على رسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح رسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة

1. What a Straight-Line Graph Is

2. Draw the Line From a Table

3. When the x Term Is Negative

4. Flat and Upright Lines

5. Lines Like 2x + 3y = 12

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على رسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة

أسئلة امتحانات سابقة على رسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة، محلولة ومشروحة بالعربي