شرح تمثيل متباينة واحدة بيانياً

Graphing a Single Inequality

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Boundary Line

المتباينة في مجهولين تمثّل منطقة كاملة من الشبكة، وحدّها خط مستقيم. لرسم الحد: استبدل إشارة المتباينة بإشارة المساواة وارسم الخط الناتج. إذا كان المجهول الأفقي يساوي عددًا ثابتًا فالخط رأسي، وإذا كان المجهول الرأسي يساوي عددًا ثابتًا فالخط أفقي. أما إذا كان في المعادلة المجهولان معًا فالخط مائل، وتحتاج نقطتين: اختر قيمتين سهلتين للمجهول الأفقي، واحسب المجهول الرأسي لكل منهما، ثم صِل النقطتين بالمسطرة ومدّ الخط عبر الشبكة. القاعدة: ارسم خطًا متصلًا مع «أصغر من أو يساوي» و«أكبر من أو يساوي» لأن الخط داخل المنطقة، وخطًا متقطعًا مع «أصغر من» و«أكبر من» لأن الخط غير داخل.

An inequality in x and y is a whole region of the grid. Its edge is a straight line: change the sign to = and draw that line.

Worked example

1
$x \leq 3 \Rightarrow x = 3$ — Swap the sign for = to get the edge. Every point on x = 3 has x equal to 3, so it is an upright line through 3 on the x-axis.
2
$y \geq - 1 \Rightarrow y = - 1$ — Same move. Every point on y = −1 is at height −1, so it is a flat line through −1 on the y-axis.
3
$y \leq x + 1 \Rightarrow y = x + 1$ — Same move again. This edge has x in it, so it slopes. You need two points to draw it.
4
$x = 0 : y = 0 + 1 = 1$ — Put an easy x into y = x + 1. With x = 0 you get the point (0, 1).
5
$x = 2 : y = 2 + 1 = 3$ — Pick a second x to get a second point, (2, 3). Join the two points with a ruler and carry the line across the grid.

Rule

A solid line for $\leq$ and $\geq$ : the line is included. A dashed line for $<$ and $>$ : the line is not included.

2. Which Side?

لمعرفة أي جهة من الخط هي المطلوبة، اختر «نقطة اختبار» ليست على الخط، وعوّض بإحداثييها في المتباينة. إذا كانت العبارة صحيحة فالجهة التي فيها النقطة هي المطلوبة، وإذا كانت خاطئة فالمطلوب الجهة الأخرى. أسهل نقطة غالبًا هي نقطة الأصل، بشرط ألا تقع على الخط. ويمكنك التأكد بنقطة من الجهة الأخرى، فيجب أن تعطي عبارة خاطئة. الخطأ الشائع: اختيار نقطة على الخط نفسه، فهي تجعل الطرفين متساويين ولا تخبرك بشيء.

Pick a test point that is not on the line. If it makes the inequality true, its side is the one you want.

Worked example

1
$y \leq x + 1$ — The inequality. Its edge is the line y = x + 1 from the last card.
2
$(0, 0) : 0 \leq 0 + 1$ — Test (0, 0). It is not on the line, since 0 + 1 is 1, not 0. Put x = 0 and y = 0 in.
3
$0 \leq 1 ✓$ — True. (0, 0) is below the line, so below is the side you want.
4
$(0, 3) : 3 \leq 0 + 1$ — Check with a point from the other side. (0, 3) is above the line.
5
$3 \leq 1 \times$ — False, so above is not wanted. This agrees with the first test.

Common mistake

Using a test point on the line, like (1, 2) for $y \leq x + 1$ . It gives $2 \leq 2$ , which is true whichever side you want, so it tells you nothing. Pick a point clearly off the line.

3. Three Inequalities Together

السؤال يعطي ثلاث متباينات: ارسم الخطوط الثلاثة، ثم أوجد الجزء من الشبكة الذي يحقق المتباينات كلها معًا. خذ متباينة واحدة في كل مرة: ارسم الخط متصلًا أو متقطعًا حسب الإشارة، ثم حدّد الجهة المطلوبة. قيم السينات الأصغر تكون إلى اليسار والأكبر إلى اليمين، وقيم الصادات الأكبر تكون إلى الأعلى. وللخط المائل استخدم نقطة اختبار. الجزء المشترك بين الثلاث يكون غالبًا مثلثًا، ورؤوسه هي نقاط تقاطع الخطوط. تحقق بنقطة من داخله في المتباينات الثلاث، ثم اكتب رمز المنطقة داخلها. واقرأ التعليمات: بعض الأسئلة تطلب تظليل المنطقة المطلوبة، وبعضها تظليل ما لا تريده.

The 3-mark question gives three inequalities. Draw all three lines, then find the part of the grid that obeys every one.

Worked example

1
$x \leq 3, y \geq - 1, y \leq x + 1$ — The question. Take one inequality at a time.
2
$x = 3 solid, keep the left$ — Draw x = 3 solid, because ≤ includes the line. Smaller x is to the left, so keep the left side.
3
$y = - 1 solid, keep above$ — Draw y = −1 solid, because ≥ includes it. Bigger y is higher up, so keep the side above.
4
$y = x + 1 solid, keep below$ — Draw y = x + 1 through (0, 1) and (2, 3). The test point (0, 0) gave 0 ≤ 1, true, so keep the side below.
5
$(- 2, - 1), (3, - 1), (3, 4)$ — The part kept by all three is a triangle. Its corners are where each pair of lines cross.
6
$(1, 0) : 1 \leq 3, 0 \geq - 1, 0 \leq 2 ✓$ — Check a point inside the triangle in every inequality. All three are true, so this triangle is R. Write R inside it.

Key idea

Read the instruction. Some questions say shade the region you want; others say shade the parts you do not want. Either way, write R in the region: the label and each correct line earn marks.

4. Which Method? Read the Question

ارسم كل خط أولًا، ثم اختر الجهة المطلوبة لكل خط. إذا كانت المتباينة في السينات وحدها مع عدد ثابت فالخط رأسي، وإذا كانت في الصادات وحدها فالخط أفقي، وإذا كان فيها المجهولان معًا فالخط مائل وتحتاج بعده نقطة اختبار. مع «أصغر من» أو «أكبر من» دون مساواة يكون الخط متقطعًا. أما حل متباينة بمجهول واحد جبريًا فله درس المتباينات الخطية. تذكّر: في الصادات «أكبر من» تعني فوق الخط، وفي السينات «أكبر من» تعني يمين الخط.

Draw each line first, then choose each side.

You see	You do
x ≤ a or x ≥ a	upright line x = a
y ≤ b or y ≥ b	flat line y = b
y ≤ mx + c	sloped line, then a test point
Less than, or more than	dashed line
Solve 3x + 1 < 7	See Linear Inequalities

Key idea

For y, greater than means above the line. For x, greater than means to the right.

تدرّب على تمثيل متباينة واحدة بيانياً

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تمثيل متباينة واحدة بيانياً

1. The Boundary Line

2. Which Side?

3. Three Inequalities Together

4. Which Method? Read the Question

تدرّب على تمثيل متباينة واحدة بيانياً

أسئلة امتحانات سابقة على تمثيل متباينة واحدة بيانياً، محلولة ومشروحة بالعربي