شرح الخطوط المتصلة والمتقطعة ونقاط الاختبار

Solid vs Dashed Lines and Test Points

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Drawing the Three Kinds of Line

معظم الدرجات هنا على رسم الخطوط وتسميتها، وهناك ثلاثة أنواع. الأول: «السينات تساوي عددًا»، وكل نقاطه لها الإحداثي السيني نفسه، فهو خط رأسي يمر بذلك العدد على محور السينات، حتى لو كان العدد بين خطين من الشبكة. الثاني: «الصادات تساوي السينات»، وهو يمر بنقطة الأصل ويصعد مربعًا مع كل مربع إلى اليمين. الثالث: مجموع الإحداثيين يساوي عددًا ثابتًا، وهو خط مائل نازل، وطريقة رسمه السريعة في البطاقة التالية. القاعدة: اكتب معادلة كل خط بجانبه، فالتسمية لها درجة أيضًا.

Most marks here are for drawing and labelling lines. There are three kinds.

Worked example

1
$x = 2.5$ — Every point on it has x equal to 2.5, so it is an upright line through 2.5 on the x-axis, halfway between 2 and 3.
2
$y = x$ — y always equals x, so it passes through (0, 0), (1, 1) and (2, 2). Join them: it goes up one square for every square across.
3
$x + y = 8$ — The two coordinates always add to 8, like (0, 8), (5, 3) and (8, 0). The next card shows the quick way to draw it.

Rule

Label every line with its equation. The label earns marks too.

2. Lines Like x + y = 8

لرسم خط مجموع إحداثييه ثابت، أوجد أين يقطع كل محور ثم صِل النقطتين بالمسطرة. على محور الصادات يكون الإحداثي السيني صفرًا، فيكون الإحداثي الصادي هو العدد الثابت نفسه. وعلى محور السينات يكون الإحداثي الصادي صفرًا، فيكون الإحداثي السيني هو العدد الثابت. قبل الرسم تحقق بنقطة ثالثة مجموع إحداثييها يساوي العدد نفسه. الخطأ الشائع: رسم الخط مارًّا بنقطة الأصل، مع أنه يقطع المحورين بعيدًا عنها.

Find where the line meets each axis, then join them with a ruler.

Worked example

1
$x + y = 8$ — The line. Find two easy points on it.
2
$x = 0 : 0 + y = 8, y = 8$ — On the y-axis x is 0, so y must be 8. That gives the point (0, 8).
3
$y = 0 : x + 0 = 8, x = 8$ — On the x-axis y is 0, so x must be 8. That gives the point (8, 0).
4
$(5, 3) : 5 + 3 = 8 ✓$ — Check a third point before drawing. It adds to 8, so it is on the line. Now join (0, 8) and (8, 0).

Common mistake

Drawing it through (0, 0). Put in x = 0: y = 8, not 0.

3. Lines Like 2x + 3y = 12

بعض الخطوط فيها معاملات أمام المجهولين، والحيلة نفسها تنفع: عوّض بالصفر مكان أحد المجهولين ثم مكان الآخر. عندما يكون الإحداثي السيني صفرًا يختفي حدّه، فتقسم العدد الثابت على معامل الصادات لتجد نقطة القطع مع محور الصادات. وعندما يكون الإحداثي الصادي صفرًا يختفي حدّه، فتقسم العدد الثابت على معامل السينات لتجد نقطة القطع مع محور السينات. تحقق بنقطة ثالثة ثم صِل النقطتين بالمسطرة. الخطأ الشائع: الخلط بين المحورين؛ اقسم العدد الثابت على معامل المجهول الذي بقي.

Some lines have numbers in front of x and y, like 2x + 3y ≤ 12. The same trick works: put x = 0, then y = 0.

Formula

a x + b y = c \Rightarrow (\frac{c}{a}, 0) and (0, \frac{c}{b})

$a$ is the number in front of x, $b$ is the number in front of y, and $c$ is the number on the other side. $(\frac{c}{a}, 0)$ is where the line crosses the x-axis; $(0, \frac{c}{b})$ is where it crosses the y-axis.

Worked example

1
$2 x + 3 y = 12$ — The line. Here a = 2, b = 3 and c = 12.
2
$x = 0 : 3 y = 12$ — On the y-axis x is 0, so the 2x term becomes 0 and drops out.
3
$y = \frac{12}{3} = 4$ — Divide both sides by 3. The line crosses the y-axis at (0, 4).
4
$y = 0 : 2 x = 12$ — On the x-axis y is 0, so the 3y term drops out.
5
$x = \frac{12}{2} = 6$ — Divide both sides by 2. The line crosses the x-axis at (6, 0).
6
$(3, 2) : 2 (3) + 3 (2) = 6 + 6 = 12 ✓$ — Check a third point: it gives 12, so it is on the line. Join (0, 4) and (6, 0) with a ruler.

Common mistake

Mixing up the axes: drawing 2x + 3y = 12 through (0, 6) and (4, 0). Divide c by the number in front of the letter that is left.

4. Solid or Dashed?

إشارة المتباينة تخبرك كيف ترسم الحد. مع «أصغر من أو يساوي» و«أكبر من أو يساوي» ارسم خطًا متصلًا، لأن الخط جزء من المنطقة. ومع «أصغر من» و«أكبر من» ارسم خطًا متقطعًا، لأن الخط غير داخل في المنطقة. الخطأ الشائع: رسم كل الخطوط متصلة؛ افحص إشارة كل متباينة وحدها.

The sign tells you how to draw the edge.

Solid

\leq \geq

The line is part of the region.

Dashed

< >

The line is not included.

Common mistake

Drawing every line solid. Check each sign on its own.

Key idea

Why is the line for $y < 3$ drawn dashed? It knows it is not included, so it only turns up part of the time!

5. The Test Point

للتحقق من منطقة، اختر نقطة داخلها وليست على أي خط، ثم اختبرها في كل المتباينات واحدة بعد الأخرى بالتعويض بإحداثييها. إذا تحققت كلها فالنقطة داخل المنطقة. ويكفي أن تفشل متباينة واحدة لتكون النقطة خارجها. إذا توقعت أن نقطة داخل المنطقة ثم فشلت في اختبار، فراجع التظليل لذلك الخط، فربما احتفظت بالجهة الخاطئة.

To check a region, pick a point inside it and test every inequality.

Worked example

1
$x \geq 2.5, y \geq x, x + y \leq 8$ — The three inequalities. R is the triangle they leave.
2
$(3, 4)$ — Pick a point inside the triangle, not on any line.
3
$x \geq 2.5 : 3 \geq 2.5 ✓$ — Put x = 3 into the first one. True.
4
$y \geq x : 4 \geq 3 ✓$ — Put y = 4 and x = 3 into the second. True.
5
$x + y \leq 8 : 3 + 4 = 7 \leq 8 ✓$ — Add the coordinates for the third: 7 is at most 8, so true. All three hold, so (3, 4) is in R.
6
$(4, 3) : 3 \geq 4 \times$ — Now a point below y = x. It fails the second test, and one false is enough: it is outside R.

Key idea

If a point you expected inside fails a test, check your shading for that line: you may have kept the wrong side.

6. Which Method? Read the Question

ارسم أولًا ثم قرّر. «السينات تساوي عددًا» خط رأسي، و«الصادات تساوي عددًا» خط أفقي. إذا كان مجموع الإحداثيين ثابتًا فصِل نقطتي القطع مع المحورين، وكلتاهما على بعد العدد الثابت من الأصل. وإذا كانت هناك معاملات أمام المجهولين فعوّض بالصفر مكان كل مجهول بدوره. «على الأكثر» أو «على الأقل» تعني خطًا متصلًا، و«أقل من» أو «أكثر من» تعني خطًا متقطعًا. ولمعرفة هل نقطة داخل المنطقة اختبرها في كل المتباينات. وتذكّر أن نقطة الاختبار يجب ألا تقع على أي خط.

Draw first, then decide.

You see	You do
x = a or y = b	upright or flat line
x + y = c	join (0, c) and (c, 0)
ax + by = c	put x = 0, then y = 0
At most, or at least	solid line
Less than, or more than	dashed line
Is a point in R?	test every inequality

Key idea

A test point must not sit on a line.

تدرّب على الخطوط المتصلة والمتقطعة ونقاط الاختبار

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة امتحانات سابقة على الخطوط المتصلة والمتقطعة ونقاط الاختبار، محلولة ومشروحة بالعربي

4MA1/2F · يناير 2021 · سؤال 18 · 4 درجات