شرح المعادلات التربيعية المستترة والمعادلات الآنية الأصعب

Hidden Quadratics and Harder Simultaneous Equations

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Quadratics in disguise

بعض المعادلات لا تبدو تربيعية لأن فيها أسًّا رابعًا أو أسًّا كسريًا، لكنها في الحقيقة معادلة تربيعية متنكّرة. الاختبار: أحد الأسّين ضعف الآخر تمامًا، مثل مربع السين وأسّها الرابع، أو الجذر التربيعي للسين والسين نفسها، أو أربعة أُس السين واثنين أُس السين. الطريقة: ابحث عن الجزء الذي يتكرر مرة مربّعًا ومرة وحده، وسمِّه رمزًا جديدًا، فتصبح المعادلة تربيعية عادية. حلّها بالتحليل أو بالقانون العام، ثم ارجع إلى المتغير الأصلي وأوجد السين. وأخيرًا ارفض أي قيمة لا يمكن أن يأخذها ذلك الجزء. وكلمة «الجبر» نفسها جاءت من كتاب الخوارزمي في بغداد.

Look at $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ . It has a power 4, so it does not look like a quadratic. But $x^{4}$ is just $(x^{2})^{2}$ . Call $x^{2}$ by a new letter, u, and it becomes $u^{2} - 13 u + 36 = 0$ : an ordinary quadratic in disguise.

Formula

a u^{2} + b u + c = 0

$u$ — the piece that appears twice: once squared, once on its own. It might be $x^{2}$ , $x^{\frac{1}{3}}$ , $x$ or $2^{x}$ .
$a, b, c$ — ordinary numbers, exactly as in any quadratic.

Rule

The test: one power is exactly double the other. $x^{4}$ and $x^{2}$ ; $x^{\frac{2}{3}}$ and $x^{\frac{1}{3}}$ ; $x$ and $x$ ; $4^{x}$ and $2^{x}$ .

Steps

1
1. Spot the repeated piece and call it u.
2. Rewrite the equation as $a u^{2} + b u + c = 0$ .
3. Solve for u: factorise, or use the quadratic formula (printed on 0606 and 4037 papers; learn it for 4PM1).
4. Swap back and solve for x.
5. Reject any u-value the piece can never take.

0606 and 4037 test these equations directly. 4PM1 uses the same trick inside log and trig questions, and tests the simultaneous equations later in this lesson.

Key idea

Around the year 820, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi wrote a book in Baghdad on solving equations, including quadratics. Its title contains the word al-jabr, which became the word algebra.

2. Powers of x

أشهر صورة للتنكّر هي قوى السين. اختر الرمز الجديد ليكون القوة الصغرى، ثم تأكد أن القوة الكبرى هي مربعه. في المثال الأول نجعل الرمز مربع السين، فتصبح المعادلة تربيعية نحلّلها إلى قوسين، ثم نرجع فنجد أن مربع السين يساوي عددين، ولكل منهما جذر موجب وجذر سالب، فتكون الحلول أربعة. وفي المثال الثاني نجعل الرمز الجذر التكعيبي للسين، ثم نكعّب الطرفين لنجد السين، ونحتفظ بالقيمة السالبة لأن الجذر التكعيبي قد يكون سالبًا. وإذا كان الجزء في المقام فاضرب كل الحدود فيه أولًا. الخطأ الشائع: التوقف عند قيم الرمز الجديد، أو نسيان الجذر السالب.

Powers of x are the most common disguise. Choose u as the smaller power, then check that the bigger power is $u^{2}$ .

Worked example

1
Solve $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ .
2
$u = x^{2}$ — x⁴ = (x²)², so let u stand for x².
3
$u^{2} - 13 u + 36 = 0$ — Rewrite using u.
4
$(u - 4) (u - 9) = 0$ — −4 and −9 multiply to 36 and add to −13.
5
$x^{2} = 4 or x^{2} = 9$ — Swap back: u is x².
6
$x = \pm 2, x = \pm 3$ — Each square has a positive and a negative root: four answers.

Worked example

1
Solve $x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ .
2
$u = x^{\frac{1}{3}}$ — Two thirds is double one third, so x to the power two thirds is u².
3
$u^{2} - u - 6 = 0$ — Rewrite using u.
4
$(u - 3) (u + 2) = 0$ — −3 and 2 multiply to −6 and add to −1.
5
$x^{\frac{1}{3}} = 3 \Rightarrow x = 27$ — Cube both sides: 3³ = 27.
6
$x^{\frac{1}{3}} = - 2 \Rightarrow x = - 8$ — Cube both sides: (−2)³ = −8. Keep it: a cube root can be negative.

Rule

If the piece is under a fraction, multiply through first. For example, $x^{\frac{1}{3}} + 2 = \frac{15}{x ^{\frac{1}{3}}}$ becomes $u^{2} + 2 u - 15 = 0$ after multiplying every term by $x^{\frac{1}{3}}$ .

Mark schemes give a method mark for a 3-term quadratic in u, another for solving it, and accuracy marks for the x-values. Throwing away a correct answer, like $x = - 8$ , loses a mark.

Common mistake

Stopping at the u-values. The question asks for x, so always swap back.

Common mistake

Forgetting the negative root: $x^{2} = 4$ gives $x = 2$ and $x = - 2$ .

Key idea

Find u, then undo whatever u stands for. Square, cube or square root: do the opposite.

3. Values you must reject

بعض الأجزاء المتنكّرة لا يمكن أن تكون سالبة: الجذر التربيعي للسين دائمًا موجب أو صفر، وكذلك كل جذر زوجي، وقوة العدد اثنين دائمًا موجبة. أما الجذر التكعيبي فقد يكون سالبًا. في المثال الأول نجعل الرمز هو جذر السين فتظهر معادلة تربيعية، نحلّها ثم نربّع الطرفين للقيمة الموجبة، ونرفض القيمة السالبة مع كتابة السبب. وفي المثال الثاني نكتب أربعة أُس السين على صورة مربع اثنين أُس السين، ونفصل اثنين أُس السين زائد اثنين إلى أربعة في اثنين أُس السين، ثم نحلّ ونرفض القيمة السالبة. احذر: لا تحتفظ بقيمة مستحيلة، واكتب دائمًا لماذا رفضتها.

Some disguises can never be negative. Then one of your u-values may be impossible, and you must say so and reject it.

Rule

$x$ is never negative, and neither is any even root such as $x^{\frac{1}{4}}$ . A power like $2^{x}$ is always positive. Cube roots can be negative.

Worked example

1
Solve $2 x + x - 6 = 0$ .
2
$u = x, x = u^{2}$ — x is double the power of √x.
3
$2 u^{2} + u - 6 = 0$ — Rewrite using u.
4
$(2 u - 3) (u + 2) = 0$ — Check: 2u² + 4u − 3u − 6.
5
$x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{9}{4}$ — Square both sides.
6
$x = - 2$ — Reject: a square root is never negative.

Worked example

1
Solve $4^{x} - 2^{x + 2} - 32 = 0$ .
2
$4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ — Write 4 as 2², then swap the order of the powers.
3
$2^{x + 2} = 2^{x} \times 2^{2} = 4 \times 2^{x}$ — Adding powers means multiplying: split off the 2².
4
$u^{2} - 4 u - 32 = 0$ — Let u = 2ˣ.
5
$(u - 8) (u + 4) = 0$ — −8 and 4 multiply to −32 and add to −4.
6
$2^{x} = 8 \Rightarrow x = 3$ — 8 = 2³.
7
$2^{x} = - 4$ — Reject: a power of 2 is always positive.

If $2^{x}$ equals a number that is not a neat power of 2, such as 6, you need logarithms to finish. That is done in the exponential equations lesson.

Common mistake

Keeping an impossible value. Write the reason when you reject it, for example “ $x = - 2$ has no solution”.

Key idea

Before you swap back, ask: can this piece really equal that number?

4. A line and a curve

هنا معادلتان: خط مستقيم ومنحنى فيه مربع السين أو حاصل ضرب السين في الصاد أو مربع الصاد. الطريقة: اجعل أحد المجهولين موضوع القانون في المعادلة الخطية، واختر المجهول الذي لا يعطيك كسورًا. عوّض به في معادلة المنحنى في كل مكان يظهر فيه، وضعه بين قوسين، ثم افكّ الأقواس بعناية واجمع كل شيء في معادلة تربيعية تساوي صفرًا. حلّها، ثم عوّض بكل قيمة في المعادلة الخطية لتجد شريكها. الخطأ الشائع إيجاد الصاد من معادلة المنحنى، فقد يعطيك أزواجًا لا تقع على الخط. استخدم الخط دائمًا، واكتب الإجابة أزواجًا.

Now two equations: one straight line and one curve with $x^{2}$ , $x y$ or $y^{2}$ terms. Use the line to replace one letter in the curve. What is left is a quadratic in one letter.

Steps

1
1. Make x or y the subject of the linear equation. Pick the one with no fractions.
2. Substitute it into the other equation.
3. Expand carefully and collect everything into a quadratic equal to 0.
4. Solve the quadratic.
5. Put each answer into the linear equation to find its partner.

Worked example

1
Solve $x - y = 3$ and $x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 11$ .
2
$y = x - 3$ — Rearrange the linear equation.
3
$x^{2} - 2 x (x - 3) + 3 (x - 3)^{2} = 11$ — Replace every y in the curve's equation.
4
$x^{2} - 2 x^{2} + 6 x + 3 x^{2} - 18 x + 27 = 11$ — Expand: (x − 3)² = x² − 6x + 9, then times 3.
5
$2 x^{2} - 12 x + 16 = 0$ — Collect like terms and subtract 11.
6
$x^{2} - 6 x + 8 = 0, (x - 2) (x - 4) = 0$ — Divide by 2, then factorise.
7
$x = 2, y = - 1 x = 4, y = 1$ — Use y = x − 3 for each x.

Mark schemes give a method mark for an equation in one letter only, an accuracy mark for the correct quadratic, a method mark for solving, and marks for the pairs.

Common mistake

Finding y from the curve's equation. That can give extra pairs that do not fit the line. Always use the linear equation.

Key idea

Line into curve, then quadratic, then pair up. Every answer is an (x, y) pair.

5. Shared chunks and fractions

حيلتان شائعتان قبل الطريقة المعتادة. الأولى: قد تشترك المعادلتان في جزء كامل، مثل حاصل ضرب السين في الصاد. عوّض قيمة هذا الجزء من المعادلة الأولى في الثانية، فتظهر معادلة خط مستقيم، ثم أكمل كالمعتاد بالتعويض في المعادلة الأولى والحل. الثانية: قد تحتوي المعادلة على كسور في مقاماتها مجاهيل؛ اضرب كل الحدود في جميع المقامات أولًا لتتخلص من الكسور، ثم عوّض بمعادلة الخط وافكّ الأقواس وحلّ. الخطأ الشائع ضرب بعض الحدود فقط؛ يجب ضرب كل حد في الطرفين، حتى الكسر العددي في الطرف الأيمن.

Two common twists, set by 0606 and 4037. (4PM1 sets one linear and one quadratic equation, so it uses only the method in the last step.) First, both equations may share a whole chunk, such as $x y$ . Swap the chunk in first, and a line appears.

Worked example

1
Solve $x y = 20$ and $x y + 2 x + y = 33$ .
2
$20 + 2 x + y = 33$ — Replace xy by 20 in the second equation.
3
$y = 13 - 2 x$ — Now it is a straight line.
4
$x (13 - 2 x) = 20$ — Substitute into xy = 20.
5
$2 x^{2} - 13 x + 20 = 0$ — Expand to 13x − 2x² = 20, then move everything to one side.
6
$(2 x - 5) (x - 4) = 0$ — Check: 2x² − 8x − 5x + 20.
7
$x = 4, y = 5 x = \frac{5}{2}, y = 8$ — Use y = 13 − 2x for each x.

Second, an equation may have fractions with letters underneath. Multiply every term by both denominators first.

Worked example

1
Solve $y = x + 1$ and $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$ .
2
$2 x^{2} + 2 y^{2} = 5 x y$ — Multiply every term by 2xy to clear all the fractions.
3
$2 x^{2} + 2 (x + 1)^{2} = 5 x (x + 1)$ — Substitute y = x + 1.
4
$4 x^{2} + 4 x + 2 = 5 x^{2} + 5 x$ — Expand both sides.
5
$x^{2} + x - 2 = 0, (x + 2) (x - 1) = 0$ — Collect on one side, then factorise.
6
$x = 1, y = 2 x = - 2, y = - 1$ — Use y = x + 1 for each x.

Common mistake

Multiplying only some terms. When you clear fractions, every term on both sides is multiplied, including the $\frac{5}{2}$ .

Key idea

Simplify first: swap in a shared chunk, or clear the fractions. Then it is the usual line-into-curve method.

6. Which method? Read the question

اقرأ شكل المعادلات أولًا، فهو يخبرك بالخطوة المناسبة. إذا رأيت الأس الرابع للسين ومربعها فاجعل الرمز مربع السين، وفي النهاية خذ الجذر الموجب والسالب. إذا رأيت الأس ثلثين والأس ثلث فاجعل الرمز الجذر التكعيبي وكعّب في النهاية، والقيم السالبة مقبولة. إذا رأيت السين وجذرها، أو أربعة أُس السين واثنين أُس السين، فارفض القيمة السالبة للرمز. إذا كان الجزء في المقام فاضرب في الكل أولًا. إذا كان خط ومنحنى فعوّض الخط في المنحنى ثم اجمع كل سين مع صادها. وإذا اشتركت المعادلتان في حاصل الضرب فعوّضه أولًا. الخطأ الشائع إعطاء قيم السين فقط في المعادلات الآنية.

Read the equations first. Their shape tells you which move to make.

You see	You do
$x^{4}$ and $x^{2}$	Let $u = x^{2}$ ; finish with ± square roots
$x^{\frac{2}{3}}$ and $x^{\frac{1}{3}}$	Let $u = x^{\frac{1}{3}}$ ; cube to finish; negatives are fine
$x$ and $x$	Let $u = x$ ; reject negative u
$4^{x}$ and $2^{x}$	Let $u = 2^{x}$ ; reject negative u
The piece under a fraction	Multiply every term through first
A line and a curve	Line into curve, solve, pair each x with its y
Both equations share $x y$	Swap the shared chunk in first

Common mistake

Giving x-values only in a simultaneous question. The answer is a set of pairs, each x with its own y.

Key idea

Make it a quadratic, solve it, then go back carefully. Most lost marks come from the going back.

تدرّب على المعادلات التربيعية المستترة والمعادلات الآنية الأصعب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلات التربيعية المستترة والمعادلات الآنية الأصعب

1. Quadratics in disguise

2. Powers of x

3. Values you must reject

4. A line and a curve

5. Shared chunks and fractions

6. Which method? Read the question

تدرّب على المعادلات التربيعية المستترة والمعادلات الآنية الأصعب

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلات التربيعية المستترة والمعادلات الآنية الأصعب، محلولة ومشروحة بالعربي