شرح المتباينات التربيعية

Quadratic Inequalities

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Where Is the Curve Below Zero? (Higher)

المتباينة التربيعية تسألك: أين يكون المنحنى فوق محور السينات وأين يكون تحته؟ عندما يكون معامل مربع المجهول موجبًا يكون المنحنى على شكل حرف يو مفتوحًا لأعلى. حُلّها أولًا كأنها معادلة تساوي صفرًا، فتحصل على جذرين يقسمان خط الأعداد ثلاثة أجزاء: المنحنى تحت الصفر بين الجذرين، وفوق الصفر خارجهما. ارسم المنحنى دائمًا حتى لا تختار الجزء الخطأ. وانتبه: إذا كانت أمام مربع المجهول إشارة سالبة فالمنحنى مقلوب والقاعدة تنعكس، فاضرب كل الحدود في سالب واحد أولًا.

A quadratic inequality asks where a curve is above or below the x-axis. When the $x^{2}$ term is positive, the curve is a U shape.

Rule

Solve it as “= 0” first. For a U, the two roots split the line into three parts: the curve is below 0 between them and above 0 outside them.

Key idea

Always sketch the curve. It stops you picking the wrong part.

Common mistake

Using this rule when $x^{2}$ has a minus in front. Then the curve is upside down (∩) and the rule turns round. Multiply everything by −1 first: the Negative x² card shows how.

2. Less Than: Between the Roots

إذا كانت المتباينة «أصغر من صفر» أو «أصغر من أو تساوي صفرًا» فالإجابة متباينة واحدة تقع بين الجذرين. في المثال: نحلّل العبارة إلى قوسين ونساويها بالصفر لنجد الجذرين. ثم بما أن المنحنى تحت الصفر بين الجذرين نكتب المجهول محصورًا بينهما، ونحتفظ بعلامة «أصغر من أو تساوي» لأن الجذرين داخلان في الحل.

For “< 0” or “≤ 0” the answer is one inequality between the roots.

Worked example

1
$2 y^{2} - 7 y - 30 \leq 0$ — the question
2
$(2 y + 5) (y - 6) = 0 \Rightarrow y = - 2.5, 6$ — the roots
3
$- 2.5 \leq y \leq 6$ — below 0: between the roots, keep ≤

3. Greater Than: Outside the Roots

إذا كانت المتباينة «أكبر من صفر» أو «أكبر من أو تساوي صفرًا» فالإجابة جزءان: يسار الجذر الأصغر، أو يمين الجذر الأكبر. في المثال الأول: الصفر موجود في الطرف الأيمن، فنحلّل إلى قوسين ونتحقق من الحدّ الأوسط، ثم نجعل كل قوس يساوي صفرًا لنجد الجذرين، ثم نكتب الإجابة جزأين نربط بينهما بكلمة «أو». الخطأ الشائع أن تكتب المجهول محصورًا بين الجذرين بترتيب مقلوب، ولا يوجد عدد يحقق ذلك؛ الحل الخارجي يحتاج متباينتين منفصلتين. وفي المثال الثاني، مربع المجهول أكبر من عدد: انقل العدد ليصبح الطرف الآخر صفرًا، وحلّل كفرق بين مربعين، فيظهر جذر موجب وجذر سالب، والإجابة خارجهما. لا تكتفِ بالجانب الموجب، فأخذ الجذر التربيعي وحده يُضيّع الجانب السالب.

For “> 0” or “≥ 0” the answer has two parts: left of the smaller root, or right of the bigger one.

Worked example

1
$4 x^{2} - 5 x - 6 > 0$ — The question. It already has 0 on the right, so find the roots.
2
$(4 x + 3) (x - 2) = 0$ — Factorise and set it equal to 0. Check: −8x + 3x = −5x, and 3 × (−2) = −6.
3
$x = - \frac{3}{4} or x = 2$ — The roots: 4x + 3 = 0 gives x = −¾, and x − 2 = 0 gives x = 2.
4
$x < - \frac{3}{4} or x > 2$ — The U is above 0 outside the roots. That is two pieces, so join them with “or”.

Common mistake

Writing 2 < x < −¾. No number is both above 2 and below −¾. Outside answers need two separate inequalities.

A trap: $x^{2} > 9$ . It looks easy, but it has two parts too.

Worked example

1
$x^{2} > 9$ — The question. Treat it like any other quadratic inequality.
2
$x^{2} - 9 > 0$ — Take 9 from both sides, so 0 is on the right.
3
$(x + 3) (x - 3) > 0$ — Factorise. It is a difference of two squares, because 9 = 3².
4
$x = - 3 or x = 3$ — The roots: each bracket equals 0.
5
$x < - 3 or x > 3$ — Greater than 0, so outside the roots. Check x = −4: (−4)² = 16, and 16 > 9.

Common mistake

Writing x > ±3, or only x > 3. Square-rooting loses the negative side, but x = −4 works too.

4. Number Line and Whole Numbers

بعض الأسئلة تطلب تمثيل الحل على خط الأعداد، أو كتابة الأعداد الصحيحة التي تحققه. على خط الأعداد: دائرة مفرّغة مع «أصغر من» أو «أكبر من»، ودائرة مظلّلة مع «أصغر من أو تساوي» أو «أكبر من أو تساوي». الحل بين الجذرين قطعة واحدة مظلّلة، والحل الخارجي سهمان متباعدان. في المثال: نحلّل ونجد الجذرين، وبما أن المتباينة «أصغر من صفر» فالحل بينهما والجذران غير داخلين. ثم نعدّ الأعداد الصحيحة الواقعة بين الجذرين فقط، ولا تنسَ الصفر. والخطأ الشائع أن تضيف عددًا صحيحًا يقع قبل الجذر الأصغر؛ عوّض به وستجد أنه لا يحقق المتباينة.

Some questions ask you to show the answer on a number line, or to list the whole numbers (integers) that work.

Rule

Open circle for < or >, filled circle for ≤ or ≥. Between the roots is one shaded piece. Outside is two arrows pointing away from each other.

List the integers that satisfy $2 x^{2} - 5 x - 12 < 0$ .

Worked example

1
$2 x^{2} - 5 x - 12 < 0$ — The question. Find the roots first.
2
$(2 x + 3) (x - 4) < 0$ — Factorise. Check: −8x + 3x = −5x, and 3 × (−4) = −12.
3
$x = - 1.5 or x = 4$ — The roots: 2x + 3 = 0 gives x = −1.5, and x − 4 = 0 gives x = 4.
4
$- 1.5 < x < 4$ — Less than 0, so between the roots. Both circles are open: −1.5 and 4 are not included.
5
$- 1, 0, 1, 2, 3$ — The whole numbers above −1.5 and below 4. 4 is out because of <. Do not forget 0.

Common mistake

Listing −2. It is below −1.5, so it is outside. Check: 2 × (−2)² − 5 × (−2) − 12 = 8 + 10 − 12 = 6, which is not below 0.

5. Rearrange It First

قبل التحليل يجب أن يكون أحد الطرفين صفرًا. في المثال، الطرف الأيمن عدد وليس صفرًا، فنطرح هذا العدد من الطرفين أولًا. بعد ذلك نحلّل العبارة إلى قوسين ونجد الجذرين، وبما أن المتباينة «أصغر من أو تساوي» فالحل بين الجذرين مع إدخالهما.

Get 0 on one side before you factorise.

Worked example

1
$6 x^{2} + 37 x \leq 35$ — not = 0 yet
2
$6 x^{2} + 37 x - 35 \leq 0$ — take 35 from both sides
3
$(6 x - 5) (x + 7) \leq 0$ — factorise
4
$- 7 \leq x \leq \frac{5}{6}$ — between the roots

6. Negative x²: Flip It First

إذا كانت أمام مربع المجهول إشارة سالبة فالمنحنى مقلوب، فنعدّله أولًا. الخطوات: رتّب الحدود بحيث يأتي مربع المجهول أولًا ثم المجهول ثم العدد. بعدها اضرب كل الحدود في سالب واحد، وتذكّر أن الضرب في عدد سالب يقلب علامة المتباينة، فتصبح «أكبر من» «أصغر من». ثم حلّل إلى قوسين وجد الجذرين، وبما أن المتباينة صارت «أصغر من صفر» فالحل بين الجذرين. تحقّق بالتعويض بالصفر فهو داخل الحل. الخطأ الشائع نسيان قلب العلامة، فتحصل على عكس الإجابة تمامًا.

Some questions put a minus in front of $x^{2}$ , like $12 + x - x^{2} > 0$ . The curve is upside down, so turn it the right way up first.

Worked example

1
$12 + x - x^{2} > 0$ — The question. The x² has a minus, so the curve is ∩-shaped.
2
$- x^{2} + x + 12 > 0$ — Write the terms in order: x² first, then x, then the number.
3
$x^{2} - x - 12 < 0$ — Multiply every term by −1. Multiplying by a negative flips the sign: > becomes <.
4
$(x - 4) (x + 3) < 0$ — Factorise. Check: −4x + 3x = −x, and (−4) × 3 = −12.
5
$x = 4 or x = - 3$ — The roots: each bracket equals 0.
6
$- 3 < x < 4$ — Now it is “< 0” for a U, so the answer is between the roots.

Key idea

Check with x = 0, which is inside the answer: 12 + 0 − 0 = 12, and 12 > 0. It works.

Common mistake

Forgetting to flip the sign. That gives x < −3 or x > 4, the exact opposite of the answer.

7. Won't Factorise? Use the Formula

إذا لم تستطع التحليل إلى قوسين فاستخدم القانون العام لإيجاد الجذرين، والباقي كما هو: بين الجذرين أو خارجهما. في المثال: نقرأ المعاملات الثلاثة ونحتفظ بإشاراتها السالبة. ثم نحسب المميّز، أي ما تحت الجذر التربيعي، ونضع الأعداد السالبة بين قوسين، مع تذكّر أن سالب في سالب يعطي موجبًا. بعدها نعوّض في القانون ونبسّط الجذر بإخراج مربع كامل منه، ثم نقسم الحدّين على المقام فنحصل على الجذرين. بما أن المتباينة «أصغر من صفر» فالحل بين الجذرين، ونتركه في صورته الدقيقة إلا إذا طلب السؤال كسورًا عشرية. ويمكن أيضًا إيجاد الجذرين نفسيهما بإكمال المربع.

Can't find the brackets? Use the quadratic formula to get the roots. The rest is the same: between or outside.

Worked example

1
$x^{2} - 4 x - 7 < 0$ — The question. No two whole numbers multiply to −7 and add to −4, so it will not factorise.
2
$a = 1, b = - 4, c = - 7$ — Read off a, b and c. Keep the minus signs.
3
$b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times (- 7)$ — Work out the part under the square root. Put the negatives in brackets.
4
$= 16 + 28 = 44$ — (−4)² = 16, and −4 × 1 × (−7) = +28, because minus times minus is plus.
5
$x = \frac{- ( - 4 ) \pm 44}{2 \times 1}$ — Put it in the formula. −b means −(−4).
6
$x = \frac{4 \pm 44}{2}$ — −(−4) = 4, and 2 × 1 = 2.
7
$x = \frac{4 \pm 2 11}{2}$ — Simplify: √44 = √(4 × 11) = 2√11.
8
$x = 2 \pm 11$ — Divide both parts by 2. These are the two roots.
9
$2 - 11 < x < 2 + 11$ — Less than 0, so between the roots. Leave it exact unless the question asks for decimals.
10
$- 1.32 < x < 5.32$ — Only if decimals are asked: √11 = 3.3166…, so 2 − 3.3166 and 2 + 3.3166, to 3 s.f.

Key idea

Completing the square finds the same roots: $x^{2} - 4 x - 7 = (x - 2)^{2} - 11$ , so $x = 2 \pm 11$ .

8. From a Shape: Every Side Positive

هذا سؤال الدرجات الأعلى: مساحة مستطيل أصغر من عدد معيّن، ويجب أن يكون كل ضلع موجبًا، وهذا يغيّر الإجابة. الخطوات: اكتب المساحة على أنها الطول في العرض أصغر من العدد. افكّ القوسين واجمع الحدود المتشابهة، ثم انقل العدد ليصبح الطرف الآخر صفرًا. حلّل إلى قوسين وجد الجذرين، فيكون الحل بينهما، لكنه ليس الإجابة النهائية بعد. الآن اشترط أن يكون كل ضلع أكبر من صفر، فالطول لا يكون سالبًا ولا صفرًا، واحتفظ فقط بالجزء الذي تكون فيه كل الأضلاع موجبة. الخطأ الشائع التوقف عند الحل بين الجذرين دون فحص الأضلاع.

The 5-mark version: a rectangle's area is less than a number. Every side must be positive, and that changes the answer.

Worked example

1
$(2 x + 3) (x - 1) < 75$ — Area = length × width, and it must be less than 75.
2
$2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 < 75$ — Expand: multiply each term in the first bracket by each term in the second.
3
$2 x^{2} + x - 3 < 75$ — Collect the x terms: −2x + 3x = x.
4
$2 x^{2} + x - 78 < 0$ — Take 75 from both sides: −3 − 75 = −78.
5
$(2 x + 13) (x - 6) < 0$ — Factorise. Check: −12x + 13x = x, and 13 × (−6) = −78.
6
$x = - 6.5 or x = 6$ — The roots: 2x + 13 = 0 gives −6.5, and x − 6 = 0 gives 6.
7
$- 6.5 < x < 6$ — Less than 0, so between the roots. This is not the final answer yet.
8
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ — Check every side. A length cannot be negative or zero, so x − 1 > 0.
9
$2 x + 3 > 0 \Rightarrow x > - 1.5$ — The other side. Any x above 1 already makes this true, so it adds nothing.
10
$1 < x < 6$ — Keep only the part where every side is positive.

Common mistake

Stopping at −6.5 < x < 6. At x = 0 the side x − 1 would be −1, and a length cannot be negative.

9. Which Method? Read the Question

القاعدة العامة: الجذور أولًا، ثم انظر إلى علامة المتباينة. «أصغر من صفر» يعني الحل بين الجذرين، و«أكبر من صفر» يعني الحل خارجهما في جزأين بينهما «أو». إذا لم يكن أحد الطرفين صفرًا فأعد الترتيب أولًا. إذا كانت أمام مربع المجهول إشارة سالبة فاضرب في سالب واحد واقلب العلامة. إذا لم تتحلّل العبارة فاستخدم القانون العام. إذا طُلبت الأعداد الصحيحة فاكتب الأعداد الصحيحة داخل الحل. وفي أسئلة المساحة: افكّ الأقواس وحلّ ثم اشترط أن تكون كل الأضلاع موجبة. احتفظ بعلامة «أو تساوي» إن وُجدت في السؤال لأن الجذرين داخلان. واكتب الأقواس والجذور دائمًا، فالدرجات الأولى تُعطى على إيجاد الجذور حتى لو أخطأت في الإجابة النهائية.

Roots first, then the sign.

You see	You do
< 0 or ≤ 0	Between the roots
> 0 or ≥ 0	Outside: two parts with “or”
Not = 0	Rearrange first
A minus in front of x²	Multiply by −1 and flip the sign
It won't factorise	Formula for the roots
List the integers	Whole numbers inside the answer
A shape with an area	Expand, solve, every side positive
A linear inequality	See Linear Inequalities

Key idea

Keep ≤ or ≥ if the question has them: the roots are included.

Key idea

Write the brackets and the roots down. The first marks are for finding the roots, so they still count if the final answer slips.

تدرّب على المتباينات التربيعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتباينات التربيعية

1. Where Is the Curve Below Zero? (Higher)

2. Less Than: Between the Roots

3. Greater Than: Outside the Roots

4. Number Line and Whole Numbers

5. Rearrange It First

6. Negative x²: Flip It First

7. Won't Factorise? Use the Formula

8. From a Shape: Every Side Positive

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على المتباينات التربيعية

أسئلة امتحانات سابقة على المتباينات التربيعية، محلولة ومشروحة بالعربي