شرح المتباينات والبرمجة الخطية

Inequalities and Linear Programming

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Plans with limits

هذا الدرس عن المتباينات والبرمجة الخطية. تخيّل مخبزًا لديه كمية محدودة من الدقيق وعدد محدود من الساعات؛ كل قيد منها متباينة، وكل القيود معًا تحدد كل الخطط الممكنة فعلًا. والسؤال: أي خطة تعطي أكبر ربح؟ هذا ما يسمى البرمجة الخطية، وكلمة «برمجة» هنا تعني التخطيط لا كتابة الحاسوب. سنبدأ بحل متباينات في متغير واحد، ثم ننتقل إلى متباينات في السين والصاد: نرسم الخطوط ونظلّل منطقة، ونجد رؤوسها، ثم نختبر عبارة عند هذه الرؤوس، لأن الخطة الأفضل تقع دائمًا عند رأس من رؤوس المنطقة.

A bakery has only so much flour and so many hours. Each limit is an inequality. Together they mark out every plan the bakery can actually make. Which plan earns the most? That question is called linear programming.

Here, “programming” means planning, not computer code. The plan you want is always at a corner of the allowed region, and this lesson shows you why.

First: solve inequalities in one letter, x. These are the 4PM1 questions that end with “both”.
Then: inequalities in x and y. You draw lines, shade a region R, find its corners and test an expression P.

Key idea

Linear programming grew up in the 1930s and 1940s to plan factories and wartime supplies. Leonid Kantorovich, one of its founders, shared the 1975 Nobel Prize in Economics for this work.

2. Inequalities in x

المتباينة الخطية تُحل مثل المعادلة: نفعل الشيء نفسه بالطرفين، مع قاعدة إضافية واحدة: إذا ضربت أو قسمت الطرفين على عدد سالب فاقلب إشارة المتباينة. في المثال الأول نفكّ القوس، ونجمع حدود السين في طرف والأعداد في الآخر، ثم نقسم على عدد موجب فتبقى الإشارة. في المتباينة التربيعية اجمع كل الحدود في طرف ليصبح الطرف الآخر صفرًا، ثم حلّل لتجد القيمتين الحرجتين. إذا كان معامل المربع موجبًا: «أصغر من صفر» تعني بين القيمتين، و«أكبر من صفر» تعني خارجهما في جزأين. وعبارة «كلتاهما» تعني منطقة التداخل؛ ارسم الحلّين على خط أعداد واحد وخذ الجزء المشترك.

A linear inequality is solved like an equation. Do the same thing to both sides, with one extra rule.

Rule

If you multiply or divide both sides by a negative number, flip the inequality sign. For example, $- 2 x < 6$ gives $x > - 3$ .

Worked example

1
Find the set of values of x for which $3 (x - 2) < x + 4$ .
2
$3 x - 6 < x + 4$ — Expand the bracket.
3
$2 x < 10$ — Take x from both sides and add 6.
4
$x < 5$ — Divide by 2. It is positive, so the sign stays.

For a quadratic inequality, collect everything on one side first, so the other side is 0. The $x^{2}$ terms may be on both sides.

Worked example

1
Find the set of values of x for which $4 x^{2} - 5 x + 3 < x^{2} + 2 x + 1$ .
2
$3 x^{2} - 7 x + 2 < 0$ — Move every term to the left.
3
$(3 x - 1) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}, 2$ — The critical values.
4
$\frac{1}{3} < x < 2$ — The parabola $3 x^{2} - 7 x + 2$ is below 0 between its roots.

Rule

When the x² number is positive: less than 0 gives one piece, between the critical values; greater than 0 gives two pieces, outside them, like $x < \frac{1}{3}$ or $x > 2$ .

Worked example

1
Find the values of x for which both $2 (x + 1) > 5 - x$ and $3 x^{2} - 7 x + 2 < 0$ .
2
$3 x > 3 \Rightarrow x > 1$ — Solve the linear one: $2 x + 2 > 5 - x$ .
3
$\frac{1}{3} < x < 2$ — The quadratic one, from before.
4
$1 < x < 2$ — “Both” means the overlap. Draw both on a number line and keep the part covered twice.

Common mistake

Dividing by a negative and keeping the sign. $- 4 x > 8$ gives $x < - 2$ .

Key idea

For “both”, draw the two answers on one number line. The answer is only where they overlap.

3. Draw and shade R

الآن في المتباينات السين والصاد معًا. كل متباينة خط على الرسم، ومنطقة الحل في جهة منه، والمنطقة التي تتحقق فيها كل المتباينات تسمى المنطقة المطلوبة. الطريقة: ارسم كل خط بنقطتين سريعتين، مرة بجعل السين صفرًا ومرة بجعل الصاد صفرًا. استخدم خطًا متصلًا إذا كانت المتباينة تشمل المساواة، وخطًا متقطعًا إذا لم تشملها. ثم اختر نقطة اختبار ليست على الخط، غالبًا نقطة الأصل، وعوّضها: إن تحققت المتباينة فالمنطقة في جهة النقطة، وإلا ففي الجهة الأخرى. ظلّل وسمِّ المنطقة. الخطأ الشائع: عند جعل السين صفرًا نسيان القسمة على معامل الصاد، فيُرسم الخط من نقطة خاطئة.

Now the inequalities have x and y. Each one is a line on the graph, with the allowed side shaded. The region where all of them are true is called R.

Steps

1
1. Draw each line. Two quick points: put $x = 0$ , then put $y = 0$ .
2. Use a solid line for $\leq$ or $\geq$ , and a dashed line for $<$ or $>$ .
3. Pick a test point not on the line, usually (0, 0). Put it into the inequality.
4. If it is true, R is on the side of the test point. If it is false, R is on the other side.
5. Shade, and label the region R.

Worked example

1
Show the region R where $y \leq x + 2$ , $x + 2 y \leq 10$ and $y \geq 1$ .
2
$y = x + 2 : (0, 2), (- 2, 0)$ — Two points for the first line.
3
$x + 2 y = 10 : (0, 5), (10, 0)$ — Put x = 0: 2y = 10. Put y = 0: x = 10.
4
$y = 1$ — A horizontal line through (0, 1).
5
$0 \leq 2, 0 \leq 10$ — Put (0, 0) into the first two. Both are true, so R is on the origin side of these two lines.
6
$0 \geq 1 is false$ — (0, 0) fails here, so R is above the line y = 1.
7
$R: a triangle$ — The three lines close off a triangle. Label it R.

Rule

4PM1 accepts shading the region you want or the parts you do not want. Either way, R must be one closed region and clearly labelled.

Common mistake

Plotting $x + 2 y = 10$ through (0, 10). With $x = 0$ , you get $2 y = 10$ , so $y = 5$ .

Key idea

Every line splits the page in two. One test point tells you which half you keep.

4. Corners of R

رؤوس المنطقة هي زواياها، وكل رأس نقطة يلتقي فيها خطّان من حدود المنطقة. يمكن قراءتها من رسم دقيق، لكن حلّ المعادلتين أضمن. في المثال: نأخذ كل خطّين يلتقيان عند زاوية من المثلث ونحلّهما معًا؛ إذا كان أحدهما خطًا أفقيًا فعوّض قيمة الصاد مباشرة في الآخر، وإذا كانت الصاد في أحدهما بدلالة السين فعوّضها في الآخر. ثم اكتب كل رأس على صورة إحداثيين. الخطأ الشائع: استخدام نقطة تقاطع بين خطّين لا تقع على حافة المنطقة، فهي ليست رأسًا. فقط النقاط التي يلتقي فيها خطّان على حدود المنطقة تُحسب.

The corners of R are called vertices. Each one is where two boundary lines meet. You can read them from an accurate graph, but solving the equations is safer.

Worked example

1
Find the vertices of the triangle R from before.
2
$y = x + 2, y = 1 \Rightarrow x = - 1$ — Put y = 1 into the first line. Vertex (−1, 1).
3
$x + 2 (x + 2) = 10$ — Substitute $y = x + 2$ into $x + 2 y = 10$ .
4
$3 x + 4 = 10 \Rightarrow x = 2, y = 4$ — Vertex (2, 4).
5
$x + 2 (1) = 10 \Rightarrow x = 8$ — Put y = 1 into $x + 2 y = 10$ . Vertex (8, 1).

Common mistake

Using a crossing point that is not a corner of R. Only points where two lines meet on the edge of R count.

Key idea

Vertices come from simultaneous equations: two lines, one point. Write each one as coordinates.

5. Greatest and least values

يعطيك السؤال عبارة ويطلب أكبر قيمة لها أو أصغر قيمة عند نقاط المنطقة. لماذا يكون الجواب عند رأس؟ كل قيمة للعبارة تمثّل خطًا مستقيمًا، وكل هذه الخطوط متوازية؛ وكلما كبرت القيمة انزلق الخط عبر الصفحة، وآخر نقطة يلمسها من المنطقة تكون دائمًا زاوية. الطريقة: أوجد كل رؤوس المنطقة، واحسب قيمة العبارة عند كل رأس، فالأكبر هو القيمة العظمى والأصغر هو القيمة الصغرى. وهناك طريقة ثانية بتحريك خط موازٍ عبر المنطقة، لكن اختبار الرؤوس أسرع وأضمن. الخطأ الشائع: اختبار رأس أو رأسين فقط، أو كتابة النقطة بدل قيمة العبارة.

The question gives an expression such as $P = x + 3 y$ and asks for its greatest or least value for points in R. Here is why the answer is at a vertex.

Each value of P is a straight line, like $x + 3 y = 6$ or $x + 3 y = 9$ . All these lines are parallel. As P grows, the line slides across the page. The last point of R it touches is always a corner.

Steps

1
1. Find every vertex of R.
2. Work out P at each vertex.
3. The biggest result is the greatest value. The smallest is the least value.

Worked example

1
For points in R, find the greatest value of $P = x + 3 y$ .
2
$(- 1, 1) : P = - 1 + 3 = 2$ — Put the first vertex into P.
3
$(2, 4) : P = 2 + 12 = 14$ — The second vertex.
4
$(8, 1) : P = 8 + 3 = 11$ — The third vertex.
5
$P_{m a x} = 14$ — The greatest value is 14, at (2, 4).

Worked example

1
For points in R, find the least value of $Q = 3 x - y$ .
2
$Q = - 4, 2, 23$ — At (−1, 1), (2, 4) and (8, 1).
3
$Q_{m i n} = - 4$ — The least value is −4, at (−1, 1).

Rule

A second method is the objective line: draw a line $x + 3 y = k$ and slide it parallel across R. Testing every vertex is quicker and safer, and the mark scheme accepts both.

Common mistake

Testing only one or two vertices, or giving the point instead of the value. Test them all, then write the value of P.

Key idea

Corners only. Put each vertex into P, then pick the largest or smallest.

6. Which step? Read the question

هذه الأسئلة تتبع النمط نفسه كل سنة، فاقرأ كل جزء واختر أداته. متباينة خطية في السين: حلّها كمعادلة واقلب الإشارة إذا قسمت على سالب. متباينة تربيعية: اجمع في طرف، أوجد القيمتين الحرجتين، وارسم القطع المكافئ. عبارة «كلتاهما»: ارسم الحلّين على خط أعداد وخذ التداخل. «ارسم الخط»: نقطتان بجعل السين صفرًا ثم الصاد صفرًا. «بيّن بالتظليل المنطقة»: اختبر نقطة الأصل لكل خط ثم ظلّل وسمِّ المنطقة. «أوجد أكبر أو أصغر قيمة»: أوجد كل الرؤوس وعوّض في العبارة وقارن. الخطأ الشائع: إعطاء القيمة العظمى والسؤال يطلب الصغرى، فاقرأ جيدًا.

These questions follow the same pattern every year. Read each part and use the right tool.

You see	You do
A linear inequality in x	Solve like an equation; flip the sign if you divide by a negative
A quadratic inequality	Collect to one side, find the critical values, sketch the parabola
“Both … and …”	Draw both on a number line; keep the overlap
“Draw the line with equation …”	Two points: put x = 0, then y = 0
“Show, by shading, the region R”	Test (0, 0) for each line, shade, label R
“Find the greatest (or least) value of P”	Find every vertex, put each into P, compare

Common mistake

Answering “least” with the greatest value. Read which one the question asks for.

Key idea

Inequalities give the region. The region gives the corners. The corners give the answer.

تدرّب على المتباينات والبرمجة الخطية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتباينات والبرمجة الخطية

1. Plans with limits

2. Inequalities in x

3. Draw and shade R

4. Corners of R

5. Greatest and least values

6. Which step? Read the question

تدرّب على المتباينات والبرمجة الخطية

أسئلة امتحانات سابقة على المتباينات والبرمجة الخطية، محلولة ومشروحة بالعربي