شرح إيجاد المناطق من المتباينات المتعددة

Finding Regions from Multiple Inequalities

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Region Is

كل متباينة في مجهولين تكون صحيحة في جهة واحدة من خطها. والمنطقة المطلوبة هي المكان الذي تكون فيه كل المتباينات صحيحة في الوقت نفسه. القاعدة: الخط المتصل يعني أن الخط نفسه داخل المنطقة، ويكون مع «أصغر من أو يساوي» و«أكبر من أو يساوي». والخط المتقطع يعني أنه غير داخل، ويكون مع «أصغر من» و«أكبر من». معظم الأسئلة ترسم المنطقة وتطلب متبايناتها، وبعضها يعطي المتباينات ويطلب تظليل المنطقة.

Each inequality like $y \leq 2 x + 4$ is true on one side of its line. The region R is where every inequality is true at once.

Rule

A solid line means the line is included ( $\leq$ or $\geq$ ). A dashed line means it is not ( $<$ or $>$ ).

Key idea

Most questions show R and ask for its inequalities. Some give the inequalities and ask you to shade R.

2. Which Side? Test a Point

لمعرفة الجهة المطلوبة من الخط، عوّض بنقطة سهلة في المتباينة، وأسهلها نقطة الأصل إذا لم تكن على الخط. احسب الطرفين، فإذا كانت العبارة صحيحة فالنقطة في الجهة المطلوبة، وإذا كانت خاطئة فالمطلوب الجهة الأخرى. الخطأ الشائع: اختبار نقطة على الخط، فهي تجعل الطرفين متساويين ولا تخبرك بشيء.

To find which side of a line you want, put in an easy point. (0, 0) is easiest, if it is not on the line.

Worked example

1
$y \leq 2 x + 4$ — The inequality. Its line is y = 2x + 4, and we need to know which side of it to keep.
2
$0 \leq 2 (0) + 4$ — Put in x = 0 and y = 0. (0, 0) is not on the line, so it sits clearly on one side.
3
$0 \leq 4$ — Work out the right side: 2 × 0 + 4 = 4.
4
$true ✓$ — The statement is true, so (0, 0) is on the side you want. If it were false, you would want the other side.

Common mistake

Testing a point that is on the line. It makes both sides equal, so it tells you nothing.

3. Writing the Inequalities for R

هنا ترى المنطقة مرسومة والمطلوب كتابة متبايناتها، ولكل متباينة صحيحة درجة. أولًا اكتب معادلة كل خط من الخطوط الحدودية، فكل جواب هو إحدى هذه المعادلات مع استبدال المساواة بإشارة متباينة. ثم اختر نقطة داخل المنطقة وليست على أي خط، فهي تحدد لك كل الإشارات: عوّض بها في طرفي كل معادلة وقارن، فإذا كان الطرف الأيسر أكبر فالمنطقة حيث المجهول أكبر، والعكس. بعدها انظر إلى الخط: إذا كان متصلًا فاستخدم إشارة فيها مساواة، وإذا كان متقطعًا فاستخدم الإشارة دون مساواة. الجواب ثلاث متباينات، واحدة لكل خط.

The 3-mark question. Name each line, then use a point inside R to pick each sign. One mark for each correct inequality.

Worked example

1
$x = - 1, y = 3, y = x - 2$ — Name the three boundary lines first. Each answer is one of these with = swapped for a sign.
2
$(0, 0) is inside R$ — Pick a point inside R, not on any line. It will tell you every sign.
3
$0 \geq - 1 \Rightarrow x \geq - 1$ — For x = −1: 0 is bigger than −1, so R is where x is bigger. The line is solid, so use ≥, not >.
4
$0 < 3 \Rightarrow y < 3$ — For y = 3: 0 is smaller than 3. This line is dashed, so use < because points on it are not in R.
5
$0 vs 0 - 2 = - 2$ — For y = x − 2: put the point into both sides. The right side is 0 − 2 = −2.
6
$0 \geq - 2 \Rightarrow y \geq x - 2$ — 0 is bigger than −2, so R is where y is bigger. Solid line, so ≥.
7
$x \geq - 1, y < 3, y \geq x - 2$ — The answer: three inequalities, one for each line.

4. When a Line Is Not Given

غالبًا لا تُطبع إلا معادلة خط واحد، وعليك إيجاد معادلات الخطوط الأخرى من الشبكة باستخدام الميل والجزء المقطوع من محور الصادات. اقرأ نقطتين يمر بهما الخط تمامًا عند تقاطعات الشبكة. الميل يساوي التغيّر في الصادات مقسومًا على التغيّر في السينات، والخط النازل من اليسار إلى اليمين ميله سالب. الجزء المقطوع هو المكان الذي يقطع فيه الخط محور الصادات. ضع الميل والجزء المقطوع في الصورة المعروفة لمعادلة المستقيم، ثم اختر الإشارة بنقطة اختبار داخل المنطقة ونوع الخط. الخط الرأسي معادلته «السينات تساوي عددًا» والأفقي «الصادات تساوي عددًا». واكتب الخط دائمًا لأن عليه درجة حتى لو أخطأت الإشارة.

Often only one equation is printed. Find the others from the grid: gradient and y-intercept.

Worked example

1
$(0, 5) and (2, 1)$ — Read two points where the line crosses grid corners exactly. Exact points give an exact gradient.
2
$m = \frac{1 - 5}{2 - 0}$ — Gradient = change in y ÷ change in x, going from the first point to the second.
3
$m = \frac{- 4}{2} = - 2$ — Going right 2 drops 4. A line that slopes down from left to right always has a negative gradient.
4
$c = 5$ — It crosses the y-axis at (0, 5), so the y-intercept is 5.
5
$y = - 2 x + 5$ — Put m and c into y = mx + c. This is the missing line.
6
$0 \leq - 2 (0) + 5$ — Now pick the sign. (0, 0) is inside R, so test it: the right side is 5.
7
$y \leq - 2 x + 5$ — 0 ≤ 5 is true and the line is solid, so ≤. The form 2x + y ≤ 5 means the same and also scores.

Key idea

Vertical lines are x = a number. Horizontal lines are y = a number. Many questions give a method mark for the right line even if the sign is wrong, so always write the line.

5. Between Two Parallel Lines

إذا كانت المنطقة بين خطين متوازيين، يمكنك كتابة الحقيقتين في متباينة مزدوجة واحدة. في المثال المنطقة مستطيل بين خطين رأسيين وخطين أفقيين. حدّد لكل خط: هل المنطقة يمينه أم يساره، فوقه أم تحته، وهل هو متصل فتستخدم إشارة فيها مساواة، أم متقطع فتستخدم إشارة دونها. ثم اجمع الحقيقتين عن السينات في متباينة واحدة يكون المجهول فيها بين العددين، وافعل الشيء نفسه للصادات. وكتابة المتباينات الأربع منفصلة تأخذ الدرجة كاملة أيضًا. الخطأ الشائع: عكس ترتيب العددين؛ العدد الأصغر يُكتب دائمًا على اليسار.

When R sits between two parallel lines, you can write both facts as one double inequality.

Worked example

1
$x = - 2, x = 3, y = 0, y = 4$ — Four lines: two vertical, two horizontal. R is the rectangle between them.
2
$- 2 \leq x$ — R is to the right of the solid line x = −2, so x is at least −2.
3
$x < 3$ — R is to the left of x = 3. That line is dashed, so x stays below 3 and never equals it.
4
$- 2 \leq x < 3$ — Join the two facts about x. x sits between the two vertical lines.
5
$0 \leq y \leq 4$ — Do the same for y: above y = 0 and below y = 4. Both lines are solid, so both signs are ≤.

Key idea

Writing the four inequalities separately (x ≥ −2, x < 3, y ≥ 0, y ≤ 4) also scores full marks.

Common mistake

Putting the numbers the wrong way round, like 3 < x ≤ −2. No number is above 3 and below −2 at once. The smaller number goes on the left.

6. Shading R from the Inequalities

هذا هو السؤال العكسي: ارسم كل خط، ثم أوجد الجزء الذي يحقق المتباينات كلها، واكتب رمز المنطقة فيه. لكل متباينة استبدل الإشارة بالمساواة لتحصل على الخط، وارسمه متقطعًا إذا لم يكن فيه مساواة، ومتصلًا إذا كان فيه مساواة. للخط المائل أوجد نقطتي تقاطعه مع المحورين بتعويض الصفر مكان كل مجهول، ثم صِلهما بالمسطرة. استخدم نقطة الأصل لاختبار الخط المائل، وحدّد لكل خط الجهة المطلوبة وظلّل الجهة الأخرى. اقرأ كلمات التظليل: أسئلة كامبريدج تطلب تظليل ما لا تريده فتبقى المنطقة فارغة، وأسئلة إدكسل تطلب تظليل المنطقة نفسها. كل خط صحيح له درجة وحده، ولا تنسَ كتابة رمز المنطقة.

The reverse question: draw each line, then find the part that fits them all. Label it R.

Worked example

1
$x > 1, y \geq 1, x + 2 y \leq 9$ — The question. Three inequalities, so three lines to draw.
2
$x = 1 (dashed)$ — Swap > for = to get the line: vertical, through 1 on the x-axis. Dashed, because > does not include the line.
3
$y = 1 (solid)$ — Horizontal, through 1 on the y-axis. Solid, because ≥ includes the line.
4
$x = 0 : 2 y = 9, y = 4.5$ — For x + 2y = 9, find where it meets the y-axis: put x = 0, then divide by 2.
5
$y = 0 : x = 9$ — Put y = 0 to find where it meets the x-axis. Join (0, 4.5) to (9, 0) with a ruler: solid, because ≤.
6
$0 + 2 (0) = 0 \leq 9$ — Test (0, 0) in the sloping one: true, so keep the side with the origin and shade away the other side.
7
$shade x \leq 1 and y < 1$ — x > 1 keeps the right of x = 1, so shade its left. y ≥ 1 keeps above y = 1, so shade below.
8
$(1, 1), (1, 4), (7, 1)$ — The clear triangle with these corners is R. Write R inside it.

Rule

Read the shading words. “By shading the unwanted regions” (Cambridge): shade what you do NOT want, so R stays clear. “Show by shading the region” (Edexcel): shade R itself.

Key idea

Each correct line earns a mark on its own, even if your region is wrong. Use a ruler, and get solid or dashed right for every line.

Common mistake

Forgetting the label. Write R inside the region, or you lose the mark.

7. Whole-Number Points in R

بعض الأسئلة تطلب كل النقاط داخل المنطقة التي إحداثياتها أعداد صحيحة. امشِ عمودًا عمودًا حتى لا تنسى أي نقطة. ابدأ بأصغر قيمة مسموحة للسينات، وعوّض بها في المتباينة المائلة لتعرف أكبر قيمة ممكنة للصادات، ثم اكتب كل القيم الصحيحة المسموحة. انتقل إلى القيمة التالية للسينات وكرّر، وتوقف عندما لا تبقى أي قيمة صحيحة. الخطأ الشائع: عدّ النقاط التي تقع على خط متقطع، فهي ليست داخل المنطقة، أما النقاط على الخط المتصل فهي داخلها.

Some questions ask for the points in R whose coordinates are whole numbers. Go column by column so you miss none.

Worked example

1
$x \geq 1, y \geq 1, x + y < 5$ — The region. List every point (x, y) in R where x and y are whole numbers.
2
$x = 1 : 1 + y < 5$ — Start with the smallest x allowed, x = 1, and put it into x + y < 5.
3
$y < 4 \Rightarrow y = 1, 2, 3$ — Take 1 from both sides. y must be a whole number, at least 1 and below 4.
4
$x = 2 : y < 3 \Rightarrow y = 1, 2$ — Next column. 2 + y < 5, so y < 3.
5
$x = 3 : y < 2 \Rightarrow y = 1$ — Next column. 3 + y < 5, so y < 2. Only y = 1 works.
6
$x = 4 : y < 1$ — No whole number is at least 1 and below 1, so this column is empty. Stop here.
7
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$ — Six points. (1, 4) is not one of them: it is on the dashed line x + y = 5, which is not in R.

Common mistake

Counting points on a dashed line. They are not in R. Points on a solid line are in R.

8. Which Method? Read the Question

اكتب معادلات الخطوط أولًا، ثم اختر إشارة كل متباينة. إذا طُلب «اكتب المتباينات» فسمِّ كل خط واختبر نقطة من داخل المنطقة. إذا لم تُعطَ معادلة خط فأوجد الميل والجزء المقطوع من الشبكة. «وضّح بالتظليل» يعني ارسم كل الخطوط وظلّل المنطقة واكتب رمزها، أما «ظلّل المناطق غير المطلوبة» فيعني تظليل ما لا تريده وترك المنطقة فارغة. إذا كانت المنطقة بين خطين متوازيين فاكتب متباينة مزدوجة والعدد الأصغر على اليسار. للنقاط ذات الإحداثيات الصحيحة امشِ عمودًا عمودًا، والنقاط على الخط المتقطع خارج المنطقة. الخط المتصل للإشارات التي فيها مساواة والمتقطع لغيرها. وتحقق بأحد رؤوس المنطقة في كل متباينة.

Name the lines first, then pick each sign.

You see	You do
“Write down the inequalities”	Name each line, test a point inside
A line with no equation	Find m and c from the grid
“Show by shading”	Draw all lines, shade, label R
“Shade the unwanted regions”	Shade what you do not want; R stays clear
R between two parallel lines	One double inequality, smaller number on the left
“Points with integer coordinates”	Go column by column; dashed-line points are out
Solid or dashed	≤ / ≥ or < / >
One inequality on a number line	See Linear Inequalities

Key idea

Check a corner of R in every inequality. It should make each one true.

تدرّب على إيجاد المناطق من المتباينات المتعددة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إيجاد المناطق من المتباينات المتعددة

1. What a Region Is

2. Which Side? Test a Point

3. Writing the Inequalities for R

4. When a Line Is Not Given

5. Between Two Parallel Lines

6. Shading R from the Inequalities

7. Whole-Number Points in R

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على إيجاد المناطق من المتباينات المتعددة

أسئلة امتحانات سابقة على إيجاد المناطق من المتباينات المتعددة، محلولة ومشروحة بالعربي