شرح المتتابعات الخطية والفرق المشترك

Linear Sequences and Common Difference

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Linear Sequence Is

المتتابعة قائمة أعداد تتبع قاعدة. في المتتابعة الخطية نضيف العدد نفسه، أو نطرحه، في كل مرة، وهذا العدد اسمه الفرق المشترك. هناك نوعان من القواعد: قاعدة الانتقال من حد إلى الحد الذي يليه، والحد العام الذي يعطيك أي حد مباشرة من رتبته. ابدأ دائمًا بإيجاد الفرق، فكل الأسئلة تقريبًا في هذا الموضوع تبدأ منه.

A sequence is a list of numbers that follows a rule. In a linear sequence you add (or take away) the same number every time.

Example

$3, 8, 13, 18, \dots$ : add 5 each time. The 5 is the common difference.

Rule

The rule from one term to the next is the term-to-term rule. The rule that gives any term from its position n is the nth term.

Key idea

Always find the difference first. Almost every question here starts with it.

2. The Next Term, and Why

الأسئلة القصيرة تطلب الحد التالي، ثم كيف وجدته، والشرح نفسه له درجة. اطرح كل حد من الحد الذي بعده لتجد الفرق، وتأكد أن كل الفروق متساوية، ثم أضف الفرق إلى آخر حد. في الشرح اكتب ماذا تفعل بكل حد وبأي مقدار، مثل «أضف هذا العدد إلى الحد السابق»، ولا تكتفِ بقول «تزيد» أو «الفرق كذا». انتبه للمتتابعة المتناقصة: الفرق فيها سالب، فتطرح من آخر حد.

The 1-mark questions ask for the next term, then how you found it. The explanation is a mark too.

Worked example

1
$6, 13, 20, 27$ — The question: find the next term. Start by looking at how each term changes to the next.
2
$13 - 6 = 7$ — Take each term from the one after it. The gap is 7.
3
$20 - 13 = 7, 27 - 20 = 7$ — Check the other gaps. They are all 7, so the rule is “add 7”.
4
$27 + 7 = 34$ — Add 7 to the last term. The next term is 34.

Write this

“Add 7 to the previous term.”

Not this

“It goes up” or “the difference is 7”. Say what you do to each term, and by how much.

Common mistake

Missing a decreasing sequence. In 50, 43, 36, 29 the difference is −7, so the next term is 29 − 7 = 22.

3. Finding the nth Term

إيجاد الحد العام سؤال بدرجتين، وطريقته خطوتان: الفرق ثم التعديل. أوجد الفرق المشترك وضعه أمام الرمز، لأنه عندما تزيد الرتبة واحدًا يزيد هذا الجزء بمقدار الفرق مثل المتتابعة تمامًا. ثم اكتب قيم هذا الجزء تحت حدود المتتابعة وقارن: كم يزيد أو ينقص كل حد عنه؟ أضف هذا المقدار أو اطرحه، ثم تحقق برتبة صغيرة. المتتابعة المتناقصة بالطريقة نفسها مع فرق سالب. اكتب دائمًا جزء الفرق مضروبًا في الرتبة، فهو يأخذ درجة حتى لو أخطأت في العدد بعده. ولا تكتب أن الرمز يساوي القاعدة؛ اكتب أن الحد العام يساوي القاعدة.

“Find an expression for the nth term” is worth 2 marks. Two steps: the difference, then the adjustment.

Worked example

1
$3, 8, 13, 18$ — The question: find the nth term. Find the gap first, like the last card.
2
$difference = 5$ — 8 − 3 = 5, and every gap is 5.
3
$5 n$ — The difference goes in front of n. Why? When n goes up by 1, 5n goes up by 5, just like the sequence.
4
$5 n : 5, 10, 15, 20$ — Write out 5n for n = 1, 2, 3, 4, under the sequence.
5
$3 - 5 = - 2$ — Compare the two rows: each term is 2 less than the 5n above it.
6
$nth term = 5 n - 2$ — So take 2 away from 5n.
7
$5 \times 2 - 2 = 8$ — Check with n = 2. You get 8, the 2nd term, so the answer is right.

Example

Going down works the same way. For $40, 34, 28, 22$ the difference is −6, so start with −6n. For n = 1 that gives −6, and $40 - (- 6) = 46$ . So the nth term is $46 - 6 n$ .

Key idea

Always write the difference × n part. If the number after it is wrong, an answer like 5n + 3 still earns 1 of the 2 marks.

Common mistake

Writing “n = 5n − 2”. That says something else. Write “nth term = 5n − 2”, or just 5n − 2.

4. Shortcut: a + (n − 1)d

كتب كثيرة تعطي قانونًا واحدًا للحد العام: الحد الأول زائد الرتبة ناقص واحد مضروبة في الفرق المشترك، ويعطي الجواب نفسه للطريقة السابقة، فاستخدم ما يريحك. نطرح واحدًا لأن عدد الفجوات من الحد الأول إلى أي حد أقل من رتبته بواحد. الطريقة: اقرأ الحد الأول والفرق، وعوّض في القانون، ثم فك القوس واجمع الأعداد، وتحقق بالحد الأول. إذا كانت المتتابعة متناقصة فالفرق سالب، فضعه بين قوسين، وتذكر أن سالب في سالب يعطي موجبًا عند فك القوس. الخطأ الشائع استخدام الرتبة بدل الرتبة ناقص واحد.

Many textbooks print one formula for the nth term. It gives the same answer as the last card, so use whichever you prefer.

Formula

nth term = a + (n - 1) d

$a$ is the first term. $d$ is the common difference, with its sign (negative if the sequence goes down). $n$ is the position. It is $(n - 1)$ because from the 1st term to the nth term there are n − 1 gaps.

Worked example

1
$9, 13, 17, 21$ — The question: find the nth term.
2
$a = 9, d = 4$ — The first term is 9, and 13 − 9 = 4.
3
$9 + (n - 1) \times 4$ — Put a and d into the formula.
4
$9 + 4 n - 4$ — Expand the bracket: 4 × n = 4n and 4 × (−1) = −4.
5
$4 n + 5$ — Collect the numbers: 9 − 4 = 5.
6
$4 \times 1 + 5 = 9$ — Check with n = 1. You get 9, the first term.

Going down. Keep the minus on d and put it in a bracket.

Worked example

1
$50, 47, 44, 41$ — The question: find the nth term.
2
$a = 50, d = - 3$ — It goes down by 3, so d = −3.
3
$50 + (n - 1) \times (- 3)$ — Put a and d in. The bracket keeps the minus safe.
4
$50 - 3 n + 3$ — Expand: (−3) × n = −3n and (−3) × (−1) = +3, because minus times minus is plus.
5
$53 - 3 n$ — Collect the numbers: 50 + 3 = 53. Check n = 1: 53 − 3 = 50.

Common mistake

Using n instead of n − 1. 9 + 4n gives 13 for the 1st term, not 9.

5. Using the nth Term

بعد أن تعرف الحد العام تستطيع إيجاد أي حد، واختبار هل عدد ما من حدود المتتابعة. لإيجاد حد عوّض برتبته في القاعدة، واضرب أولًا ثم اطرح. لاختبار عدد اجعل الحد العام يساوي هذا العدد وحل المعادلة: إذا خرجت الرتبة عددًا صحيحًا فهو حد، وإذا خرجت كسرًا عشريًا فليس حدًا. وأحيانًا يكون السبب أسرع: آخر رقم في الحدود يتكرر بنمط ثابت، أو كل الحدود زوجية. ولإيجاد أول حد أكبر من عدد معين اكتب متباينة وحلها، ثم خذ العدد الصحيح الذي يليها لأن التقريب للأسفل يعطي حدًا أصغر من المطلوب، وتحقق بالتعويض.

Once you have the nth term, you can find any term, and test whether a number is in the sequence. Here the nth term is $5 n - 2$ .

Worked example

1
$5 \times 1 - 2 = 3$ — The 1st term: put n = 1. Multiply first, then take 2.
2
$5 \times 2 - 2 = 8, 5 \times 3 - 2 = 13$ — Do the same with n = 2 and n = 3. The first three terms are 3, 8, 13.
3
$5 \times 20 - 2 = 98$ — The 20th term: put n = 20. 5 × 20 = 100, then 100 − 2 = 98.

Is 123 in the sequence?

Worked example

1
$5 n - 2 = 123$ — Set the nth term equal to the number. If n comes out whole, 123 is a term.
2
$5 n = 125$ — Add 2 to both sides.
3
$n = 25$ — Divide both sides by 5. 25 is a whole number, so yes: 123 is the 25th term.
4
$5 n - 2 = 150$ — Now test 150 the same way.
5
$5 n = 152$ — Add 2 to both sides.
6
$n = 30.4$ — Divide by 5. There is no 30.4th term, so 150 is not in the sequence.

Key idea

“Explain why 150 cannot be a term” has a quicker reason too. The terms 3, 8, 13, 18, … always end in 3 or 8, and 150 ends in 0. In 2, 8, 14, 20, … every term is even, so an odd number can never appear. Either reason earns the mark.

The first term greater than 100

Worked example

1
$5 n - 2 > 100$ — Write it as an inequality: the term must be more than 100.
2
$5 n > 102$ — Add 2 to both sides.
3
$n > 20.4$ — Divide both sides by 5.
4
$n = 21$ — n must be a whole number, so take the next one up: 21. Rounding down to 20 would be too small.
5
$5 \times 21 - 2 = 103$ — Put n = 21 back in. Check: n = 20 gives 98, which is not more than 100. So the answer is 103.

6. From Two Terms You Know

بعض الأسئلة تعطيك حدين من وسط المتتابعة بدل بدايتها. عُدّ الخطوات بينهما بطرح رتبة الأول من رتبة الثاني، ثم أوجد كم زادت القيمة بينهما، واقسم الزيادة على عدد الخطوات لتحصل على الفرق المشترك. بعد ذلك ارجع خطوة خطوة بطرح الفرق حتى تصل إلى الحد الأول، ثم اكتب الحد العام. الخطأ الشائع القسمة على رتبة الحد الأخير بدل عدد الفجوات بين الحدين. والفكرة نفسها لحد بعيد: من حد معلوم أضف الفرق مرة لكل خطوة للأمام، أو اطرحه مرة لكل خطوة للخلف.

Some questions give two terms, not the start of the sequence. Count the steps between them, then share out the gap.

Worked example

1
$3rd term = 11, 7th term = 31$ — The question: find the difference and the first term.
2
$7 - 3 = 4 steps$ — From the 3rd term to the 7th term you add the difference 4 times.
3
$31 - 11 = 20$ — Over those 4 steps the terms grew by 20.
4
$d = 20 \div 4 = 5$ — Every step is the same size, so share the 20 equally. The difference is 5.
5
$2nd term = 11 - 5 = 6$ — Go back one step from the 3rd term: take 5 away.
6
$1st term = 6 - 5 = 1$ — Back one more step. The first term is 1.
7
$1, 6, 11, 16, 21, 26, 31$ — Check: the 3rd term is 11 and the 7th is 31. Now the nth term is 5n − 4.

Common mistake

Dividing 20 by 7. Count the gaps between the two terms (7 − 3 = 4), not the position of the last one.

A term far along. The 25th term of 5, 12, 19, … is 173. Find the 27th term.

Worked example

1
$d = 12 - 5 = 7$ — Find the difference from the terms you are given.
2
$27 - 25 = 2 steps$ — The 27th term is 2 steps after the 25th.
3
$173 + 2 \times 7 = 187$ — Add the difference once for each step. The 27th term is 187.
4
$173 - 2 \times 7 = 159$ — Going back works too: the 23rd term is 2 steps before, so take 7 off twice.

7. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة: أوجد الفرق أولًا ثم اقرأ المطلوب. للحد التالي أضف الفرق إلى آخر حد. للشرح اذكر القاعدة مع عددها. للحد العام اضرب الفرق في الرتبة ثم عدّل، أو استخدم قانون الحد الأول زائد الرتبة ناقص واحد في الفرق. لحد معين عوّض برتبته في الحد العام. لمعرفة هل عدد من الحدود اجعل الحد العام يساويه، فإذا كانت الرتبة عددًا صحيحًا فالجواب نعم. لأول ثلاثة حدود عوّض بالرتب الثلاث الأولى. لشرح لماذا لا يكون عدد حدًا استخدم أن الرتبة ليست صحيحة، أو نمط الزوجي والفردي أو آخر رقم. إذا أُعطي حدان فاقسم الفرق بينهما على عدد الخطوات. وتحقق من الحد العام بالتعويض بالرتبتين الأولى والثانية.

Find the difference first, then read what is asked.

You see	You do
“Next term”	Add the difference to the last term
“Explain”	Say the rule with its number: add 7
“nth term”	Difference × n, then adjust, or a + (n − 1)d
“The 20th term”	Put n = 20 into the nth term
“Is 123 in it?”	Set nth term = 123; whole n means yes
“First three terms”	Put n = 1, 2, 3 into the nth term
“Explain why 150 is not in it”	n is not whole, or an odd/even or last-digit pattern
Two terms given, e.g. 3rd and 7th	Gap ÷ number of steps = difference
“The sum of …”	See Sum of an Arithmetic Series

Key idea

Check an nth term by putting in n = 1 and n = 2. You should get the first two terms.

تدرّب على المتتابعات الخطية والفرق المشترك

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتتابعات الخطية والفرق المشترك

1. What a Linear Sequence Is

2. The Next Term, and Why

3. Finding the nth Term

4. Shortcut: a + (n − 1)d

5. Using the nth Term

6. From Two Terms You Know

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على المتتابعات الخطية والفرق المشترك

أسئلة امتحانات سابقة على المتتابعات الخطية والفرق المشترك، محلولة ومشروحة بالعربي