شرح مجموع المتتابعة الحسابية

Sum of an Arithmetic Series

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Series Is (Higher)

المتسلسلة هي ما نحصل عليه عندما نجمع حدود المتتابعة. وكلمة «حسابية» تعني أن الحدود تزيد بالمقدار نفسه في كل مرة. في المثال نضع الحد الأول مع الحد الأخير، والحد الثاني مع ما قبل الأخير، فنجد أن كل زوج له المجموع نفسه. بعد ذلك نضرب مجموع الزوج الواحد في عدد الأزواج، وهو نصف عدد الحدود. هذه الفكرة البسيطة هي أساس قانون المجموع كله.

A series is what you get when you add up the terms of a sequence. Arithmetic means the terms go up by the same amount.

Worked example

1
$4 + 9 + 14 + 19 + 24$ — five terms, going up by 5
2
$4 + 24 = 28, 9 + 19 = 28$ — pair the first with the last, the second with the second last
3
$\frac{5}{2} \times 28 = 70$ — 5 terms make two and a half pairs

Key idea

Every pair adds to the same total. That is the whole idea behind the formula.

2. The Sum Formula

فكرة الأزواج تعطينا قانونًا لمجموع أول عدد من الحدود، نستخدمه عندما تكون الحدود كثيرة جدًا فلا نجمعها واحدًا واحدًا. في القانون: الحد الأول، والفرق المشترك، وعدد الحدود، والمجموع. الطريقة: اقرأ الحد الأول والفرق وعدد الحدود من السؤال، ثم ضع كل قيمة في مكانها واكتب هذا السطر لأنه يأخذ درجة الطريقة. بعدها احسب الأجزاء السهلة، ثم أكمل ما داخل القوس، واضرب في النهاية. الخطأ الشائع: داخل القوس نضرب الفرق في عدد الحدود ناقص واحد، وليس في عدد الحدود نفسه، لأن الحد الأخير يبعد عن الأول خطوات أقل من عدد الحدود بواحد.

Pairing gives a formula for the sum of the first n terms. Use it when there are too many terms to add one by one.

Formula

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) d)

$a$ is the first term, $d$ is the common difference, $n$ is how many terms you add, and $S_{n}$ is their total.

Worked example

1
$4, 9, 14, \dots$ — The question: add the first 40 terms. Writing out 40 terms would take too long, so use the formula.
2
$a = 4, d = 5, n = 40$ — Read them off: the first term is a = 4, the gap 9 − 4 is d = 5, and you add 40 terms.
3
$S_{40} = \frac{40}{2} (2 \times 4 + (40 - 1) \times 5)$ — Put each number in its place. Write this line down: it earns a method mark.
4
$= 20 (8 + 39 \times 5)$ — Work out the easy parts: 40 ÷ 2 = 20, 2 × 4 = 8, and 40 − 1 = 39.
5
$= 20 (8 + 195) = 20 \times 203$ — Finish the bracket first: 39 × 5 = 195, then 8 + 195 = 203.
6
$= 4060$ — Multiply last: 20 × 203 = 4060.

Common mistake

Using n for the bracket. It is n − 1 lots of d: the 40th term is only 39 steps after the first.

3. Sum Using the Last Term

إذا عرفت الحد الأخير فهناك قانون أسرع: المجموع يساوي نصف عدد الحدود مضروبًا في مجموع الحد الأول والحد الأخير، لأن كل زوج مجموعه الأول زائد الأخير. في مثال مضاعفات العدد سبعة: نحدد أول مضاعف وآخر مضاعف داخل المدى، ثم نعدّ الحدود بقسمة المسافة بين الأول والأخير على الفرق لنعرف عدد الخطوات، ونضيف واحدًا للحد الأول نفسه. بعدها نطبق القانون. الخطأ الشائع هو نسيان إضافة الواحد عند عدّ الحدود.

If you know the last term, there is a quicker formula. It is the pairing idea from the first card: every pair adds to first + last.

Formula

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

$a$ is the first term, $l$ is the last term, and $n$ is how many terms. There are $\frac{n}{2}$ pairs, each worth $a + l$ .

Add up all the multiples of 7 between 1 and 400

Worked example

1
$7, 14, 21, \dots, 399$ — List the start and the end. 400 ÷ 7 = 57.1…, so the last multiple below 400 is 57 × 7 = 399.
2
$a = 7, d = 7, l = 399$ — Each term is 7 more than the one before, so this is an arithmetic series.
3
$n = \frac{399 - 7}{7} + 1$ — Count the terms: the gap from first to last, divided by d, is the number of steps. Add 1 for the first term itself.
4
$n = 56 + 1 = 57$ — 392 ÷ 7 = 56 steps, so there are 57 terms.
5
$S_{57} = \frac{57}{2} (7 + 399)$ — Use the new formula: half of n, times first plus last.
6
$= \frac{57}{2} \times 406$ — Add inside the bracket: 7 + 399 = 406.
7
$= 57 \times 203 = 11571$ — Half of 406 is 203, which keeps the numbers whole. Then 57 × 203 = 11 571.

Common mistake

Forgetting the +1 when you count terms. From 7 to 399 is 56 steps of 7, but 57 numbers: count the first one too.

4. A Sum in the Middle

لإيجاد مجموع حدود من وسط المتسلسلة، مثل من الحد الحادي والعشرين إلى الحد الأربعين: نحسب مجموع أول أربعين حدًا، ثم نطرح منه مجموع أول عشرين حدًا، فيبقى المطلوب بالضبط. انتبه: لا تطرح أول واحد وعشرين حدًا، لأنك تريد أن تحتفظ بالحد الحادي والعشرين. والفكرة نفسها تعطيك حدًا واحدًا: إذا أعطاك السؤال قانونًا للمجموع، فالحد السادس هو مجموع أول ستة حدود ناقص مجموع أول خمسة حدود. لا تعوض بالرقم مباشرة في قانون المجموع، لأنه يعطي مجموعًا وليس حدًا.

“Find the sum of the 21st to the 40th terms”: the first 40 terms are the ones you want plus the first 20. So take the first 20 away.

Worked example

1
$S_{40} = 4060$ — The sum of the first 40 terms of 4, 9, 14, …, worked out on the Sum Formula card.
2
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \times 4 + 19 \times 5)$ — Now the first 20 terms: the same a = 4 and d = 5, but n = 20, so the bracket has 20 − 1 = 19 lots of d.
3
$= 10 (8 + 95)$ — 20 ÷ 2 = 10, 2 × 4 = 8, and 19 × 5 = 95.
4
$= 10 \times 103 = 1030$ — Add inside the bracket, then multiply.
5
$S_{40} - S_{20} = 4060 - 1030 = 3030$ — Take the first 20 away. What is left is exactly terms 21 to 40.

Common mistake

Taking away the first 21. You want to keep the 21st term, so take away the first 20.

One single term works the same way. Some questions give a formula for the sum, not the terms. Find the 6th term when the sum of the first n terms is $n (2 n + 3)$ .

Worked example

1
$S_{n} = n (2 n + 3)$ — This adds up the first n terms. It is not the nth term, so you cannot just put n = 6 in.
2
$S_{6} = 6 (12 + 3) = 90$ — Put n = 6: the first 6 terms add up to 90.
3
$S_{5} = 5 (10 + 3) = 65$ — Put n = 5: the first 5 terms add up to 65.
4
$u_{6} = S_{6} - S_{5} = 90 - 65 = 25$ — The first 6 take away the first 5 leaves only the 6th term.

5. Find a and d

بعض الأسئلة تعطيك حدًا معينًا ومجموعًا معينًا، والمطلوب الحد الأول والفرق المشترك. اكتب معادلة من الحد: الحد العام هو الحد الأول زائد الفرق مضروبًا في رتبة الحد ناقص واحد. واكتب معادلة ثانية من قانون المجموع. ثم حل المعادلتين معًا: اضرب إحداهما حتى يتساوى معامل الحد الأول، واطرح فيختفي ويبقى الفرق. عوّض بالفرق لتجد الحد الأول، ثم تحقق في المجموع. اكتب كل معادلة في سطر مستقل، فكل معادلة صحيحة تأخذ درجة طريقة حتى لو أخطأت لاحقًا.

Some questions give a term and a sum. Write one equation for each, then solve them together.

Worked example

1
$u_{5} = 23 : a + 4 d = 23$ — The 5th term is a + (5 − 1)d: four steps of d after the first term. This is equation 1.
2
$S_{10} = 245 : \frac{10}{2} (2 a + 9 d) = 245$ — Put n = 10 into the sum formula. The bracket has 10 − 1 = 9 lots of d.
3
$5 (2 a + 9 d) = 245$ — 10 ÷ 2 = 5.
4
$2 a + 9 d = 49$ — Divide both sides by 5 to make the numbers smaller. This is equation 2.
5
$2 a + 8 d = 46$ — Double equation 1, so both equations start with 2a.
6
$(2 a + 9 d) - (2 a + 8 d) = 49 - 46$ — Take this away from equation 2. The 2a's cancel, leaving only d.
7
$d = 3$ — 9d − 8d = d, and 49 − 46 = 3.
8
$a + 4 \times 3 = 23, so a = 11$ — Put d = 3 back into equation 1: a + 12 = 23.
9
$5 (22 + 27) = 5 \times 49 = 245$ — Check in the sum: 2 × 11 = 22 and 9 × 3 = 27. It gives 245, so a = 11 and d = 3 are right.

Key idea

The nth term is $a + (n - 1) d$ . It turns every “the kth term is …” into an equation.

Key idea

Show clear working: write each equation on its own line. Each correct equation earns a method mark, even if a slip later spoils the answer.

6. Terms Given With a Letter

أحيانًا تأتي الحدود الثلاثة الأولى وفيها مجهول. في المتسلسلة الحسابية الفروق متساوية، فالثاني ناقص الأول يساوي الثالث ناقص الثاني، وهذه معادلة نحلها لنجد المجهول. ضع كل حد بين قوسين قبل الطرح حتى تطرح كل أجزائه. بعد إيجاد المجهول عوّض لتحصل على الحدود وتتأكد أن الفروق متساوية. إذا كانت الحدود تتناقص فالفرق سالب، فضعه بين قوسين في القانون حتى لا تضيع إشارة السالب. والمجموع نفسه قد يكون سالبًا. الخطأ الشائع: الطرح بدون أقواس فلا تُطرح كل أجزاء الحد.

Some questions give the first three terms with a letter in them. In an arithmetic series the gaps are equal, so second − first = third − second. That gives an equation for the letter.

Worked example

1
$(5 x + 3), (2 x + 11), (x + 11)$ — The question: the first three terms. Find the sum of the first 20 terms.
2
$(2 x + 11) - (5 x + 3) = (x + 11) - (2 x + 11)$ — The gaps are equal. Keep the brackets so every part of the term is taken away.
3
$- 3 x + 8 = - x$ — Tidy each side: 2x − 5x = −3x and 11 − 3 = 8 on the left; x − 2x = −x and 11 − 11 = 0 on the right.
4
$8 = 2 x, so x = 4$ — Add 3x to both sides, then divide by 2.
5
$23, 19, 15$ — Put x = 4 into each term: 5 × 4 + 3, 2 × 4 + 11 and 4 + 11. The gaps match, so x = 4 is right.
6
$a = 23, d = - 4$ — The terms go down, so d is negative: 19 − 23 = −4.
7
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \times 23 + 19 \times (- 4))$ — Sum formula with n = 20. Put −4 in brackets so its minus is not lost.
8
$= 10 (46 - 76)$ — 2 × 23 = 46, and 19 × (−4) = −76, because plus times minus is minus.
9
$= 10 \times (- 30) = - 300$ — 46 − 76 = −30. A sum can be negative once the terms drop below zero.

Common mistake

Writing 2x + 11 − 5x + 3. Without brackets the +3 is not taken away. Bracket each term before you subtract.

7. One Sum Is k Times Another

بعض الأسئلة تربط مجموعين، مثل أن مجموعًا يساوي ثلاثة أمثال مجموع آخر. اكتب كل مجموع بدلالة الحد الأول والفرق المشترك، واتركهما رموزًا لأنك لا تعرفهما بعد. ثم حوّل الكلام إلى معادلة كما هو تمامًا، وفك الأقواس، واجمع الحد الأول في طرف والفرق في الطرف الآخر، فتحصل على الحد الأول بدلالة الفرق. بعدها استخدم الحد المعطى لتكتب معادلة ثانية، وعوّض لتجد الفرق ثم الحد الأول، وتحقق في السؤال. إذا طلب السؤال الحد الأول بدلالة الفرق فقط، فتوقف عند ذلك السطر لأنه هو الجواب.

Some questions link two sums, like “the sum of the first 12 terms is 3 times the sum of the first 6”. Write each sum with a and d, then turn the words into an equation.

Worked example

1
$S_{12} = 3 \times S_{6}, u_{4} = 13$ — The question. Find the first term a and the common difference d.
2
$S_{12} = \frac{12}{2} (2 a + 11 d) = 6 (2 a + 11 d)$ — Sum formula with n = 12. Leave a and d as letters, because you do not know them yet.
3
$S_{6} = \frac{6}{2} (2 a + 5 d) = 3 (2 a + 5 d)$ — Do the same with n = 6.
4
$6 (2 a + 11 d) = 3 \times 3 (2 a + 5 d)$ — The words say the first sum is 3 times the second. Write exactly that.
5
$12 a + 66 d = 18 a + 45 d$ — Multiply out both sides. On the right, 3 × 3 = 9, so it is 9(2a + 5d).
6
$21 d = 6 a$ — Take 12a and 45d from both sides, so a is on one side and d on the other.
7
$a = 3.5 d$ — Divide both sides by 6: 21 ÷ 6 = 3.5.
8
$a + 3 d = 13$ — The 4th term gives a second equation: three steps of d after a.
9
$3.5 d + 3 d = 13$ — Replace a with 3.5d, so only d is left.
10
$6.5 d = 13, so d = 2$ — Collect the d's, then divide by 6.5.
11
$a = 3.5 \times 2 = 7$ — Put d = 2 back into a = 3.5d.
12
$S_{12} = 6 (14 + 22) = 216, S_{6} = 3 (14 + 10) = 72$ — Check: 216 = 3 × 72, so the answer fits the question.

Key idea

If the question only asks for “a in terms of d”, stop at the line $a = 3.5 d$ . That line is the answer.

8. Find n from the Sum

إذا كان المجموع معلومًا وعدد الحدود هو المجهول، فقانون المجموع يعطيك معادلة تربيعية في عدد الحدود. اقرأ الحد الأول والفرق، وضعهما في القانون مع ترك عدد الحدود رمزًا، واجعله يساوي المجموع المعطى. اضرب في اثنين للتخلص من النصف، وفك القوس، واجعل المعادلة تساوي صفرًا، ثم حللها إلى عاملين. ستحصل على حلين، لكن عدد الحدود يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا، فارفض الحل السالب أو الكسري.

If the sum is given and n is missing, the formula gives a quadratic in n.

Worked example

1
$5 + 8 + 11 + \dots = 440$ — The question: how many terms add up to 440? This time n is the unknown.
2
$a = 5, d = 3$ — The first term is 5, and the gap is 8 − 5 = 3.
3
$\frac{n}{2} (2 \times 5 + (n - 1) \times 3) = 440$ — Put a and d into the sum formula, keep n as a letter, and set it equal to the total.
4
$\frac{n}{2} (10 + 3 n - 3) = 440$ — 2 × 5 = 10, and 3 × (n − 1) = 3n − 3.
5
$\frac{n}{2} (3 n + 7) = 440$ — 10 − 3 = 7.
6
$n (3 n + 7) = 880$ — Multiply both sides by 2 to clear the half.
7
$3 n^{2} + 7 n - 880 = 0$ — Multiply out the bracket and take 880 from both sides, so the quadratic equals 0.
8
$(n - 16) (3 n + 55) = 0$ — Factorise. Check: 3n × (−16) = −48n and 55 × n = 55n, which add to 7n.
9
$n = 16 or n = - \frac{55}{3}$ — Set each bracket to 0. Only 16 works: n counts terms, so it must be a positive whole number.

Common mistake

Keeping the negative answer. You cannot add −18.3 terms.

9. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة من كلمات السؤال. ابدأ دائمًا بكتابة الحد الأول والفرق المشترك وعدد الحدود. إذا طُلب مجموع أول عدد من الحدود فاستخدم قانون المجموع. إذا عُرف الحد الأخير أو جاء سؤال عن المضاعفات فعدّ الحدود ثم استخدم قانون الأول زائد الأخير. لمجموع من وسط المتسلسلة اطرح مجموعًا من مجموع. إذا أُعطي قانون للمجموع وطُلب حد واحد فاطرح مجموعين متتاليين. حد ومجموع معًا يعنيان معادلتين في الحد الأول والفرق. حدود فيها مجهول تعني تساوي الفروق. سؤال «كم حدًا» يعني مساواة القانون بالمجموع وحل المعادلة. وفي القصص، السنة الأولى هي الحد الأول والزيادة كل سنة هي الفرق. تحقق دائمًا بكتابة أول ثلاثة حدود ومقارنتها بالسؤال.

Write a, d and n before anything else. Then match the question to a method.

You see	You do
“Sum of the first n”	Put a, d, n into the sum formula
The last term, or “multiples of 7”	Count the terms, then $\frac{n}{2} (a + l)$
“Terms 21 to 40”	First 40 take away first 20
A formula for the sum, and “the 6th term”	$S_{6} - S_{5}$
A term and a sum	Two equations in a and d
Terms with a letter, like 2x + 1	Equal gaps: second − first = third − second
“One sum is 3 times another”	Write both sums with a and d, then make the equation
“How many terms”	Sum formula = total, solve for n
“The nth term”	Use $a + (n - 1) d$ , or see The nth Term of a Linear Sequence
A story: save $50, then $k more each year	Year 1 is a, the rise each year is d, the number of years is n

Key idea

Check your a and d by writing the first three terms. They should match the question.

تدرّب على مجموع المتتابعة الحسابية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح مجموع المتتابعة الحسابية

1. What a Series Is (Higher)

2. The Sum Formula

3. Sum Using the Last Term

4. A Sum in the Middle

5. Find a and d

6. Terms Given With a Letter

7. One Sum Is k Times Another

8. Find n from the Sum

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على مجموع المتتابعة الحسابية

أسئلة امتحانات سابقة على مجموع المتتابعة الحسابية، محلولة ومشروحة بالعربي