شرح محاور التماثل

Lines of Symmetry

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Fold That Matches

محور التماثل خط مرآة: إذا طويت الشكل عليه انطبق النصفان تمامًا. الجدول يبين عدد محاور التماثل لكل شكل شهير، ولاحظ أن متوازي الأضلاع ليس له أي محور، وأن المضلع المنتظم له محاور بعدد أضلاعه. لاختبار خط تخيّل الطي: كل رأس في جهة يجب أن ينطبق على رأس في الجهة الأخرى. ولغز طريف: بعض الكلمات الإنجليزية المكتوبة بحروف كبيرة تبقى كما هي عند انعكاسها في الماء، لأن كل حروفها لها محور تماثل أفقي.

A line of symmetry is a mirror line. Fold the shape along it and the two halves fit exactly on top of each other.

Shape	Lines of symmetry
Square	4
Rectangle	2
Rhombus	2
Equilateral triangle	3
Isosceles triangle, kite	1
Isosceles trapezium	1
Parallelogram	0
Regular polygon, n sides	n

Rule

Test a line by imagining the fold. Every corner on one side must land on a corner on the other side.

Key idea

Write BOOK in plain capitals and look at its reflection in a still pond. It still reads BOOK, because B, O and K each have a horizontal line of symmetry. Can you find another word that works? One answer: CHOICE.

2. Count the Lines

سؤال الدرجة الواحدة: كم محور تماثل للمضلع المنتظم؟ الجواب: محور لكل ضلع. السبب في المثال: المنتظم يعني أن كل الأضلاع والزوايا متساوية. في المضلع ذي الأضلاع الزوجية نوعان من المحاور: نوع يصل بين رأسين متقابلين، ونوع يصل بين منتصفي ضلعين متقابلين، وكل نوع يعطي نصف العدد، فيكون المجموع مساويًا لعدد الأضلاع. وفي المضلع ذي الأضلاع الفردية يمتد كل محور من رأس إلى منتصف الضلع المقابل. الخطأ الشائع عدّ المحاور الرأسية والأفقية فقط ونسيان المائلة.

The 1-mark question: how many lines of symmetry has a regular octagon? A regular polygon has one line for every side.

Worked example

1
$regular octagon: 8 sides$ — Regular means all sides and all angles are equal, so every corner and every side has a matching partner.
2
$corner to opposite corner: 8 \div 2 = 4$ — Each line of this kind joins two opposite corners, so it uses up 2 of the 8 corners.
3
$middle of a side to the opposite middle: 8 \div 2 = 4$ — Each line of this kind joins the middles of two opposite sides, so it uses up 2 of the 8 sides.
4
$4 + 4 = 8 lines$ — Add the two kinds. The total equals the number of sides.

Key idea

For a shape with an odd number of sides, such as a pentagon, each line goes from a corner to the middle of the opposite side. There is still one line for each side.

Common mistake

Only counting the upright and flat lines. The slanting lines through the corners count too.

3. Draw the Line on a Grid

سؤال الدرجة الواحدة: ارسم محور التماثل على الشكل، أي الخط الذي يقسمه إلى نصفين متطابقين كالمرآة. في المثال نأخذ موقعي الرأسين الخارجيين ونجد منتصفهما بحساب الوسط الحسابي، فالمحور يمر من هنا. ثم نتحقق: كل رأس يقابله رأس على البعد نفسه في الجهة الأخرى، فنرسم الخط الرأسي. الخطأ الشائع رسم قطر المستطيل؛ النصفان متساويان في المساحة لكنهما لا ينطبقان عند الطي. أما المعين فقطراه هما محورا تماثله.

The 1-mark question: draw the line of symmetry on the shape. Look for the line that splits it into two mirror halves.

Here the shape is a trapezium with its corners 1, 2, 4 and 5 squares across the grid.

Worked example

1
$corners across the bottom: 1 and 5$ — The two outer corners of the trapezium.
2
$(1 + 5) \div 2 = 3$ — The middle of two numbers is their mean. The mirror line must pass through here.
3
$5 - 3 = 2, 3 - 1 = 2$ — Check the bottom corners: each is 2 squares from the line, one on each side.
4
$top corners: 4 - 3 = 1, 3 - 2 = 1$ — Check the top corners at 2 and 4: each is 1 square from the line, one on each side.
5
$draw the upright line at 3$ — Every corner has a partner the same distance away on the other side, so this line works.

Common mistake

Drawing a diagonal of a rectangle. The two halves are the same size, but folding does not make them match. A rhombus is the reverse: its two diagonals are its lines of symmetry.

4. Complete or Shade for Symmetry

نوعان آخران من الأسئلة: أكمل الشكل ليكون الخط المعطى محور تماثل، أو ظلّل مربعات ليكون للنمط التماثل المطلوب. كل مربع مظلل يحتاج إلى شريك على البعد نفسه في الجهة الأخرى من الخط. مع خط رأسي يتبادل اليمين واليسار ويبقى الصف كما هو؛ ومجموع رقمي كل عمودين متقابلين ثابت، فتجد شريك كل عمود بطرحه من هذا المجموع. ومع الخط المائل من الزاوية العليا اليسرى إلى السفلى اليمنى، بدّل رقم الصف برقم العمود. ولإكمال نمط بمحور واحد، ابحث عن زوج متقابل أصلًا لتحدد مكان الخط، ثم ظلّل شريك المربع الوحيد. وتحقق دائمًا بتخيّل الطي.

Two more questions: complete a shape so a given line is its line of symmetry, or shade squares so a pattern has the symmetry asked for. Each shaded square needs a partner the same distance away on the other side of the line.

Worked example

1
$6 columns, mirror line between columns 3 and 4$ — So column 3 swaps with column 4, column 2 with 5 and column 1 with 6.
2
$column c \to 7 - c$ — Each pair of columns adds up to 7, so the partner of column c is column 7 − c.
3
$row 1, column 2 \to row 1, column 7 - 2 = 5$ — A vertical mirror swaps left and right only, so the row stays the same.
4
$row 2, column 3 \to row 2, column 7 - 3 = 4$ — Same move for the next shaded square.
5
$row 3, column 1 \to row 3, column 7 - 1 = 6$ — Same move again.
6
$shade the 3 new squares$ — Check by folding: every shaded square now lands on a shaded square.

For a slanted line from the top left corner to the bottom right corner of a square grid, swap the row and the column: row 1, column 3 goes to row 3, column 1.

Next: shade one more square so a 4 by 4 grid has one line of symmetry. The shaded squares are at (row 1, column 1), (row 2, column 2) and (row 2, column 3).

Worked example

1
$(2, 2) and (2, 3)$ — Look for a pair that already mirror each other. They are side by side in the same row.
2
$try the line between columns 2 and 3$ — Test this as the line. Columns 2 and 3 swap, and 1 and 4 swap: c becomes 5 − c.
3
$(1, 1) \to (1, 5 - 1) = (1, 4)$ — The square at row 1, column 1 has no partner yet. Its partner is in the same row, column 5 − 1 = 4.
4
$shade (1, 4)$ — Now every shaded square has a partner. A flat line would need squares in row 4 and neither slanted line works, so there is exactly one line.

Key idea

Letters in plain capitals: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y have an upright line. B, C, D, E, H, I, K, O, X have a flat line. So HANGER has line symmetry in H, A and E.

5. Which Method? Read the Question

تخيّل الطي مع كل خط تجربه. الجدول يلخص: إذا سُئلت عن عدد المحاور لمضلع منتظم فعدّ أضلاعه. لرسم محور التماثل طابق الرؤوس على الجهتين. لإكمال شكل أو تظليل مربعات اعكس كل مربع عبر الخط. وإذا سُئلت أي شكل ليس له محاور فابحث عن متوازي الأضلاع. أما رتبة التماثل الدوراني والمجسمات فلها دروس خاصة. تذكّر أن محور التماثل قد يكون رأسيًا أو أفقيًا أو مائلًا، فافحص الثلاثة.

Picture the fold for each line you try.

You see	You do
How many lines?	regular: count the sides
Draw the line of symmetry	match corners either side
Complete the shape, or shade squares	mirror each square across the line
Which has no lines?	look for a parallelogram shape
Order of rotational symmetry	Rotational Symmetry
A 3D solid	Planes of Symmetry in 3D Shapes

Key idea

A line of symmetry can be upright, flat or slanted. Check all three.

تدرّب على محاور التماثل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح محاور التماثل

1. A Fold That Matches

2. Count the Lines

3. Draw the Line on a Grid

4. Complete or Shade for Symmetry

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على محاور التماثل

أسئلة امتحانات سابقة على محاور التماثل، محلولة ومشروحة بالعربي