شرح المتوسط والوسيط والمنوال والمدى

Mean, Median, Mode and Range

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Four Ways to Sum Up a List

قائمة الأرقام صعبة القراءة بنظرة واحدة، لذلك نلخصها. الوسط الحسابي: اجمع كل الأرقام واقسم على عددها. الوسيط: الرقم الأوسط بعد ترتيب القائمة. المنوال: الرقم الأكثر تكرارًا. هذه الثلاثة متوسطات تعطي قيمة نموذجية واحدة. أما المدى فليس متوسطًا، بل يقيس مدى تشتت الأرقام: أكبر رقم ناقص أصغر رقم. وحيلة ذهنية للوسط: خمّن رقمًا قريبًا، واجمع الفروق عنه، ثم وزّع مجموع الفروق على عدد الأرقام وأضفه إلى تخمينك.

A list of numbers is hard to read at a glance. Three averages give one typical value. The range tells you how spread out the numbers are.

Word	What it means
Mean	add them all, divide by how many
Median	the middle one, once in order
Mode	the one that appears most often
Range	biggest take away smallest

Key idea

Mean, median and mode are averages. The range is not an average: it measures spread.

Key idea

Mental trick: find the mean of $47, 52, 49, 55, 48$ . Guess 50. The differences from 50 are $- 3, + 2, - 1, + 5, - 2$ , which add to $+ 1$ . Share that between 5 numbers: the mean is $50 + 0.2 = 50.2$ .

2. Mean, Median, Mode and Range of a List

الخطوة الأولى دائمًا: رتّب القائمة من الأصغر إلى الأكبر، وأشّر على كل رقم حتى لا يضيع منك أي رقم. المنوال هو الرقم الأكثر تكرارًا. للوسيط احسب موقع الوسط بإضافة واحد إلى عدد الأرقام والقسمة على اثنين، وإذا وقع الموقع بين رقمين فاجمعهما واقسم على اثنين. للوسط الحسابي اجمع كل الأرقام واقسم على عددها، وقد لا يكون الوسط من أرقام القائمة. للمدى اطرح الأصغر من الأكبر. الخطأ الشائع أن تكتب المدى على شكل «من كذا إلى كذا»، والمدى رقم واحد فقط، ومع الأعداد السالبة اطرح أيضًا بعناية.

The 1 or 2-mark question gives a list and asks for one of these. Put the list in order first: the median and the mode are easier to see.

Worked example

1
$8, 5, 10, 2, 5, 6$ — The list, as the question gives it. It has 6 numbers.
2
$2, 5, 5, 6, 8, 10$ — Write it again from smallest to largest. Tick each number off so none is lost. 5 appears twice.
3
$mode = 5$ — The mode is the value that appears most often. No other number repeats, so it is 5.
4
$position = \frac{6 + 1}{2} = 3.5$ — Find where the middle is. 3.5 means halfway between the 3rd and 4th numbers.
5
$median = \frac{5 + 6}{2} = 5.5$ — The 3rd number is 5 and the 4th is 6. Add them and halve to get the point halfway between.
6
$2 + 5 + 5 + 6 + 8 + 10 = 36$ — For the mean, first add every number to get the total.
7
$mean = 36 \div 6 = 6$ — Divide the total by how many numbers there are, 6. The mean does not have to be in the list.
8
$range = 10 - 2 = 8$ — Biggest take away smallest. It tells you how spread out the numbers are.

Formula

median position = \frac{n + 1}{2}

$n$ is how many numbers are in the list. The answer is a position, not the median. For 15 numbers, $\frac{15 + 1}{2} = 8$ , so the median is the 8th number.

Common mistake

Giving the range as “2 to 10”. The range is one number: $10 - 2 = 8$ .

Key idea

With negative numbers, still subtract: from $- 3$ to $4$ the range is $4 - (- 3) = 7$ .

3. Missing Value: Find the Total

عندما يُعطى الوسط الحسابي وتنقص قيمة واحدة، حوّل الوسط إلى مجموع: المجموع يساوي الوسط مضروبًا في عدد القيم، لأن الوسط هو المجموع موزعًا بالتساوي. ثم اجمع القيم المعروفة، واطرحها من المجموع الكلي فيبقى العدد المفقود. وتحقق بإعادته وحساب الوسط من جديد. وفي النوع الآخر الذي تُضاف فيه قيمة جديدة: احسب المجموع القديم من الوسط القديم، والمجموع المطلوب من الوسط الجديد والعدد الجديد، والفرق بينهما هو القيمة المطلوبة. الخطأ الشائع هو الطرح من الوسط نفسه؛ اعمل دائمًا بالمجاميع، واكتب كل مجموع في سطر مستقل لأنه يكسبك درجة.

The 3-mark question gives the mean and all the numbers but one. Turn the mean back into a total.

Formula

total = mean \times how many

The mean of five numbers is 8. Four of them are 6, 11, 3 and 9. Find the fifth.

Worked example

1
$8 \times 5 = 40$ — Mean × how many gives the total of all five. The mean was the total shared out equally, so multiply to undo it.
2
$6 + 11 + 3 + 9 = 29$ — Add the four numbers you know.
3
$40 - 29 = 11$ — What is left of the total must be the missing number.
4
$\frac{6 + 11 + 3 + 9 + 11}{5} = \frac{40}{5} = 8$ — Check: put 11 back and work out the mean. It gives 8, so the answer is right.

Another version adds one more value. Sara's mean for 4 tests is 70. What is the least she must score in a 5th test so her mean is at least 73?

Worked example

1
$4 \times 70 = 280$ — Total of the first 4 tests: mean × how many.
2
$5 \times 73 = 365$ — Total she needs after 5 tests. Use the new mean and the new count, 5.
3
$365 - 280 = 85$ — The 5th test must make up the difference. So the least she needs is 85.

Common mistake

Taking the mean, 8, away from something. Work with totals, never with means.

Key idea

Write each total on its own line. Each one usually earns a mark for working, even if a later line goes wrong.

4. Two Groups: Add the Totals

عندما تكون هناك مجموعتان لكل منهما وسط حسابي، لا تجمع الوسطين وتقسم على اثنين. أولًا احسب مجموع كل مجموعة: الوسط مضروبًا في عدد أفرادها. ثم اجمع المجموعين لتحصل على مجموع الجميع. أخيرًا اقسم على عدد الأفراد كلهم معًا. أخذ متوسط الوسطين لا يصح إلا إذا كانت المجموعتان بالحجم نفسه. ولإيجاد مدى المجموعتين معًا: أوجد أكبر قيمة في كل مجموعة بإضافة المدى إلى أصغر قيمة، ثم اطرح أصغر قيمة في الكل من أكبر قيمة في الكل.

The 3-mark question has two groups, each with its own mean. Find each total, add them, then divide by everyone.

12 boys have a mean of 15 points. 8 girls have a mean of 20. Find the mean for all 20 children.

Worked example

1
$12 \times 15 = 180$ — Mean × how many gives the boys' total points.
2
$8 \times 20 = 160$ — Same for the girls' total: 8 girls × mean 20.
3
$180 + 160 = 340$ — Add the two totals. This is every point scored by all the children.
4
$340 \div 20 = 17$ — Divide by everyone: 12 + 8 = 20 children. The mean for all is 17.

Common mistake

Adding the two means and halving: $\frac{15 + 20}{2} = 17.5$ . That is only right if the groups are the same size.

Key idea

Range of two groups together? Find each group's highest value (lowest + range). Group A: $31 + 52 = 83$ . Group B: $26 + 49 = 75$ . Overall range = highest of all − lowest of all = $83 - 26 = 57$ .

5. Find the Other Group’s Mean

هذا السؤال عكس السابق: يعطيك وسط الجميع ووسط مجموعة واحدة، ويطلب وسط المجموعة الأخرى. اعمل بالمجاميع: احسب مجموع الجميع، ثم مجموع المجموعة المعروفة، واطرح لتحصل على مجموع المجموعة الأخرى. بعدها احسب عدد أفراد المجموعة الأخرى، واقسم مجموعها على عددها هي فقط. الخطأ الشائع هو القسمة على عدد الجميع. وتحقق بإعادة دمج المجموعتين. والفكرة نفسها تنفع إذا غادر بعض الأشخاص: اطرح مجموعهم ثم اقسم على من بقي.

The 3-mark question turns the last card around: it gives the mean of everyone and of one group, and asks for the other group's mean. Work with totals again.

30 students sat a test. Their mean mark was 64. The 12 girls had a mean of 70. Find the mean mark of the other 18 students.

Worked example

1
$30 \times 64 = 1920$ — Mean × how many gives the total for all 30 students.
2
$12 \times 70 = 840$ — Mean × how many again, for the 12 girls.
3
$1920 - 840 = 1080$ — Take the girls away from everyone. What is left is the other students' total.
4
$30 - 12 = 18$ — Count the other students too: 18 of them.
5
$1080 \div 18 = 60$ — Divide their total by how many they are. Their mean is 60.
6
$\frac{840 + 1080}{30} = \frac{1920}{30} = 64$ — Check: put both groups back together. The mean of all 30 is 64, as given.

Common mistake

Dividing 1080 by 30. Only 18 students made that total, so divide by 18.

Key idea

Some people leave? Same idea. 25 people have a mean of 40 (total 1000). 5 people with a mean of 48 (total 240) leave. The 20 left have a mean of $(1000 - 240) \div 20 = 38$ .

6. Build the List From Clues

في هذا السؤال قائمة مرتبة فيها أعداد مخفية، ومعها أدلة مثل المنوال والمدى والوسيط. استخدم دليلًا واحدًا في كل مرة، وابدأ بالأسهل: المنوال هو العدد المكرر، والمدى يعطيك أصغر عدد لأن القائمة مرتبة فأولها الأصغر وآخرها الأكبر. ثم استخدم الوسيط: إذا كان عدد القيم زوجيًا فالوسيط في منتصف المسافة بين العددين الأوسطين، فاكتب معادلة وحلها. الخطأ الشائع هو أخذ عدد واحد فقط كوسيط مع أن العدد زوجي. وفي النهاية اكتب القائمة كاملة وتحقق من كل دليل. وإذا أُعطيت وسطًا حسابيًا فحوّله إلى مجموع أولًا.

The 3 or 4-mark question hides some numbers in an ordered list. It gives the median, mode or range. Use one clue at a time.

Six numbers in order: $a, 5, b, c, c, 14$ . The mode is 10, the range is 11 and the median is 8.

Worked example

1
$mode 10 : c = 10$ — Start with the mode. c appears twice and every other number at most once, so c must be the mode, 10.
2
$range 11 : 14 - a = 11$ — The list is in order, so a is the smallest and 14 the biggest. Range = biggest − smallest.
3
$a = 14 - 11 = 3$ — Take 11 from 14 to find the smallest number.
4
$\frac{b + 10}{2} = 8$ — Six numbers, so the median is halfway between the 3rd (b) and the 4th (c = 10).
5
$b + 10 = 16$ — Multiply both sides by 2 to clear the fraction.
6
$b = 6$ — Take 10 from both sides.
7
$3, 5, 6, 10, 10, 14$ — Write the full list and check every clue: mode 10, range 14 − 3 = 11, median (6 + 10) ÷ 2 = 8.

Rule

Start with the easiest clue, usually the mode or the range. Then the median.

Common mistake

For six numbers, taking the 3rd number as the median. With an even count, the median is halfway between the two middle numbers.

Key idea

A mean clue? Turn it into a total first. Three numbers with a mean of 9 add up to $3 \times 9 = 27$ .

7. Which Average Is Best?

عندما يسألك أي متوسط أفضل، ابحث عن قيمة بعيدة جدًا عن بقية القيم (قيمة متطرفة). هذه القيمة تشد الوسط الحسابي نحوها فيصبح غير ممثل لمعظم البيانات، أما الوسيط فيبقى قريبًا من أغلب القيم، فيكون هو الأفضل. وإذا كانت البيانات كلمات مثل الألوان فالمنوال هو الوحيد الممكن. وإذا لم توجد قيم متطرفة فالوسط الحسابي جيد لأنه يستخدم كل القيم. في الإجابة لا تكتب «الوسط خطأ» فقط، بل اذكر القيمة المتطرفة وقل إنها ترفع الوسط أو تخفضه.

The 1-mark question asks “Explain why the mean is not a good average to use” or “Which average should you use?”. Look for one value far away from the rest.

Hours of sport in a week for 6 friends: 2, 3, 3, 4, 5, 25.

Worked example

1
$2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 25 = 42$ — Add them all for the mean.
2
$mean = 42 \div 6 = 7$ — The mean is 7, but 5 of the 6 friends did fewer than 7 hours.
3
$median = \frac{3 + 4}{2} = 3.5$ — The list is already in order. The median sits between the 3rd and 4th values, close to most of the data.
4
$25 is an extreme value$ — The 25 is far bigger than the rest and pulls the mean up. So the median is the better average here.

When	Use
one value is far from the rest	the median
the data are words (colours, subjects)	the mode: it is the only one that works
no extreme values	the mean: it uses every value

Common mistake

Writing only “the mean is wrong”. Name the extreme value and say it pulls the mean up (or down).

Key idea

No mode? That happens when every value appears the same number of times, for example once each. The range also needs numbers: you cannot find the range of colours.

8. When the Data Changes

هنا تتغير البيانات ويُسأل ماذا يحدث للمتوسط. عند إضافة قيمة جديدة: ضعها في مكانها في القائمة المرتبة وأعد حساب الوسيط. وقارنها بالوسط الحسابي القديم: إن كانت أصغر منه نقص الوسط، وإن كانت أكبر زاد. وإن صارت أصغر أو أكبر قيمة فإن المدى يزيد. أما إذا أضفت العدد نفسه إلى كل القيم، فكل المتوسطات تزيد بذلك العدد، لكن المدى لا يتغير لأن البيانات تتحرك ولا تتباعد. الخطأ الشائع هو القول إن المدى يزيد أيضًا.

The 1 or 2-mark question changes the data and asks what happens to an average. Compare the change with the average you already have.

The list $4, 6, 7, 9, 12$ has median 7, mean 7.6 and range 8. A new value, 3, is added.

Worked example

1
$3, 4, 6, 7, 9, 12$ — Put the new value in its place. It goes first, below the median.
2
$median = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$ — Now there are 6 numbers, so the median is halfway between the 3rd and 4th. It went down from 7, because the new value is below the median.
3
$mean = 41 \div 6 = 6.83 (3 s.f.)$ — The total is 38 + 3 = 41. The mean went down from 7.6, because 3 is below the mean. A value above the mean would push it up.
4
$range = 12 - 3 = 9$ — 3 is the new smallest value, so the range grows from 8 to 9.

Now add 2 to every number in the original list instead: $6, 8, 9, 11, 14$ .

Worked example

1
$median 7 + 2 = 9, mean 7.6 + 2 = 9.6$ — Every value moves up by 2, so every average moves up by 2. The mode would too.
2
$range = 14 - 6 = 8$ — The biggest and smallest both move up by 2, so the gap between them stays 8.

Common mistake

Saying the range goes up by 2 as well. Adding the same number to every value moves the data, it does not spread it out.

Key idea

Two new values? Find their mean. If it is above the old mean, the mean goes up. For example 26 and 40 have a mean of 33, so they raise a mean of 30.

9. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بما تفعل. المنوال: القيمة الأكثر ظهورًا. الوسيط: رتّب ثم خذ الأوسط. المدى: الأكبر ناقص الأصغر. وسط معطى وعدد مفقود: المجموع يساوي الوسط مضروبًا في العدد. مجموعتان: اجمع المجموعين واقسم على الجميع. وسط الجميع ووسط مجموعة: اطرح المجموعين ثم اقسم. أعداد مخفية: دليل بعد دليل. أي متوسط أفضل: الوسيط عند وجود قيمة متطرفة والمنوال للكلمات. تغيّر البيانات: قارن التغيير بالمتوسط القديم. والقاعدة الذهبية: أي سؤال فيه وسط وعدد مفقود ابدأ فيه بالمجموع.

The key words tell you what to do.

You see	You do
Mode	the value that appears most
Median	order the list, find the middle
Range	biggest take away smallest
Mean given, one number missing	total = mean × how many
Two groups, mean of all	add the totals, divide by everyone
Mean of all and of one group, find the other	total of all − total of that group, then divide
Hidden numbers with clues	one clue at a time
Which average is best?	median if one value is extreme; mode for words
A value is added or every value changes	compare the change with the old average
Stem-and-leaf diagram	Stem-and-Leaf Diagrams
Values with a frequency column	Averages from Frequency Tables
Grouped classes, estimate the mean	Estimating the Mean for Grouped Data
Which set is more consistent?	Comparing Two Sets of Data

Key idea

Any question about a mean and a missing number: find the total first.

تدرّب على المتوسط والوسيط والمنوال والمدى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتوسط والوسيط والمنوال والمدى

1. Four Ways to Sum Up a List

2. Mean, Median, Mode and Range of a List

3. Missing Value: Find the Total

4. Two Groups: Add the Totals

5. Find the Other Group’s Mean

6. Build the List From Clues

7. Which Average Is Best?

8. When the Data Changes

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على المتوسط والوسيط والمنوال والمدى

أسئلة امتحانات سابقة على المتوسط والوسيط والمنوال والمدى، محلولة ومشروحة بالعربي