شرح الحركة باستخدام التفاضل والتكامل

Motion with Calculus

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Displacement, velocity, acceleration

تطبيق الخرائط في الهاتف يعرف مكانك كل ثانية، ومنه يحسب سرعتك ومدى تسارعك. التفاضل يفعل الشيء نفسه لجسيم يتحرك على خط مستقيم. الإزاحة هي الموقع مقيسًا من نقطة ثابتة، وقد تكون سالبة. والسرعة المتجهة هي معدل تغيّر الإزاحة، أي مشتقة الإزاحة بالنسبة للزمن، وإشارتها تبيّن الاتجاه. والتسارع هو معدل تغيّر السرعة، أي مشتقة السرعة بالنسبة للزمن. في المثال نشتق الإزاحة لنحصل على السرعة، و«ساكن» يعني أن السرعة صفر، فنحلّل المعادلة التربيعية لنجد لحظتين يتوقف فيهما الجسيم. ثم نشتق السرعة لنجد التسارع ونعوّض بالزمن المطلوب. هذه العلاقات غير مطبوعة فاحفظها. والسرعة القياسية مقدار السرعة المتجهة، فلا تكون سالبة أبدًا. تذكّر: الاشتقاق ينزل بك من الإزاحة إلى السرعة إلى التسارع.

A phone's map knows where you are every second. From that it can work out how fast you go and how quickly you speed up. Calculus does the same for a particle moving along a straight line.

Displacement $s$ is the position measured from a fixed point O; it can be negative. Velocity $v$ is how fast $s$ changes. Acceleration $a$ is how fast $v$ changes.

Formula

v = \frac{d s}{d t}

$s$ — displacement from O, in metres (m).
$v$ — velocity, in m/s. Positive means moving in the positive direction; negative means moving back.
$t$ — time, in seconds (s).

Formula

a = \frac{d v}{d t}

$a$ — acceleration, in m/s². It is the gradient of velocity.

Worked example

1
A particle has displacement $s = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ . Find when it is at rest, and its acceleration at $t = 3$ .
2
$v = \frac{d s}{d t} = 3 t^{2} - 12 t + 9$ — Differentiate s to get v.
3
$3 (t - 1) (t - 3) = 0$ — At rest means $v = 0$ . Factorise.
4
$t = 1 and t = 3$ — It stops twice: once to turn back, then to turn forward again.
5
$a = \frac{d v}{d t} = 6 t - 12, a = 6 (3) - 12 = 6$ — Differentiate v, then put in $t = 3$ . The unit is m/s².

Rule

Learn these. No board prints them. Speed is the size of velocity, so speed is never negative.

Key idea

Galileo rolled balls down sloping ramps around 1600. He found the distance grows with the square of the time: twice the time, four times the distance. That is constant acceleration.

Key idea

Differentiate to go down: s → v → a.

2. Integrate to go back up

كثيرًا ما يُعطى التسارع ويُطلب إيجاد السرعة، أو تُعطى السرعة ويُطلب إيجاد الإزاحة. التكامل يعكس الاشتقاق، فكامل لتصعد: السرعة تكامل التسارع، والإزاحة تكامل السرعة، وكل تكامل يأتي بثابت جديد يحدّده معلوم في السؤال. تعلّم معاني الكلمات: «في البداية» تعني أن الزمن صفر، و«ساكن» أو «يتوقف» تعني أن السرعة صفر، و«عند النقطة الثابتة» أو «يعود إليها» تعني أن الإزاحة صفر، و«يبدأ من السكون عند النقطة» تعني الأمرين معًا عند الزمن صفر. في المثال نكامل التسارع ونستعمل السرعة الابتدائية لإيجاد الثابت، ثم نحلّل السرعة لنجد لحظتي السكون، ثم نكامل السرعة بثابت جديد ونجده من أن الجسيم بدأ من النقطة الثابتة. الدرجات على التكامل، ثم التعويض بالمعلوم مع الثابت، ثم الجواب. الخطأ الشائع افتراض أن الثابت صفر دائمًا.

Often you are given the acceleration and must find the velocity, or given the velocity and must find the displacement. Integration undoes differentiation, so integrate to go back up.

Formula

v = \int a d t

$a$ — the acceleration, in terms of $t$ .
$v$ — the velocity. It comes with + c, found from a fact you are given.

Formula

s = \int v d t

$s$ — the displacement. A new + c, found from another given fact.

The question tells you the facts that fix each c. Learn what the words mean:

The question says	It means
“Initially” or “when it starts”	$t = 0$
“At rest” or “stops”	$v = 0$
“At O” or “returns to O”	$s = 0$
“Starts from rest at O”	$v = 0$ and $s = 0$ when $t = 0$

Worked example

1
A particle has acceleration $a = 2 t - 7$ . Initially its velocity is 10 m/s and it is at O. Find $v$ , the times it is at rest, and $s$ .
2
$v = t^{2} - 7 t + c$ — Integrate a. Do not forget + c.
3
$10 = 0 - 0 + c, c = 10$ — Initially means $t = 0$ , and then $v = 10$ .
4
$v = t^{2} - 7 t + 10 = (t - 2) (t - 5)$ — So it is at rest when $t = 2$ and $t = 5$ .
5
$s = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{7 t ^{2}}{2} + 10 t + k$ — Integrate v. A new constant k.
6
$s = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{7 t ^{2}}{2} + 10 t$ — It starts at O, so $s = 0$ when $t = 0$ . That gives $k = 0$ .

Marks usually go: one for integrating, one for putting the given fact into your expression with its + c, and one for the answer. So always show the line with c.

Common mistake

Assuming c = 0. It is only 0 when the given fact makes it 0. In this example c was 10.

Key idea

Integrate to go up: a → v → s. Each step brings a new constant, and the question gives a fact to find it.

3. Distance is not displacement

الإزاحة لا تهتم إلا بمكان انتهاء الجسيم، أما المسافة فتعدّ كل متر يقطعه ذهابًا وإيابًا، فإذا عاد الجسيم إلى الوراء اختلفتا. يعود الجسيم عندما تصبح سرعته صفرًا وتتغير إشارتها، فقسّم الرحلة عند هذه اللحظات. جد لحظات السكون داخل المدى الزمني، ثم احسب الإزاحة في البداية وعند كل لحظة منها وفي النهاية، ثم اجمع مقادير التغيرات. في المثال يعود الجسيم مرة واحدة داخل المدى، فنحسب مقدار ذهابه ثم مقدار رجوعه ونجمعهما، بينما الإزاحة النهائية أصغر لأنه رجع جزءًا من الطريق. والمسافة بين موضعي السكون هي مقدار فرق الإزاحتين، أو مقدار تكامل السرعة بينهما. الخطأ الشائع تكامل السرعة على المدى كله دفعة واحدة، فهذا يعطي الإزاحة لا المسافة.

Displacement only cares where the particle ends up. Distance counts every metre it moves, forwards and back. If the particle turns round, the two are different.

A particle turns round when $v = 0$ and $v$ changes sign. So split the journey at those times.

Steps

1
1. Find the times when $v = 0$ inside the time interval.
2. Find $s$ at the start, at each of those times, and at the end.
3. Find the size of each change in $s$ , and add them.

Worked example

1
Use $s = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{7 t ^{2}}{2} + 10 t$ from the last step. Find the distance travelled in the first 4 seconds.
2
$v = 0 at t = 2$ — Inside 0 to 4, the particle turns round at $t = 2$ only.
3
$s (0) = 0, s (2) = \frac{8}{3} - 14 + 20 = \frac{26}{3}$ — Where it is at the start and when it turns.
4
$s (4) = \frac{64}{3} - 56 + 40 = \frac{16}{3}$ — Where it is at the end.
5
$\frac{26}{3} + \frac{16}{3} - \frac{26}{3} = \frac{26}{3} + \frac{10}{3} = 12$ — Out by 26/3 m, then back by 10/3 m. Distance = 12 m.

Its displacement after 4 seconds is only $\frac{16}{3}$ m, because it came part of the way back.

Example

The distance between the two places where it is at rest is $∣ s (5) - s (2) ∣ = \frac{25}{6} - \frac{26}{3} = \frac{9}{2}$ m. The same answer comes from $\int_{2}^{5} v d t$ .

Common mistake

Integrating $v$ from 0 to 4 in one go. That gives displacement, $\frac{16}{3}$ , not distance.

Key idea

Distance: split where $v = 0$ , then add sizes. Displacement: just the end value minus the start value.

4. Motion with e

القواعد نفسها تعمل حين تحتوي الإزاحة أو السرعة أو التسارع على الدالة الأسية للعدد النيبيري أو الجيب أو جيب التمام، فاستعمل المشتقات والتكاملات المعروفة. في المثال نشتق السرعة لنجد التسارع: العدد الثابت يختفي، ومعامل الأس السالب يُضرب في المعامل أمام الدالة. ولإيجاد الزمن عند سرعة معيّنة نعيد الترتيب ونعزل الدالة الأسية، ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين ونترك الجواب دقيقًا. ثم نكامل السرعة لإيجاد الإزاحة، بالقسمة على معامل الأس. وبما أن الجسيم يبدأ من النقطة الثابتة نعوّض بالزمن صفر، والدالة الأسية عند الصفر واحد، فلا يكون الثابت صفرًا. لاحظ أن الحد الأسي يقترب من الصفر كلما مرّ الزمن، فتقترب السرعة من قيمة حدّية ولا تبلغها. الخطأ الشائع الظن أن الثابت صفر لأن الجسيم بدأ من النقطة.

The same rules work when $s$ , $v$ or $a$ uses $e$ , sin or cos. Use the standard derivatives and integrals you already know.

Worked example

1
A particle starts from rest at O. Its velocity is $v = 8 - 8 e^{- \frac{t}{2}}$ . Find $a$ , the time when $v = 6$ , and $s$ .
2
$a = \frac{d v}{d t} = 4 e^{- \frac{t}{2}}$ — The 8 differentiates to 0. Then $- 8 \times (- \frac{1}{2}) = 4$ .
3
$8 - 8 e^{- \frac{t}{2}} = 6 \Rightarrow e^{- \frac{t}{2}} = \frac{1}{4}$ — Set $v = 6$ and rearrange.
4
$- \frac{t}{2} = ln \frac{1}{4} = - ln 4, t = 2 ln 4$ — Take ln of both sides. Leave it exact.
5
$s = 8 t + 16 e^{- \frac{t}{2}} + c$ — Integrate. $- 8$ divided by $- \frac{1}{2}$ is 16.
6
$0 = 0 + 16 + c, s = 8 t + 16 e^{- \frac{t}{2}} - 16$ — At O when $t = 0$ , and $e^{0} = 1$ , so $c = - 16$ .

Notice that $e^{- \frac{t}{2}}$ gets closer and closer to 0 as $t$ grows. So $v$ gets closer to 8 m/s but never reaches it. A question may ask you to explain this.

Common mistake

Thinking the constant is 0 because the particle starts at O. Here $e^{0} = 1$ , so the constant is −16.

Key idea

Starting conditions always mean $t = 0$ . Remember that $e^{0} = 1$ and $cos 0 = 1$ .

5. Motion graphs

هذه البطاقة لطلاب كامبريدج. قد تحتاج إلى رسم خمسة منحنيات مع الزمن أو قراءتها: الإزاحة، والسرعة المتجهة، والسرعة القياسية، والتسارع، والمسافة. والرابطان: ميل منحنى الإزاحة هو السرعة، وميل منحنى السرعة هو التسارع؛ والمساحة تحت منحنى السرعة هي الإزاحة، والمساحة تحت محور الزمن تُحسب سالبة. في المثال منحنى السرعة على شكل حرف يو يقطع محور الزمن مرتين، ومنحنى السرعة القياسية مثله لكن الجزء السالب ينعكس فوق المحور. ومنحنى التسارع خط مستقيم يقطع المحور حيث تكون السرعة أصغر ما يمكن. ومنحنى الإزاحة يصعد إلى قمة ثم ينزل ثم يصعد، أما المسافة فلا تنزل أبدًا. ومع التسارع الثابت من السكون يكون منحنى السرعة خطًا من نقطة الأصل، ومساحة المثلث تعطي الإزاحة. الخطأ الشائع رسم السرعة القياسية تحت المحور.

Rule

This step is for 0606 and 4037.

You may need to sketch, or read, five graphs against time $t$ . Two links connect them:

The gradient of the s–t graph is the velocity. The gradient of the v–t graph is the acceleration.
The area under the v–t graph is the displacement. Area below the t-axis counts as negative.

Worked example

1
Describe the graphs for $v = t^{2} - 7 t + 10$ from the last steps, for $0 \leq t \leq 6$ .
2
$v = (t - 2) (t - 5)$ — v–t: a U-shaped curve. It starts at 10, crosses the t-axis at 2 and 5, and is lowest at $t = 3.5$ , where $v = - 2.25$ .
3
$∣ v ∣$ — Speed–time: the same curve, but the part between 2 and 5 is flipped above the axis. Speed is never negative.
4
$a = 2 t - 7$ — a–t: a straight line. It starts at −7 and crosses the t-axis at 3.5, where v is lowest.
5
$s = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{7 t ^{2}}{2} + 10 t$ — s–t: rises to a peak of 26/3 at $t = 2$ , falls to 25/6 at $t = 5$ , then rises again.
6
$distance$ — Distance–time: like s–t, but it never goes down. From 2 to 5 it keeps rising instead of falling.

Example

Constant acceleration from rest: the v–t graph is a straight line through the origin. If $s = 20$ m at $t = 5$ , the triangle area gives $\frac{1}{2} \times 5 \times v = 20$ , so $v = 8$ m/s, and $a$ = gradient = $\frac{8}{5} = 1.6$ m/s².

Common mistake

Drawing speed below the t-axis. Speed is the size of velocity, so reflect the negative parts up.

Key idea

Where $v$ changes sign, the s–t graph has a peak or a dip. Where $a$ changes sign, the v–t graph has a peak or a dip.

6. Which method? Read the question

اقرأ المعطى والمطلوب لتعرف الاتجاه. إذا أُعطيت الإزاحة وطُلبت السرعة أو التسارع فاشتق، مرة للسرعة ومرتين للتسارع. إذا أُعطي التسارع وطُلبت السرعة، أو أُعطيت السرعة وطُلبت الإزاحة، فكامل وأضف الثابت ثم جده من المعلوم. «ساكن» أو «يغيّر اتجاهه»: اجعل السرعة صفرًا. «أكبر سرعة»: اجعل التسارع صفرًا. «المسافة المقطوعة»: قسّم عند لحظات السكون واجمع مقادير التغيرات في الإزاحة. «الإزاحة» عند زمن: عوّض بالزمن في الإزاحة. رسم منحنى في كامبريدج: روابط الميل والمساحة، والسرعة القياسية والمسافة لا تنزلان تحت المحور. الخطأ الشائع الخلط بين الرموز: السكون يعني أن السرعة صفر، لا التسارع. اشتق لتنزل في السلسلة، وكامل لتصعد مستعملًا المعلومات لإيجاد كل ثابت.

Read what you are given and what you are asked for. That tells you which way to go.

You see	You do
Given $s$ , find $v$ or $a$	Differentiate (once for v, twice for a)
Given $a$ , find $v$ ; given $v$ , find $s$	Integrate, + c, then use the given fact to find c
“At rest” or “changes direction”	Solve $v = 0$
“Maximum velocity”	Solve $a = 0$
“Distance travelled”	Split where $v = 0$ ; add the sizes of each change in $s$
“Displacement” at a time	Put the time into $s$
Sketch a graph (0606 / 4037)	Gradient and area links; speed and distance never go below the axis

Common mistake

Mixing up the letters. Velocity is not acceleration: at rest means $v = 0$ , not $a = 0$ .

Key idea

Differentiate to go down the chain s → v → a. Integrate to come back up, and use the facts given to find each + c.

تدرّب على الحركة باستخدام التفاضل والتكامل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الحركة باستخدام التفاضل والتكامل

1. Displacement, velocity, acceleration

2. Integrate to go back up

3. Distance is not displacement

4. Motion with e

5. Motion graphs

6. Which method? Read the question

تدرّب على الحركة باستخدام التفاضل والتكامل

أسئلة امتحانات سابقة على الحركة باستخدام التفاضل والتكامل، محلولة ومشروحة بالعربي