شرح التكاملات المحددة والمساحات

Definite Integrals and Areas

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. From integral to area

حقل له حافة منحنية لا يوجد لمساحته قانون بسيط، والتكامل يعطي المساحة بدقة. حتى الآن لم يكن لتكاملاتك حدود وكانت تنتهي بثابت التكامل. أما التكامل المحدد فله حدّان، سفلي وعلوي، وجوابه عدد. الطريقة: كامل الدالة، ثم عوّض بالحد العلوي أولًا واطرح منه قيمة الحد السفلي. لا نكتب ثابت التكامل لأنه يظهر في القيمتين فيُحذف عند الطرح. في المثال نكامل كل حد ونكتب الناتج بين قوسين مربعين والحدّان على يمينه، ثم نعوّض بالحد العلوي في قوس وبالحد السفلي في قوس آخر ونطرح. هذا غير مطبوع في أي منهج فاحفظه، وعلى سطر التعويض بالحدود درجة طريقة، فاكتبه دائمًا. وقديمًا وجد أرخميدس مساحة جزء من قطع مكافئ بملئه بمثلثات أصغر فأصغر وجمعها، وهذه فكرة التكامل نفسها.

A farmer's field has one curved edge. There is no simple area formula for that shape. Integration gives the exact area.

So far your integrals had no limits and ended with + c. A definite integral has two limits, a bottom one and a top one, and its answer is a number.

Formula

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

$b$ — the upper limit. Put it in first.
$a$ — the lower limit. Subtract its value.
$F (x)$ — the integral of $f (x)$ , written without + c.

Why no + c? It would appear in both values and cancel: $(F (b) + c) - (F (a) + c) = F (b) - F (a)$ .

Worked example

1
Find $\int_{1}^{3} (3 x^{2} - 2 x) d x$ .
2
$[x^{3} - x^{2}]_{1}^{3}$ — Integrate. Write the answer in square brackets with the limits on the right.
3
$= (3^{3} - 3^{2}) - (1^{3} - 1^{2})$ — Top limit in, minus bottom limit in. Keep each in its own bracket.
4
$= 18 - 0 = 18$ — 27 − 9 = 18 and 1 − 1 = 0.

Rule

Learn this. No board prints it. Mark schemes give a method mark for showing the limits put in, so always write the substitution line.

Key idea

Over 2,200 years ago, Archimedes found the exact area of a region cut from a parabola. He filled it with smaller and smaller triangles and added them up, which is the same idea as an integral.

Key idea

Integrate, then top minus bottom. A definite integral is a number, so there is no + c.

2. Exact answers

في الورقة بلا آلة حاسبة تكون الحدود غالبًا أعدادًا مثل سدس باي أو اللوغاريتم الطبيعي لعدد. استخدم القيم الدقيقة، واترك الجواب بالجذور أو باي أو اللوغاريتم إذا لم يتبسّط. في المثال الأول تكامل جيب التمام يعطي الجيب، ونقسم على معامل السين، ثم نعوّض بالحدين ونستعمل القيمة الدقيقة للجيب. وفي الثاني تكامل الدالة الأسية للعدد النيبيري يبقي الأس كما هو مع القسمة على معامله، ثم نستعمل قوانين اللوغاريتمات: ضعف اللوغاريتم هو لوغاريتم المربع، والدالة الأسية واللوغاريتم الطبيعي يلغي كل منهما الآخر. الخطأ الشائع الظن أن الحد السفلي صفر يعطي دائمًا صفرًا؛ جيب تمام الصفر واحد، وكذلك الدالة الأسية عند الصفر. واكتب كل قيمة بين قوسين قبل الطرح حتى لا تضيع الإشارة.

On the non-calculator paper (0606 and 4037 Paper 1), the limits are often numbers like $\frac{π}{6}$ or $ln 3$ . Use exact values, and leave answers with surds, π or ln when they do not simplify.

Worked example

1
Find the exact value of $\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 cos 2 x d x$ .
2
$[2 sin 2 x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ — Cosine gives sine. Divide 4 by 2.
3
$= 2 sin \frac{π}{3} - 2 sin 0$ — Put in the limits. $2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ .
4
$= 2 \times \frac{3}{2} - 0 = 3$ — Exact value: $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .

Worked example

1
Find the exact value of $\int_{0}^{l n 3} 2 e^{2 x} d x$ .
2
$[e^{2 x}]_{0}^{l n 3}$ — Keep the power, divide 2 by 2.
3
$= e^{2 l n 3} - e^{0}$ — Put in the limits.
4
$= e^{l n 9} - 1 = 9 - 1 = 8$ — $2 ln 3 = ln 9$ , and $e^{l n 9} = 9$ . Any number to the power 0 is 1.

Example

0606 and 4037: $\int_{1}^{3} \frac{4}{2 x - 1} d x = [2 ln (2 x - 1)]_{1}^{3}$ $= 2 ln 5 - 2 ln 1 = 2 ln 5$ , since $ln 1 = 0$ .

Common mistake

Thinking the lower limit 0 always gives 0. $cos 0 = 1$ and $e^{0} = 1$ , so those terms do not vanish.

Common mistake

Dropping brackets when you subtract. $- (1 - 2)$ is $+ 1$ . Write each value in its own bracket first.

Key idea

Exact values in, exact answer out. Simplify ln and e terms with the log laws.

3. Area under a curve

تخيّل المنطقة تحت المنحنى شرائح رفيعة كثيرة تقف على المحور السيني، ارتفاع كل شريحة قيمة الصاد وعرضها صغير جدًا، والتكامل يجمعها كلها. لذلك المساحة هي تكامل الصاد بين الحدين، بشرط أن يكون المنحنى فوق المحور السيني. الخطوات: جد الحدود، وإذا لم تُعطَ فاجعل الصاد صفرًا لترى أين يقطع المنحنى المحور السيني، ثم كامل، ثم عوّض: العلوي ناقص السفلي. في المثال الأول نحلّل المعادلة التربيعية لنجد نقطتي التقاطع مع المحور فتكونان الحدين، ثم نكامل كل حد ونعوّض بحذر مع الكسور. وفي المثال الثاني المساحة معطاة والحد العلوي مجهول: نكامل ونعوّض فنحصل على عبارة فيها المجهول، نساويها بالمساحة ونحلّ المعادلة التربيعية، ونرفض القيمة السالبة لأن الحد يجب أن يكون أكبر من الصفر.

Think of the region under a curve as many thin strips standing on the x-axis. Each strip has height $y$ and a tiny width. Adding them all up is exactly what the integral does.

Formula

Area = \int_{a}^{b} y d x

$y$ — the equation of the curve. It must be above the x-axis between the limits.
$a$ — the x-value where the region starts.
$b$ — the x-value where the region ends.

Steps

1
1. Find the limits. If they are not given, solve $y = 0$ to see where the curve meets the x-axis.
2. Integrate $y$ .
3. Put in the limits: top minus bottom.

Worked example

1
Find the area enclosed by the curve $y = 6 x - x^{2} - 5$ and the x-axis.
2
$6 x - x^{2} - 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$ — Find where the curve meets the x-axis. These are the limits.
3
$\int_{1}^{5} (6 x - x^{2} - 5) d x = [3 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3} - 5 x]_{1}^{5}$ — Integrate each term.
4
$= \frac{25}{3} - (- \frac{7}{3})$ — At 5: 75 − 125/3 − 25 = 25/3. At 1: 3 − 1/3 − 5 = −7/3.
5
$= \frac{32}{3}$ — The area, in square units.

Worked example

1
The area under $y = 2 x + 1$ from $x = 0$ to $x = k$ is 12. Find $k$ .
2
$[x^{2} + x]_{0}^{k} = k^{2} + k$ — Integrate and put in the limits. The answer has $k$ in it.
3
$k^{2} + k = 12 \Rightarrow (k + 4) (k - 3) = 0$ — Set it equal to the area and solve.
4
$k = 3$ — $k$ must be bigger than 0, so reject −4.

Key idea

No limits given? Find where the curve crosses the x-axis. Those are your limits.

4. Below the x-axis

حيث يكون المنحنى تحت المحور السيني تكون الصاد سالبة، فيخرج التكامل هناك سالبًا. والمساحة لا تكون سالبة أبدًا، فنأخذ مقدارها ونهمل الإشارة. في المثال نحلّل المعادلة لنعرف أين يقطع المنحنى المحور: قبل نقطة القطع الأولى يكون فوق المحور، وبين نقطتي القطع يكون تحته. نكامل كل جزء وحده: الجزء العلوي يعطي قيمة موجبة، والسفلي يعطي قيمة سالبة كما نتوقع، ثم نجمع مقداري الجزأين. أما إذا كاملت مباشرة على المدى كله فيُلغي الجزءان بعضهما ويخرج جواب خاطئ. الخطأ الشائع التكامل عبر نقطة يقطع فيها المنحنى المحور؛ قسّم عندها دائمًا. والرسم السريع يحفظ لك الدرجات: يريك أين يقطع المنحنى المحور وأين تقسم.

Where the curve is below the x-axis, $y$ is negative. So the integral there comes out negative. An area can never be negative, so take its size.

Formula

Area = \int_{a}^{b} y d x when y < 0

$y$ — the curve, below the x-axis between $a$ and $b$ . The bars mean: ignore the minus sign.

Worked example

1
Find the total area between $y = x^{2} - 4 x + 3$ and the x-axis, from $x = 0$ to $x = 3$ .
2
$x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ — The curve crosses the x-axis at 1 and 3. From 0 to 1 it is above; from 1 to 3 it is below.
3
$\int_{0}^{1} y d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$ — The part above the axis.
4
$\int_{1}^{3} y d x = 0 - \frac{4}{3} = - \frac{4}{3}$ — The part below the axis: negative, as expected.
5
$Area = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ — Add the sizes of the two parts.

If you integrate straight from 0 to 3 you get $\frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$ . The two parts cancel, and the answer is wrong.

Common mistake

Integrating across a point where the curve crosses the x-axis. Always split there first.

Key idea

A sketch saves marks. See where the curve crosses, split there, and add the sizes of the parts.

5. Between a line and a curve

هنا المنطقة محصورة بين منحنيين، وكل شريحة رفيعة تمتد من المنحنى الأسفل إلى الأعلى، فارتفاعها الأعلى ناقص الأسفل. المساحة تكامل الفرق بين الأعلى والأسفل، والحدود هي نقاط التقاء المنحنيين، ونجدها بمساواة المعادلتين. في المثال نساوي معادلة المنحنى بمعادلة الخط فنجد نقطتي الالتقاء، ونعوّض بقيمة بينهما لنعرف أيّهما في الأعلى، ثم نكامل الفرق. وطريقة أخرى شائعة في سلّم الدرجات: المساحة تحت المنحنى ناقص الشكل تحت الخط، مثلثًا كان أو شبه منحرف. وفي مثال كامبريدج نضرب الطرفين في المقام لنجد الحدود، ونحسب شبه المنحرف تحت الخط، ونطرح منه التكامل تحت المنحنى الذي يعطي لوغاريتمًا، ونترك الجواب دقيقًا. الخطأ الشائع الطرح بالترتيب الخاطئ فتخرج مساحة سالبة؛ جرّب قيمة بين الحدين.

Now the region is trapped between two graphs. Each thin strip goes from the lower graph up to the upper graph, so its height is top minus bottom.

Formula

Area = \int_{a}^{b} (y_{top} - y_{bottom}) d x

$y_{top}$ — the graph that is higher between the limits.
$y_{bottom}$ — the graph that is lower.
$a, b$ — the x-values where the two graphs meet. Find them by setting the equations equal.

Worked example

1
Find the area between the curve $y = 4 x - x^{2}$ and the line $y = x$ .
2
$4 x - x^{2} = x \Rightarrow x (3 - x) = 0$ — Set the equations equal. They meet at $x = 0$ and $x = 3$ .
3
$\int_{0}^{3} (4 x - x^{2} - x) d x = \int_{0}^{3} (3 x - x^{2}) d x$ — At $x = 1$ the curve is at 3 and the line at 1, so the curve is on top.
4
$= [\frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$ — Integrate and put in the limits.

Another way, often used in mark schemes: area under the curve minus the shape under the line. Here $\int_{0}^{3} (4 x - x^{2}) d x = 9$ , and the triangle under the line is $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ . So the area is $9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$ again.

Worked example

1
0606 and 4037: find the exact area between the curve $y = \frac{7}{2 x - 1}$ and the line $y = 9 - 2 x$ .
2
$\frac{7}{2 x - 1} = 9 - 2 x \Rightarrow 4 x^{2} - 20 x + 16 = 0$ — Multiply both sides by $2 x - 1$ and tidy.
3
$4 (x - 1) (x - 4) = 0, x = 1, 4$ — The limits. The line is on top between them.
4
$Trapezium = \frac{1}{2} (7 + 1) \times 3 = 12$ — Under the line: at $x = 1$ , $y = 7$ ; at $x = 4$ , $y = 1$ .
5
$\int_{1}^{4} \frac{7}{2 x - 1} d x = [\frac{7}{2} ln (2 x - 1)]_{1}^{4} = \frac{7}{2} ln 7$ — Under the curve. $ln 1 = 0$ .
6
$Area = 12 - \frac{7}{2} ln 7$ — Line shape minus curve area. Leave it exact.

Common mistake

Subtracting the wrong way round and getting a negative area. Test one x-value between the limits to see which graph is on top.

Key idea

Top minus bottom works everywhere, even below the x-axis, because the difference is always positive.

6. Two curves, and the y-axis

المنحنيان يُعاملان تمامًا مثل خط ومنحنى: جد نقاط الالتقاء، ثم كامل الأعلى ناقص الأسفل. في المثال الأول نساوي المعادلتين فنجد حدين متماثلين أحدهما سالب، ونعرف الأعلى بالتعويض عند الصفر، ثم نكامل الفرق. انتبه عند التعويض بالحد السالب: ضعه بين قوسين. ومنهج إدكسل يذكر أيضًا المساحة بين منحنى والمحور الصادي: هنا نقلب كل شيء، فنجعل السين موضوع القانون بدلالة الصاد، ونكامل بالنسبة للصاد، والحدود قيم للصاد. في المثال نكتب السين جذرًا تربيعيًا للصاد، أي الصاد أسّ نصف، ثم نكامل ونعوّض بحدّي الصاد. الخطأ الشائع استعمال حدود سينية في تكامل بالنسبة للصاد؛ الحدود يجب أن تطابق المتغير الذي تكامل بالنسبة له.

Two curves work exactly like a line and a curve: find where they meet, then integrate top minus bottom.

Worked example

1
Find the area enclosed by $y = x^{2}$ and $y = 8 - x^{2}$ .
2
$x^{2} = 8 - x^{2} \Rightarrow x^{2} = 4, x = \pm 2$ — Set them equal to find the limits.
3
$\int_{- 2}^{2} (8 - x^{2} - x^{2}) d x = \int_{- 2}^{2} (8 - 2 x^{2}) d x$ — At $x = 0$ : 8 is above 0, so $8 - x^{2}$ is on top.
4
$= [8 x - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{- 2}^{2} = \frac{32}{3} - (- \frac{32}{3}) = \frac{64}{3}$ — Careful with the negative limit: put in −2 inside brackets.

4PM1 also lists the area between a curve and the y-axis. Turn everything round: make $x$ the subject and integrate with respect to $y$ .

Formula

Area = \int_{c}^{d} x d y

$x$ — the curve written as $x$ in terms of $y$ .
$c$ — the lower y-value.
$d$ — the upper y-value.

Worked example

1
4PM1: find the area between $y = x^{2}$ ( $x \geq 0$ ), the y-axis, and the lines $y = 1$ and $y = 4$ .
2
$x = y = y^{\frac{1}{2}}$ — Make $x$ the subject.
3
$\int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y = [\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ — Integrate with respect to $y$ . The limits are y-values.
4
$= \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}$ — $4^{\frac{3}{2}} = 8$ and $1^{\frac{3}{2}} = 1$ .

Common mistake

Using x-limits in an integral with $d y$ . The limits must match the letter you integrate with.

Key idea

Same method every time: find where the graphs meet, decide which is on top, integrate the difference.

7. Which method? Read the question

اقرأ السؤال وانظر إلى الرسم. تكامل بحدود عددية: كامل ثم العلوي ناقص السفلي، بلا ثابت تكامل. «القيمة الدقيقة»: استخدم القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والدالة الأسية واللوغاريتم، بلا أعداد عشرية. منطقة بين منحنى والمحور السيني: اجعل الصاد صفرًا لتجد الحدود ثم كامل. جزء من المنحنى تحت المحور: قسّم عند نقطة القطع واجمع المقادير. خط ومنحنى: جد نقاط الالتقاء، ثم كامل الأعلى ناقص الأسفل، أو مساحة المنحنى ناقص المثلث أو شبه المنحرف. منحنيان: نقاط الالتقاء ثم الأعلى ناقص الأسفل. مساحة بجانب المحور الصادي في إدكسل: اجعل السين موضوع القانون وكامل بالنسبة للصاد بحدود صادية. المساحة معطاة والمطلوب حد مجهول: كامل بالمجهول حدًّا وساوِ بالمساحة وحلّ. لا تقرّب مبكرًا.

Read the question and look at the sketch. What you see tells you what to do.

You see	You do
$\int_{a}^{b}$ with numbers	Integrate, then top limit minus bottom limit. No + c
“Exact value”	Use exact values of sin, cos, e and ln. No decimals
Region between a curve and the x-axis	Solve $y = 0$ for the limits, then integrate $y$
Part of the curve below the x-axis	Split at the crossing point and add the sizes
A line and a curve	Find where they meet; integrate top − bottom, or curve area minus triangle or trapezium
Two curves	Find where they meet; integrate top − bottom
Area next to the y-axis (4PM1)	Make $x$ the subject; integrate $x d y$ with y-limits
The area is given, find $k$	Integrate with $k$ as a limit, set equal to the area, solve

Common mistake

Rounding too early. Keep exact values to the end, and give decimals only when the question asks.

Key idea

Sketch first. The picture tells you the limits, which graph is on top, and where to split.

تدرّب على التكاملات المحددة والمساحات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التكاملات المحددة والمساحات

1. From integral to area

2. Exact answers

3. Area under a curve

4. Below the x-axis

5. Between a line and a curve

6. Two curves, and the y-axis

7. Which method? Read the question

تدرّب على التكاملات المحددة والمساحات

أسئلة امتحانات سابقة على التكاملات المحددة والمساحات، محلولة ومشروحة بالعربي