شرح الاستدلال بالزوايا متعدد الخطوات

Multi-Step Angle Reasoning

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Reason for Every Line

في السؤال الطويل الذي يطلب سببًا لكل مرحلة: جد أي زاوية تستطيع إيجادها، واكتب سببها، ثم استعملها لإيجاد التالية. الأسباب التي تكتبها: الزوايا على خط مستقيم مجموعها مئة وثمانون، والزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان، وزوايا المثلث مجموعها مئة وثمانون، والزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. وأيضًا: كل زاوية في المثلث المتساوي الأضلاع ستون، وزاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان، وزوايا الشكل الرباعي مجموعها ثلاثمئة وستون، ومع المتوازيات الزوايا المتبادلة والمتناظرة متساوية، والزاويتان الداخليتان في جهة واحدة مجموعهما مئة وثمانون. علّم كل زاوية تجدها على الرسم. ودرجات الأسباب لا تُحسب إلا إذا كان الحل بجانبها صحيحًا، فاكتب الأسماء الكاملة لا اختصارات مثل «زاوية على شكل حرف».

The 4 or 5-mark question says "Give a reason for each stage of your working". Find any angle you can, write its reason, then use it to find the next one.

Fact	Reason to write
On a line	angles on a straight line add up to 180°
Round a point	angles at a point add up to 360°
Crossing lines	vertically opposite angles are equal
Triangle	angles in a triangle add up to 180°
A side extended past a triangle	the exterior angle of a triangle equals the sum of the two opposite interior angles
All three sides equal	angles in an equilateral triangle are each 60°
Two equal sides	base angles of an isosceles triangle are equal
Four sides	angles in a quadrilateral add up to 360°
Parallel lines	alternate or corresponding angles are equal
Parallel lines, C shape	co-interior angles add up to 180°

Key idea

Mark each angle you find on the diagram as you go. The next step is often next to it.

Key idea

Often 2 of the marks are for the reasons. They only count when the working next to them is right, so find the angle carefully first.

Common mistake

Writing “Z angles”, “F angles” or just “opposite”. Use the full words: alternate, corresponding, vertically opposite. The reason mark needs them.

2. The Exterior Angle of a Triangle

إذا مددت أحد أضلاع المثلث تتكون زاوية خارجية، وهي تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. في المثال نختار الزاويتين اللتين لا تلمسان الرأس الذي عنده الزاوية الخارجية، ثم نجمعهما ونكتب السبب كاملًا: الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين المقابلتين. ونتحقق أن الناتج أقل من مئة وثمانين لأنه يقع على خط مستقيم. هذه القاعدة اختصار لخطوتين: إيجاد الزاوية الثالثة في المثلث، ثم طرحها من مئة وثمانين. الخطأ الشائع أن تجمع الزاوية الملاصقة للزاوية الخارجية، والصحيح أن تستعمل الزاويتين اللتين لا تلمسانها.

Extend one side of a triangle. The angle outside is the exterior angle. It equals the two inside angles that are furthest from it.

Triangle $P QR$ has angle $P = 7 2^{\circ}$ and angle $Q = 5 3^{\circ}$ . Side $QR$ is extended to $S$ . Find angle $P R S$ .

Worked example

1
$∠ P = 7 2^{\circ}, ∠ Q = 5 3^{\circ}$ — Pick the two inside angles that do not touch R. The exterior angle at R is built from these two.
2
$∠ P R S = 72 + 53$ — The exterior angle of a triangle equals the sum of the two opposite interior angles. Write this reason in full.
3
$∠ P R S = 12 5^{\circ}$ — 72 + 53 = 125. It is less than 180°, as it must be, since it sits on the straight line QRS.

Key idea

It is a shortcut for two steps: $180 - 72 - 53 = 55$ , then $180 - 55 = 125$ .

Common mistake

Adding the angle next to the exterior angle. Use the two angles that do not touch it.

3. Crossing Lines in the Chain

عندما يتقاطع مستقيمان يتكون شكل يشبه علامة الضرب، والزاويتان المتقابلتان متساويتان، وكثيرًا ما تكون هذه أول حلقة في السلسلة. في المثال ننقل الزاوية المعلومة إلى الجهة المقابلة لأن الزاويتين متقابلتان بالرأس. ثم يصبح في المثلث زاويتان معلومتان، فنجد الثالثة لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون. وأخيرًا نجد الزاوية المطلوبة لأنها مع الزاوية التي وجدناها على خط مستقيم واحد، ونتحقق بقاعدة الزاوية الخارجية. اكتب السبب كاملًا: «متقابلتان بالرأس»، لا «متقابلتان» فقط، لتحصل على الدرجة.

Two straight lines crossing make an X. The angles opposite each other are equal, and this is often the first link in the chain.

Straight lines $A B$ and $C D$ cross at $P$ . Angle $A P C = 6 4^{\circ}$ . In triangle $P B D$ , angle $P D B = 4 7^{\circ}$ . $G$ is on $A B$ extended past $B$ . Find angle $D B G$ .

Worked example

1
$∠ B P D = 6 4^{\circ}$ — Vertically opposite angles are equal. APC and BPD sit opposite each other where AB and CD cross.
2
$∠ P B D = 180 - 64 - 47$ — Angles in a triangle add up to 180°. Triangle PBD now has two known angles.
3
$∠ P B D = 6 9^{\circ}$ — 180 − 64 = 116, then 116 − 47 = 69.
4
$∠ D B G = 180 - 69$ — Angles on a straight line add up to 180°. PB and BG lie on the same line AB.
5
$∠ D B G = 11 1^{\circ}$ — 180 − 69 = 111. Check with the exterior angle: 64 + 47 = 111 too.

Common mistake

Writing “opposite angles are equal”. The reason must say vertically opposite to get the mark.

4. A Reflex Angle in the Diagram

قد يعطيك السؤال زاوية منعكسة عند أحد رؤوس الشكل، فاطرحها من ثلاثمئة وستين لتحصل على الزاوية داخل الشكل، والسبب أن الزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون. تحقق أن الناتج أقل من مئة وثمانين حتى يصلح زاوية في المثلث. بعد ذلك، بما أن الضلع ممتد على خط مستقيم، فالزاوية المطلوبة زاوية خارجية للمثلث، وهي تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. الخطأ الشائع استعمال الزاوية المنعكسة نفسها داخل المثلث، مع أن كل زاوية في المثلث أقل من مئة وثمانين.

The 4-mark question can give a reflex angle. Take it from $36 0^{\circ}$ to get the angle inside the shape.

In triangle $A B C$ , the reflex angle at $B$ is $29 0^{\circ}$ and angle $A = 4 5^{\circ}$ . $A C D$ is a straight line. Find angle $B C D$ .

Worked example

1
$∠ A B C = 360 - 290$ — Angles at a point add up to 360°. The reflex angle and the angle inside the triangle go all the way round B.
2
$∠ A B C = 7 0^{\circ}$ — 360 − 290 = 70. It is less than 180°, so it can be an angle of the triangle.
3
$∠ B C D = 70 + 45$ — ACD is a straight line, so BCD is an exterior angle. It equals the two opposite interior angles, at B and A, added.
4
$∠ B C D = 11 5^{\circ}$ — 70 + 45 = 115.

Common mistake

Using 290° inside the triangle. A triangle's angles are each less than 180°.

5. When the Top Angle Is Given

في المثلث المتساوي الساقين، إذا أُعطيت زاوية الرأس بين الضلعين المتساويين، فإن زاويتي القاعدة تتقاسمان الباقي من مئة وثمانين بالتساوي. أي: اطرح زاوية الرأس من مئة وثمانين ثم اقسم على اثنين. في المثال نفعل ذلك أولًا لأن زوايا المثلث مجموعها مئة وثمانون، ثم ننصف الباقي لأن زاويتي القاعدة متساويتان. بعدها نستعمل أن كل زاوية في المستطيل قائمة، ثم نطرح الزاويتين من ثلاثمئة وستين لأن الزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون، ونتحقق أن الجواب أكبر من مئة وثمانين لأنه زاوية منعكسة. الخطأ الشائع نسيان القسمة على اثنين، وزاويتان بذلك الحجم لا يمكن أن تكونا في مثلث واحد.

Two equal sides, and the question gives the angle between them. The other two angles share what is left of 180° equally.

Formula

base angle = \frac{18 0 ^{\circ} - top angle}{2}

The top angle is the one between the two equal sides. The two base angles are at the ends of the third side, and they are equal.

Triangle $A B E$ has $A B = A E$ and angle $B A E = 3 6^{\circ}$ . It sits on side $B E$ of rectangle $B C D E$ . Find the reflex angle $x$ at $E$ , outside the shape, between $E A$ and $E D$ .

Worked example

1
$180 - 36 = 144$ — Angles in a triangle add up to 180°. Take away the top angle: the two base angles share the 144° left.
2
$∠ A E B = 144 \div 2 = 7 2^{\circ}$ — Base angles of an isosceles triangle are equal, so each one gets half.
3
$∠ B E D = 9 0^{\circ}$ — Every angle of a rectangle is 90°.
4
$x = 360 - 72 - 90$ — Angles at a point add up to 360°. The angles AEB, BED and x go all the way round E.
5
$x = 19 8^{\circ}$ — 72 + 90 = 162, and 360 − 162 = 198. It is more than 180°, which is right, because x is a reflex angle.

Common mistake

Forgetting to halve, so each base angle comes out as 144°. Two angles of 144° add to more than 180°, so that cannot be right.

6. A Chain of Four Facts

هذا سؤال طويل يجمع خطًا مستقيمًا ومثلثًا متساوي الساقين وشكلًا رباعيًا في رسم واحد، والحل سلسلة من أربع حقائق. أولًا نجد زاوية في المثلث لأنها مع الزاوية المعطاة على خط مستقيم. ثانيًا ننقلها إلى زاوية القاعدة الأخرى لأن المثلث متساوي الساقين. ثالثًا نجد زاوية الرأس الثالثة لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون، وهي جزء من الزاوية المطلوبة. رابعًا نجد الجزء الآخر من الشكل الرباعي لأن مجموع زواياه ثلاثمئة وستون. وأخيرًا نجمع الجزأين لأنهما متجاوران ويكوّنان الزاوية المطلوبة. لا تكتب الأعداد وحدها، فبدون الأسباب قد تخسر درجتين أو ثلاثًا.

The 5-mark question: a straight line, an isosceles triangle and a quadrilateral all in one diagram.

$D E F$ is a straight line with angle $C E F = 11 8^{\circ}$ . $C D = C E$ . In quadrilateral $A B C D$ , $A = 8 8^{\circ}$ , $B = 10 4^{\circ}$ and $∠ A D C = 9 5^{\circ}$ . Find angle $B C E$ .

Worked example

1
$∠ C E D = 180 - 118$ — Angles on a straight line add up to 180°. CED and CEF sit side by side on the line DEF.
2
$∠ C E D = 6 2^{\circ}$ — 180 − 118 = 62.
3
$∠ C D E = 6 2^{\circ}$ — Base angles of an isosceles triangle are equal. CD = CE, so the angles at D and E match.
4
$∠ D C E = 180 - 62 - 62$ — Angles in a triangle add up to 180°. Triangle CDE now has two known angles.
5
$∠ D C E = 5 6^{\circ}$ — 62 + 62 = 124, and 180 − 124 = 56. This is one part of the angle at C.
6
$∠ B C D = 360 - 88 - 104 - 95$ — Angles in a quadrilateral add up to 360°. Use the three known angles of ABCD.
7
$∠ B C D = 7 3^{\circ}$ — 88 + 104 + 95 = 287, and 360 − 287 = 73. This is the other part of the angle at C.
8
$∠ B C E = 73 + 56 = 12 9^{\circ}$ — BCD and DCE sit side by side and make up BCE, so add the two parts.

Common mistake

Writing only the numbers. Without the reasons, a 5-mark answer can lose 2 or 3 marks.

7. A Bend Between Parallel Lines

عندما ينثني مسار عند نقطة بين مستقيمين متوازيين، ارسم من نقطة الانثناء خطًا جديدًا موازيًا لهما، فتتكون زوايا متبادلة. هذا الخط يقسم زاوية الانثناء إلى جزء علوي وجزء سفلي. الجزء العلوي يساوي الزاوية المعطاة عند الخط الأعلى لأن الزاويتين المتبادلتين متساويتان. ثم نطرح الجزء العلوي من زاوية الانثناء لنحصل على الجزء السفلي. والجزء السفلي يساوي الزاوية المطلوبة عند الخط الأسفل لأنهما متبادلتان أيضًا. وتذكّر: زاوية الانثناء تساوي دائمًا مجموع الزاويتين الخارجيتين.

The 4-mark question: a path bends at $E$ , between two parallel lines. Draw a new line through $E$ , parallel to both. Now there are two Z shapes.

$A B$ is parallel to $C D$ . Angle $B A E = 4 8^{\circ}$ and angle $A E C = 11 5^{\circ}$ . Find angle $E C D$ .

Worked example

1
$draw a line through E ∥ A B$ — This new line is parallel to both AB and CD. It splits the 115° at E into a top part and a bottom part.
2
$top part = 4 8^{\circ}$ — Alternate angles are equal. The top part and BAE make a Z shape with AB and the new line.
3
$bottom part = 115 - 48$ — The two parts together make the whole 115° at E.
4
$bottom part = 6 7^{\circ}$ — 115 − 48 = 67.
5
$∠ E C D = 6 7^{\circ}$ — Alternate angles are equal. The bottom part and ECD make a Z shape with the new line and CD.

Key idea

The bend angle is always the two outer angles added: $48 + 67 = 115$ .

8. Which Method? Read the Question

اكتب ما يخبرك به السؤال: خطوط مستقيمة، أضلاع متساوية، خطوط متوازية، فكل واحدة حقيقة تستطيع استعمالها. إذا امتد ضلع خارج المثلث فاجمع الزاويتين الداخليتين البعيدتين. وإذا رأيت زاوية منعكسة فاطرحها من ثلاثمئة وستين لتحصل على الزاوية الداخلية. والمستقيمان المتقاطعان يعطيان زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتين. والضلعان المتساويان يعنيان زاويتين متساويتين، وإذا أُعطيت زاوية الرأس فاطرحها من مئة وثمانين واقسم على اثنين. والانثناء بين متوازيين يعني أن ترسم خطًا موازيًا عبر نقطة الانثناء. ولزوايا النقطة والخط وزوايا المضلعات دروس خاصة. اكتب كل سبب كاملًا بالكلمات بجانب سطره.

List what the question tells you: straight lines, equal sides, parallel lines. Each one is a fact you can use.

You see	You do
A side extended past a triangle	add the two opposite inside angles
A reflex angle	360 − it, to get the inside angle
Two lines crossing (an X)	vertically opposite angles are equal
Two equal sides	isosceles: two equal angles
Two equal sides, top angle given	(180 − top angle) ÷ 2 for each base angle
A bend between parallel lines	draw a parallel line through the bend
Only lines and a point	Angles at a Point and on a Line
One polygon, many sides	Interior and Exterior Angles of Polygons

Key idea

Write each reason in full, in words, next to its line.

تدرّب على الاستدلال بالزوايا متعدد الخطوات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاستدلال بالزوايا متعدد الخطوات

1. A Reason for Every Line

2. The Exterior Angle of a Triangle

3. Crossing Lines in the Chain

4. A Reflex Angle in the Diagram

5. When the Top Angle Is Given

6. A Chain of Four Facts

7. A Bend Between Parallel Lines

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاستدلال بالزوايا متعدد الخطوات

أسئلة امتحانات سابقة على الاستدلال بالزوايا متعدد الخطوات، محلولة ومشروحة بالعربي