شرح الرسم بمقياس رسم

Scale Drawings

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Small Drawing, Real Distance

الرسم بمقياس أو الخريطة يُظهر الأشياء الحقيقية أصغر، وكل الأطوال مصغّرة بالقدر نفسه، ومقياس الرسم يخبرك بهذا القدر. قد يُكتب المقياس بالكلمات، أي كل سنتيمتر على الخريطة يمثّل مسافة حقيقية معينة، أو يُكتب كنسبة تعني أن الطول الحقيقي أكبر بعدد معين من المرات. القاعدة الأساسية: من الرسم إلى الواقع نضرب، ومن الواقع إلى الرسم نقسم.

A scale drawing or map shows real things smaller, with every length shrunk by the same amount. The scale tells you how much.

The scale says	It means
1 cm represents 25 km	each cm on the map is 25 km
1 : 50 000	real lengths are 50 000 times bigger

Rule

Drawing to real: multiply. Real to drawing: divide.

2. Map to Real Distance

أشهر سؤال في هذا الدرس وقد يصل إلى أربع درجات: قِس مسافة على الخريطة ثم استخدم المقياس. أولًا ضع صفر المسطرة على المدينة الأولى واقرأ موضع المدينة الثانية، فهذه مسافة الخريطة. ثم اضرب في المقياس، لأننا ننتقل من الرسم إلى الواقع، فكل سنتيمتر يمثل المسافة المذكورة في المقياس. الخطأ الشائع: القسمة على المقياس؛ تذكّر أن المسافة الحقيقية دائمًا أكبر بكثير من مسافة الخريطة. اكتب عملية الضرب، فقراءة المسطرة يُقبل فيها فرق صغير، وهناك درجة لإظهار القياس مضروبًا في المقياس حتى لو كانت الإجابة النهائية مختلفة قليلًا. وغالبًا تُستخدم هذه المسافة في أجزاء لاحقة لحساب زمن أو سرعة.

The most common question, worth up to 4 marks: measure a distance on the map, then use the scale. The scale is 1 cm represents 25 km.

Worked example

1
$measure: 6 cm$ — Put the 0 of your ruler on one town and read where the other town is. This is the map distance.
2
$6 \times 25 = 150 km$ — Drawing to real: multiply. Each of the 6 centimetres stands for 25 km, so 6 lots of 25 km.

Common mistake

Dividing by the scale. A real distance is always much bigger than the map distance.

Key idea

Write the working, like 6 × 25. Your ruler reading only needs to be within about 2 mm, and there is a mark for showing measurement × scale even if the final answer is a little off.

Key idea

Later parts often use this distance for a time or a speed. See Speed, Distance and Time.

3. From Real Distance to the Drawing

هنا السؤال بالاتجاه المعاكس: حدّد نقطة على بعد مسافة حقيقية معينة. احسب طول الرسم أولًا. بما أنك تنتقل من الواقع إلى الرسم فاقسم المسافة الحقيقية على ما يمثله السنتيمتر الواحد، أي عُدّ كم قطعة من المقياس تدخل في المسافة، وكل قطعة سنتيمتر واحد. ثم ضع صفر المسطرة على نقطة البداية وحدّد النقطة عند الطول الذي حسبته، في اتجاه الزاوية الاتجاهية إن أُعطيت. الخطأ الشائع: الضرب بدل القسمة، فيخرج طول لا يتسع له الورق؛ من الواقع إلى الرسم يكون التصغير دائمًا. وإذا أُعطيت زاوية اتجاهية فارسم الزاوية أولًا.

The 2-mark question goes the other way: mark a point a real distance away. Work out the drawing length first.

Worked example

1
$real: 36 km, scale 1 cm to 8 km$ — The question. You need a length to draw, so you go from real life to the drawing.
2
$36 \div 8 = 4.5 cm$ — Real to drawing: divide. Count how many 8 km pieces fit into 36 km — each piece is 1 cm.
3
$draw 4.5 cm$ — Put the 0 of your ruler on the start point and mark the point at 4.5 cm, along the bearing if one is given.

Common mistake

Multiplying: 36 × 8 = 288 cm would not fit on the page. Real to drawing always shrinks.

Key idea

If a bearing is given too, draw the angle first. See Three-Figure Bearings.

4. Measure Accurately

سؤال بدرجة أو درجتين: قِس طول القطعة المستقيمة واكتب الوحدة. أولًا ضع علامة الصفر على بداية القطعة، وانتبه أن الصفر غالبًا يكون بعد طرف المسطرة بقليل، فلا تبدأ من حافتها. ثم اقرأ آخر سنتيمتر كامل عند نهاية القطعة، وعُدّ العلامات الصغيرة بعده، فكل علامة صغيرة مليمتر واحد. بعدها اكتب الطول بالوحدة التي يطلبها السؤال، وتذكّر أن السنتيمتر عشرة مليمترات؛ وإذا لم تكتب الوحدة فقد تخسر درجة. الخطأ الشائع: البدء من حافة المسطرة أو من علامة الواحد بدل الصفر.

The 1 or 2-mark question: measure the length of the line $A B$ . Give the units.

Worked example

1
$put the 0 on A$ — The 0 mark is often a little way in from the end of the ruler, so line up the 0 with A, not the edge.
2
$read at B : 5 cm and 3 mm$ — Read the last whole centimetre, then count the small marks after it. Each small mark is 1 mm.
3
$A B = 5.3 cm = 53 mm$ — 3 mm is 0.3 cm, and 1 cm is 10 mm. Write the unit the question asks for — with no unit you can lose a mark.

Common mistake

Starting from the edge of the ruler, or from 1. Line up the 0 mark with the start of the line.

5. A Scale Written as 1 : n

هذا سؤال بثلاث درجات يستخدم مقياسًا مكتوبًا كنسبة. طرفا النسبة بالوحدة نفسها، فالسنتيمتر على النموذج يمثّل العدد نفسه من السنتيمترات في الواقع؛ لذلك حوّل الطول الحقيقي إلى سنتيمترات أولًا بضرب الأمتار في مئة. ثم اقسم على العدد الثاني في النسبة، لأنك تنتقل من الواقع إلى النموذج، والنموذج أصغر بهذا العدد من المرات. الخطأ الشائع: القسمة مباشرة على الأمتار دون تحويل، فيخرج طول صغير جدًا وخاطئ. حوّل الأمتار إلى سنتيمترات قبل القسمة.

The 3-mark question uses a ratio scale. Both sides of the ratio are in the same unit, so change to centimetres first.

A model ship is made to a scale of 1 : 250. The real ship is 90 m long.

Worked example

1
$90 m = 9000 cm$ — 1 : 250 means 1 cm on the model is 250 cm on the ship, so work in centimetres. There are 100 cm in a metre: 90 × 100.
2
$9000 \div 250 = 36 cm$ — Real to model: divide. The model is 250 times smaller than the ship.

Common mistake

Dividing 90 by 250 and answering 0.36 cm. Change metres to centimetres before you divide.

6. 1 : n Map to Kilometres

كثير من الأسئلة تعطي المقياس كنسبة وتطلب الإجابة بالكيلومترات: اضرب أولًا ثم حوّل الوحدات. الطول الحقيقي يساوي طول الخريطة مضروبًا في العدد بعد النقطتين، والناتج يكون بوحدة طول الخريطة نفسها، وهي عادة السنتيمتر. في المثال: اضرب مسافة الخريطة في العدد فتحصل على سنتيمترات، ثم اقسم على مئة لتحصل على أمتار، ثم على ألف لتحصل على كيلومترات. للحفظ: من السنتيمتر إلى الكيلومتر نقسم على مئة ألف، لأن مئة في ألف تساوي مئة ألف. الخطأ الشائع: التوقف بعد الضرب وكتابة الناتج بالكيلومترات، مع أنه ما زال بالسنتيمترات، فتخرج مسافة أطول من محيط الأرض.

Many 2-mark questions give the scale as 1 : n and want the answer in km. Multiply first, then change the units.

Formula

real length = map length \times n

$n$ is the number after the colon. The answer comes out in the same unit as the map length — usually cm — so you then change it to m or km.

A map has a scale of 1 : 25 000. Two villages are 4.2 cm apart on the map.

Worked example

1
$4.2 cm, 1 : 25000$ — The question. Real lengths are 25 000 times bigger than the map, in the same unit.
2
$4.2 \times 25000 = 105000 cm$ — Map to real: multiply by n. The answer is in centimetres, because the map length was in centimetres.
3
$105000 \div 100 = 1050 m$ — There are 100 cm in a metre, so divide by 100 to get metres.
4
$1050 \div 1000 = 1.05 km$ — There are 1000 m in a kilometre, so divide by 1000. Now it is in km, as asked.

Memory trick

cm to km: divide by 100 000, because 100 × 1000 = 100 000.

Common mistake

Stopping at 105 000 and writing km. That number is in centimetres — 105 000 km is more than twice round the Earth.

7. Scales Like 2 cm to 1 km

بعض المقاييس لا تبدأ بسنتيمتر واحد، مثل عدة سنتيمترات تمثل كيلومترًا أو عددًا من الأمتار. أوجد أولًا ما يمثله السنتيمتر الواحد. في المثال: اقسم طرفي المقياس على عدد السنتيمترات لتعرف ما يمثله سنتيمتر واحد، فيصبح مقياسًا عاديًا. ثم قِس الطريق بوضع صفر المسطرة على بدايته، واضرب القياس فيما يمثله السنتيمتر الواحد لأنك تنتقل من الرسم إلى الواقع. مثلًا إذا كان سنتيمتران يمثلان كيلومترًا، فالمسافة الحقيقية بالكيلومترات هي نصف القياس بالسنتيمترات. الخطأ الشائع: الضرب في العدد الكامل في المقياس كأنه يمثل سنتيمترًا واحدًا، فتخرج الإجابة أكبر من الصحيحة.

Some scales do not start with 1 cm, like “2 cm represents 1 km” or “5 cm represents 200 m”. Find what 1 cm stands for first.

A scale drawing has the scale 4 cm represents 100 m. A path on it measures 7.4 cm.

Worked example

1
$4 cm \to 100 m$ — The scale. 4 cm on the drawing stands for 100 m in real life.
2
$1 cm \to 100 \div 4 = 25 m$ — Divide both sides by 4, so you know what one centimetre stands for. Now it is an ordinary scale.
3
$measure: 7.4 cm$ — Measure the path with the 0 of your ruler on its start.
4
$7.4 \times 25 = 185 m$ — Drawing to real: multiply by what 1 cm stands for.

Key idea

With 2 cm to 1 km, 1 cm is 0.5 km — so the real distance in km is half the measured length in cm.

Common mistake

Multiplying 7.4 by 100. That treats the scale as 1 cm to 100 m, so the answer is 4 times too big.

8. Find the Scale

بعض الأسئلة تعطيك المسافتين، على الخريطة وفي الواقع، وتطلب المقياس كنسبة أو بصيغة سنتيمتر واحد يمثل كذا. في المثال الأول: يجب أن يكون طرفا النسبة بالوحدة نفسها، فحوّل الكيلومترات إلى أمتار بالضرب في ألف، ثم الأمتار إلى سنتيمترات بالضرب في مئة. اكتب النسبة: الخريطة إلى الواقع بلا وحدات، ثم اقسم الطرفين على قياس الخريطة حتى يصبح طرف الخريطة واحدًا. في المثال الثاني: اقسم المسافة الحقيقية على طول الخط لتعرف ما يمثله سنتيمتر واحد. ولتحويل صيغة سنتيمتر يمثل كيلومترات إلى نسبة، اكتب الكيلومترات بالسنتيمترات. الخطأ الشائع: كتابة النسبة مباشرة من عددين بوحدتين مختلفتين؛ وحّد الوحدات أولًا.

Some questions give you both distances and ask for the scale — as 1 : n, or as “1 cm represents ___”.

1. On a map, 6 cm represents 3 km. Write the scale as 1 : n.

Worked example

1
$3 km = 3000 m$ — Both parts of a ratio must be in the same unit. Start with km to m: there are 1000 m in a km.
2
$3000 m = 300000 cm$ — Then m to cm: there are 100 cm in a metre. Now both lengths are in centimetres.
3
$6 : 300000$ — Write the ratio map : real, with no units, because they now match.
4
$1 : 50000$ — Divide both sides by 6 so the map side is 1. 300 000 ÷ 6 = 50 000.

2. A line measures 8 cm and the real distance is 2400 m. Complete: 1 cm represents ___ m.

Worked example

1
$8 cm \to 2400 m$ — Measure the drawing, and write the real distance from the question next to it.
2
$1 cm \to 2400 \div 8 = 300 m$ — Divide both by 8 to find what one centimetre stands for.

Key idea

To change “1 cm represents 15 km” to 1 : n, write 15 km in cm: 15 × 100 000 = 1 500 000, so the scale is 1 : 1 500 000.

Common mistake

Writing 6 : 3, so 2 : 1. The 6 is in cm and the 3 is in km — change to the same unit first.

9. Real Area from a Scale Drawing

سؤال بثلاث درجات: أوجد المساحة الحقيقية لحقل أو حديقة من رسمها. حوّل كل طول إلى طوله الحقيقي أولًا، ثم احسب المساحة. في المثال: اضرب طول المستطيل في المقياس لتحصل على الطول الحقيقي، ثم اضرب العرض بالطريقة نفسها، ثم اضرب الطول الحقيقي في العرض الحقيقي، واكتب الوحدة مربعة. الخطأ الشائع: حساب مساحة الرسم ثم ضربها في المقياس مرة واحدة؛ لأن الطول والعرض كليهما يكبران، فالمساحة تكبر بمربع المقياس، أي المقياس في نفسه.

A 3-mark question: find the real area of a field or garden from its drawing. Change each length to real life first, then work out the area.

A rectangle on a plan is 5 cm by 3.5 cm. The scale is 1 cm represents 4 m.

Worked example

1
$5 \times 4 = 20 m$ — Change the length to real life: each cm is 4 m, so the real length is 20 m.
2
$3.5 \times 4 = 14 m$ — Change the width the same way: the real width is 14 m.
3
$20 \times 14 = 280 m^{2}$ — Now multiply real length by real width. Area units are squared: m².

Common mistake

Finding the drawing area, 5 × 3.5 = 17.5, then multiplying by 4. Both lengths grow 4 times, so the area grows 4 × 4 = 16 times: 17.5 × 16 = 280.

10. Which Method? Read the Question

اسأل نفسك: هل أنتقل من الرسم إلى الواقع أم العكس؟ إذا قست ثم طُلبت المسافة الحقيقية فاضرب في المقياس، وإذا طُلب تحديد نقطة على بعد مسافة حقيقية فاقسم على المقياس. مع مقياس النسبة وحّد الوحدات أولًا، وغالبًا تكون السنتيمتر، وإذا طُلبت الإجابة بالكيلومترات فاضرب ثم اقسم على مئة ألف. إذا كان المقياس مثل سنتيمترين لكل كيلومتر فأوجد ما يمثله السنتيمتر الواحد أولًا. لكتابة المقياس كنسبة اقسم الطول الحقيقي بالسنتيمترات على طول الخريطة. للمساحة الحقيقية حوّل كل طول ثم اضرب. وعند القياس ضع الصفر على البداية واكتب الوحدة. للتحقق من الإجابة: المسافات الحقيقية كبيرة، وأطوال الرسم صغيرة.

Ask: am I going from the drawing to real life, or back?

You see	You do
Measure, then real distance	multiply by the scale
Mark a point a real distance away	divide by the scale
Scale 1 : n	same units first, usually cm
Scale 1 : n, answer in km	multiply by n, then ÷ 100 000
Scale like 2 cm to 1 km	find what 1 cm stands for first
Write the scale as 1 : n	real length in cm ÷ map length
Real area from a drawing	change each length, then multiply
Measure the length	0 on the start, give units
A bearing as well	Three-Figure Bearings

Key idea

Check the size: real distances come out big, drawing lengths small.

تدرّب على الرسم بمقياس رسم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الرسم بمقياس رسم

1. Small Drawing, Real Distance

2. Map to Real Distance

3. From Real Distance to the Drawing

4. Measure Accurately

5. A Scale Written as 1 : n

6. 1 : n Map to Kilometres

7. Scales Like 2 cm to 1 km

8. Find the Scale

9. Real Area from a Scale Drawing

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على الرسم بمقياس رسم

أسئلة امتحانات سابقة على الرسم بمقياس رسم، محلولة ومشروحة بالعربي