شرح تسمية وخصائص المجسمات ثلاثية الأبعاد

Naming and Properties of 3D Solids

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Faces, Edges and Vertices

لكل مجسم ثلاثة أنواع من الأجزاء، وتحتاج أسماءها الثلاثة في الامتحان. الوجه هو سطح مستوٍ أو منحنٍ، والحرف هو الخط الذي يلتقي عنده وجهان، والرأس هو الركن الذي تلتقي عنده الأحرف. المكعب مثلًا له ستة أوجه واثنا عشر حرفًا وثمانية رؤوس. الخطأ الشائع هو الخلط بين الأحرف والرؤوس: الحرف خط يمكنك أن تمرّر إصبعك على طوله، أما الرأس فنقطة تلمسها بطرف إصبع واحد.

A solid has three kinds of part. You need all three words in the exam.

Part	What it is
Face	a flat or curved surface
Edge	a line where two faces meet
Vertex	a corner where edges meet (plural: vertices)

A cube has 6 faces, 12 edges and 8 vertices.

Common mistake

Mixing up edges and vertices. Edges are lines you could run a finger along. Vertices are points you could touch with one fingertip.

2. Prism or Pyramid? Name the Solid

في سؤال «اكتب الاسم الرياضي لهذا المجسم» اسأل نفسك سؤالين بالترتيب. أولًا: هل شكله واحد من أوله لآخره مثل رغيف الخبز؟ إذن هو منشور، وتسميه حسب شكل طرفه، مثل منشور ثلاثي أو منشور خماسي. ثانيًا: هل يرتفع من قاعدة مستوية حتى نقطة واحدة؟ إذن هو هرم، وتسميه حسب قاعدته، مثل هرم قاعدته مربعة. ستة مستطيلات تعني متوازي مستطيلات، وستة مربعات تعني مكعبًا. لا تعطِ المجسم اسم شكل مسطح: متوازي المستطيلات ليس مستطيلًا والمكعب ليس مربعًا، فهذه أوجهه فقط. والهرم الذي قاعدته مثلث يسمى أيضًا رباعي الأوجه.

The 1-mark question: write down the mathematical name of this solid. Ask two questions, in this order.

Steps

1
Is it the same shape all the way through, like a loaf of bread? Then it is a prism. Name it by its end: triangular prism, pentagonal prism.
2
Does it rise from a flat base to one point? Then it is a pyramid. Name it by its base: square-based pyramid.
3
Six rectangles is a cuboid. Six squares is a cube. Both are prisms with special names.

Common mistake

Giving a flat name to a solid. A cuboid is not a rectangle and a cube is not a square. Rectangles and squares are its faces.

Key idea

A pyramid on a triangle base, with 4 triangle faces in all, is also called a tetrahedron.

3. Count a Prism in Groups

الرسم يخفي بعض الأجزاء في الخلف، لذلك لا تعدّ بالإشارة بل اعدد في مجموعات. ابدأ بعدّ أضلاع أحد طرفي المنشور، وسمِّه «عدد الطرف». الأوجه هي وجه مستطيل لكل ضلع من الطرف، ثم أضف الطرفين. الأحرف ثلاث مجموعات متساوية: حول الطرف الأمامي، وحول الطرف الخلفي، والأحرف التي تصل بينهما. والرؤوس كلها تقع على الطرفين، فهي عدد الطرف مرتين. الخطأ الشائع أن تعدّ الخطوط الظاهرة فقط، والمجموعات تعدّ المخفي عنك. وللتحقق: الأوجه مع الرؤوس ناقص الأحرف تساوي دائمًا اثنين، وهي قاعدة كتبها العالم أويلر في رسالة قديمة.

The 1-mark question: how many faces, edges or vertices has the prism? The drawing hides some at the back. So count in groups, not by pointing.

Start by counting the sides of one end. Call it the end count.

Worked example

1
$L shaped end: 6 sides$ — the end count. Count round the L slowly.
2
$faces = 6 + 2 = 8$ — one rectangle per side, plus the 2 ends
3
$edges = 6 + 6 + 6$ — round the front, round the back, and the ones joining them
4
$= 18$ — three groups of the end count
5
$vertices = 6 + 6 = 12$ — every corner sits on one of the 2 ends

Common mistake

Counting only the lines you can see. Hidden edges are drawn dashed, or not drawn at all. The groups count them for you.

Key idea

Check: faces + vertices − edges = 2. Here 8 + 12 − 18 = 2. Leonhard Euler wrote down this rule in a letter in 1750, and it works for every prism and pyramid.

4. Count a Pyramid: Base, Then Tip

في الهرم اعدد حول القاعدة أولًا ثم اصعد إلى القمة. ابدأ بعدد أضلاع القاعدة وسمِّه «عدد القاعدة». الأحرف هي أحرف القاعدة ومعها مثلها صاعدة إلى القمة، أي عدد القاعدة مرتين. الرؤوس هي أركان القاعدة ومعها رأس واحد هو القمة. والأوجه مثلث لكل ضلع من القاعدة ومعها وجه القاعدة نفسها. انتبه ألّا تنسى القمة أو القاعدة: القمة رأس، والقاعدة وجه. وتحقق في النهاية أن الأوجه مع الرؤوس ناقص الأحرف تساوي اثنين.

The 2-mark question: complete the statement, the pyramid has … edges and … vertices. Count round the base first, then up to the tip.

Worked example

1
$pentagon base: 5 sides$ — the base count
2
$edges = 5 + 5 = 10$ — 5 round the base, 5 up to the tip
3
$vertices = 5 + 1 = 6$ — 5 base corners, plus the tip
4
$faces = 5 + 1 = 6$ — 5 triangles, plus the base

Common mistake

Forgetting the tip, or forgetting the base. The tip is a vertex and the base is a face.

Key idea

Check: 6 + 6 − 10 = 2. Correct.

5. Curved Solids: Cylinder, Cone, Sphere

كثيرًا ما يعرض السؤال مجسمًا مستديرًا، وتعرف اسمه من أوجهه المستوية. الأسطوانة لها دائرتان مستويتان وسطح منحنٍ وحرفان منحنيان ولا رؤوس لها. المخروط له دائرة مستوية واحدة وسطح منحنٍ وحرف منحنٍ ورأس واحد في قمته. الكرة سطح منحنٍ فقط بلا أحرف ولا رؤوس، ونصف الكرة له دائرة مستوية وسطح منحنٍ وحرف منحنٍ. لا تسمِّ المخروط هرمًا لأنه ينتهي بنقطة؛ فالهرم أوجهه مثلثات مستوية وقاعدته أضلاعها مستقيمة، أما المخروط فقاعدته دائرية وجانبه منحنٍ.

The 1-mark question often shows a round solid. Name it from its flat faces.

Solid	What it has
Cylinder	2 flat circles, 1 curved surface, 2 curved edges, no vertices
Cone	1 flat circle, 1 curved surface, 1 curved edge, 1 vertex at the tip
Sphere	1 curved surface, no edges, no vertices
Hemisphere	half a sphere: 1 flat circle, 1 curved surface, 1 curved edge

Common mistake

Calling a cone a pyramid because it comes to a point. A pyramid has flat triangle faces and a base with straight sides. A cone has a round base and a curved side.

6. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تلخص الطريقة كلها: سمِّ المجسم أولًا، ثم تأتي الأعداد من الطرف أو من القاعدة. في المنشور: الأوجه هي عدد الطرف زائد اثنين، والأحرف هي الأمامية والخلفية والواصلة بينهما، والرؤوس عدد الطرف مرتين. في الهرم: الأحرف عدد القاعدة مرتين، والرؤوس عدد القاعدة زائد واحد. وفي المجسم المستدير اعدد الدوائر المستوية: اثنتان للأسطوانة، وواحدة للمخروط، ولا شيء للكرة. وللشبكات ومستويات التماثل دروس خاصة بها. وفي النهاية تحقق أن الأوجه مع الرؤوس ناقص الأحرف تساوي اثنين، وإلا فأعد العدّ.

Name the solid first. The counts follow from the end or the base.

You see	You do
Name this solid	same all through: prism; up to a point: pyramid
Faces of a prism	end count + 2
Edges of a prism	front + back + joining
Vertices of a prism	end count, twice
Edges of a pyramid	base count, twice
Vertices of a pyramid	base count + 1
Round solid	count flat circles: 2 cylinder, 1 cone, 0 sphere
Net, or wire for the edges	Nets of 3D Shapes
Planes of symmetry	Planes of Symmetry in 3D Shapes

Key idea

For a prism or pyramid, finish with faces + vertices − edges = 2. If it is not 2, recount.

تدرّب على تسمية وخصائص المجسمات ثلاثية الأبعاد

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تسمية وخصائص المجسمات ثلاثية الأبعاد

1. Faces, Edges and Vertices

2. Prism or Pyramid? Name the Solid

3. Count a Prism in Groups

4. Count a Pyramid: Base, Then Tip

5. Curved Solids: Cylinder, Cone, Sphere

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على تسمية وخصائص المجسمات ثلاثية الأبعاد

أسئلة امتحانات سابقة على تسمية وخصائص المجسمات ثلاثية الأبعاد، محلولة ومشروحة بالعربي