شرح شبكات المجسمات ثلاثية الأبعاد

Nets of 3D Shapes

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Net Is the Solid Laid Flat

الشبكة هي المجسم بعد أن نقصّه على بعض أحرفه ونفتحه مسطّحًا، فيصبح كل وجه من وجوهه قطعة مستوية. الجدول يبيّن قطع كل مجسم: المكعب ستة مربعات، ومتوازي المستطيلات ستة مستطيلات في ثلاثة أزواج متطابقة، والمنشور الثلاثي مثلثان وثلاثة مستطيلات، والهرم ذو القاعدة المربعة مربع وأربعة مثلثات، والأسطوانة دائرتان ومستطيل. القاعدة: عدد قطع الشبكة هو عدد الأوجه. وللتسلية: توجد إحدى عشرة شبكة مختلفة تُطوى إلى مكعب، ولا يوجد في أي منها أكثر من أربعة مربعات في صف واحد.

A net is what you get when you cut a box along some edges and open it out flat. Every face of the solid becomes one flat piece.

Solid	Pieces in the net
Cube	6 squares
Cuboid	6 rectangles, in 3 pairs
Triangular prism	2 triangles, 3 rectangles
Square-based pyramid	1 square, 4 triangles
Cylinder	2 circles, 1 rectangle

Rule

Count the pieces of the net and you have counted the faces.

Key idea

Puzzle: how many different nets fold up into a cube? Not counting turned or flipped copies, there are exactly 11. Try to sketch them all. Clue: none of them has more than four squares in a row.

2. Name the Solid

أكثر سؤال شائع بدرجة واحدة: اكتب الاسم الرياضي لهذا الشكل الثلاثي الأبعاد. انظر إلى الطرفين وإلى الأعلى. إذا كان المقطع نفسه على طول الشكل فهو منشور يُسمّى باسم طرفه، وإذا كانت له قاعدة ورأس واحد في الأعلى فهو هرم يُسمّى باسم قاعدته. ستة أوجه مربعة تعني مكعبًا، وستة مستطيلات تعني متوازي مستطيلات، ودائرتان مع سطح منحنٍ أسطوانة، ودائرة مع رأس مخروط، والشكل المستدير تمامًا كرة. الخطأ الشائع: تسمية المنشور الثلاثي هرمًا؛ فالمنشور له طرفان متطابقان، أما الهرم فيرتفع إلى نقطة واحدة.

The most common 1-mark question: write down the mathematical name of this 3D shape. Look at the ends and the top.

You see	Its name
Same shape all the way through	a prism, named by its end
All six faces square	cube
Six rectangles	cuboid
A base and a point on top	a pyramid, named by its base
Two circles and a curved side	cylinder
A circle and a point	cone
Round all over	sphere

Common mistake

Calling a triangular prism a pyramid. A prism has two matching ends. A pyramid rises to one point.

3. Count the Faces

سؤال بدرجة واحدة: كم وجهًا للشكل؟ تخيّل شبكته وعُدّ قطعها، ومنها الأوجه المخفية في الخلف. للمنشور: عدد أضلاع الطرف زائد اثنين، وللهرم: عدد أضلاع القاعدة زائد واحد. في المثال: سمِّ الطرف أولًا وعُدّ أضلاعه، ثم لاحظ أن كل ضلع يقابله مستطيل يصل الطرفين، ثم أضف الطرفين نفسيهما. الخطأ الشائع: عدّ الأوجه الظاهرة في الرسم فقط، مع أن الوجه الخلفي والوجه السفلي من الأوجه أيضًا.

The 1-mark question: how many faces has the shape? Picture its net and count the pieces, including the ones hidden at the back.

Solid	Faces
Prism with an end of n sides	$n + 2$
Pyramid with a base of n sides	$n + 1$

Worked example

1
$end: pentagon, n = 5$ — Name the end first. A pentagon has 5 sides, so n = 5.
2
$5 rectangles$ — Each side of one end is joined to the other end by a rectangle, so there is one rectangle per side.
3
$5 + 2 = 7 faces$ — Add the 2 pentagon ends. This matches the rule n + 2.

Common mistake

Counting only the faces you can see in the drawing. The back and the bottom are faces too.

4. Count the Edges and Vertices

الحرف هو الخط الذي يلتقي عنده وجهان، والرأس هو الركن. للمنشور: الأحرف ثلاثة أمثال عدد أضلاع الطرف، والرؤوس ضعفه؛ وللهرم: الأحرف ضعف عدد أضلاع القاعدة، والرؤوس هذا العدد زائد واحد. في المثال: سمِّ الطرف وعُدّ أضلاعه، ثم عُدّ الأحرف حول الطرفين، ثم الأحرف التي تصل كل ركن بالركن المقابل له، واجمع المجموعتين؛ أما الرؤوس فكلها تقع على الطرفين. للتحقق: الأوجه زائد الرؤوس ناقص الأحرف يساوي اثنين. لا تخلط بين الأحرف، وهي خطوط تمرّ عليها بإصبعك، والرؤوس، وهي نقاط. وإذا سُئلت عن طول السلك اللازم لأحرف متوازي المستطيلات فاجمع الطول والعرض والارتفاع ثم اضرب في أربعة، لأن له اثني عشر حرفًا، أربعة من كل طول.

The 1-mark questions: how many edges, how many vertices? An edge is a line where two faces meet. A vertex is a corner.

Solid	Edges, vertices
Prism, end of n sides	$3 n$ , $2 n$
Pyramid, base of n sides	$2 n$ , $n + 1$

Worked example

1
$end: hexagon, n = 6$ — Name the end first. A hexagon has 6 sides, so n = 6.
2
$edges round the ends = 2 \times 6 = 12$ — Each hexagon end has 6 edges round it, and there are 2 ends.
3
$edges joining the ends = 6$ — One edge runs from each corner of one end to the matching corner of the other end. 6 corners, so 6 edges.
4
$edges = 12 + 6 = 18$ — Add the two groups. This matches the rule 3n = 3 × 6.
5
$vertices = 2 \times 6 = 12$ — Every corner sits on an end. Each end has 6 corners, and there are 2 ends. This matches 2n.

Common mistake

Mixing up edges and vertices. Edges are lines you could run a finger along. Vertices are the points.

Key idea

Check with faces + vertices − edges = 2. For the hexagonal prism: 8 + 12 − 18 = 2.

Total length of the edges. Some questions ask how much wire or straw you need to make the edges of a cuboid. Use:

Formula

total edge length = 4 (l + w + h)

$l$ is the length, $w$ the width and $h$ the height. A cuboid has 12 edges: 4 of each length, which is why you multiply by 4.

Worked example

1
$l = 7, w = 3, h = 2$ — A cuboid 7 cm by 3 cm by 2 cm. Read off the three different lengths.
2
$l + w + h = 7 + 3 + 2 = 12$ — Add one edge of each length: 12 cm.
3
$4 \times 12 = 48 cm$ — Each length appears 4 times, so multiply by 4. If you had 60 cm of wire, 60 − 48 = 12 cm would be left.

5. Drawing a Net on a Grid

سؤال شائع بثلاث درجات: أكمل شبكة متوازي المستطيلات على ورق مربعات، وغالبًا يُرسم لك وجه واحد. ابدأ بكتابة مقاسات الأوجه الثلاثة المختلفة؛ لكل مقاس وجهان، فالمجموع ستة مستطيلات. القاعدة: كل وجه جديد يلتصق بحرف له الطول نفسه. اطوِ الوجهين الأمامي والخلفي على الحرفين الطويلين للقاعدة، والطرفين على الحرفين القصيرين، وكلها بارتفاع الصندوق، ثم ضع الغطاء بعد الوجه الخلفي بحجم القاعدة نفسه. تحقّق أن لديك وجهين من كل مقاس وألا يقع وجهان على الجهة نفسها عند الطي. ارسم كل وجه تستطيعه وارسم خطوط الطي بين الأوجه، فالشبكة المرسومة كحدود خارجية فقط تخسر درجات؛ وتذكّر أن الصندوق المفتوح بلا غطاء له خمسة أوجه فقط.

The most common 3-mark question: complete the net of a cuboid on a 1 cm grid. One face is usually drawn for you. Here the cuboid is 4 cm by 3 cm by 2 cm.

Worked example

1
$4 \times 3, 4 \times 2, 3 \times 2$ — List the three face sizes. A cuboid has two faces of each size, so you need 6 rectangles.
2
$given: 4 \times 3$ — Say the drawn face is the 4 cm by 3 cm base. Every new face must touch an edge of the same length.
3
$on both 4 cm edges: 4 \times 2$ — Fold up the front and the back. They share the 4 cm edge, and their other side is the height, 2 cm.
4
$on both 3 cm edges: 3 \times 2$ — Fold up the two ends. They share the 3 cm edge, and they are also 2 cm high.
5
$beyond the back: 4 \times 3$ — The lid. It folds over from the top edge of the back face, so it is the same size as the base.
6
$2 + 2 + 2 = 6 faces$ — Check: two of each size, six in all, and no two fold onto the same side.

Key idea

Each face drawn the right size in the right place earns marks, so draw every face you can. Draw the fold lines between the faces too: a net drawn as an outline only loses marks.

Common mistake

Putting two faces where they would land on top of each other when folded. Each face must fold to a different side.

Common mistake

Drawing 6 faces for an open box. A box with no top has only 5 faces.

6. Nets of Prisms and Pyramids

القاعدة نفسها هنا: الأوجه التي تلتقي عند الطي تشترك في حرف له الطول نفسه. للمنشور الثلاثي القائم: ارسم مستطيلًا لكل ضلع من أضلاع المثلث، وطول كل منها هو طول المنشور، وضعها متجاورة في شريط واحد بترتيب أضلاع المثلث حتى تلتف حوله. ثم ألصق مثلثًا على كل طرف قصير لأحد المستطيلات، في جهتين متقابلتين لأن طرفي المنشور متقابلان؛ ارسم الضلعين المتعامدين أولًا ثم صِل طرفيهما فيظهر الضلع الثالث دون قياس. للهرم ذي القاعدة المربعة: ارسم المربع أولًا، ثم ضع على كل ضلع مثلثًا متجهًا للخارج، وحدّد رأسه بقياس الارتفاع عموديًا من منتصف الضلع ثم صِله بطرفي الضلع، وتحقّق من طول الضلع المائل بنظرية فيثاغورس. الخطأ الشائع: اعتبار الضلع المائل هو الارتفاع؛ فالارتفاع يخرج عموديًا من منتصف القاعدة.

Exams also ask for the net of a triangular prism or a square-based pyramid. The rule is the same: faces that fold together share an edge of the same length.

A right-angled triangular prism: the triangle has sides 3 cm, 4 cm and 5 cm, and the prism is 8 cm long.

Worked example

1
$3 \times 8, 4 \times 8, 5 \times 8$ — One rectangle for each side of the triangle. Each is as long as the prism, 8 cm.
2
$strip: 3 + 4 + 5 = 12 cm wide$ — Draw the three rectangles side by side in one strip, in the order 3, 4, 5, so they can wrap round the triangle.
3
$2 triangles on the 4 cm edges$ — Attach one triangle to each short end of the 4 cm rectangle. They go on opposite sides, because the two ends of a prism are at opposite ends.
4
$3 cm ⊥ 4 cm$ — Draw the 4 cm side along the rectangle, and the 3 cm side at a right angle, next to the 3 cm rectangle. Joining their ends gives the 5 cm side without measuring.

A square-based pyramid: the base is 6 cm by 6 cm, and each triangle has base 6 cm and height 4 cm.

Worked example

1
$base: 6 \times 6 square$ — Draw the square first. Every triangle sits on one of its sides.
2
$4 triangles, base 6 cm$ — Put one triangle on each side of the square, pointing outwards, with its 6 cm side on the square.
3
$tip: 4 cm out from the middle$ — Mark the tip 4 cm straight out from the middle of each side, then join it to both ends of that side.
4
$sloping side = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$ — Check with Pythagoras: half of 6 is 3, so each sloping side is 5 cm. All four triangles match, so their tips meet when folded.

Common mistake

Drawing a triangle with its sloping side as the height. The height goes straight out from the middle of the base, at a right angle.

7. Find a Missing Length First

أحيانًا يُعطى الحجم بدل الأطوال الثلاثة، فأوجد الطول الناقص قبل الرسم. الارتفاع يساوي الحجم مقسومًا على مساحة القاعدة، أي الطول في العرض، وهذا يأتي من قانون الحجم بقسمة الطرفين على مساحة القاعدة. في المثال: احسب مساحة القاعدة أولًا، ثم اقسم الحجم عليها، ثم تحقّق بالضرب العكسي قبل رسم الشبكة. اكتب عملية القسمة، فهي تمنحك درجة على خطوات الحل حتى لو أخطأت في الرسم. وفي المكعب إذا أُعطيت مساحة وجه واحد فطول الحرف هو الجذر التربيعي للمساحة، ثم ارسم ستة مربعات متطابقة. وفي شبكة الأسطوانة: ضلع المستطيل الذي يلتف حول الدائرة يساوي محيطها، والضلع الآخر هو ارتفاع الأسطوانة.

Some questions give the volume instead of all three lengths. Find the missing length before you draw.

Formula

h = \frac{V}{l \times w}

$V$ is the volume, $l$ and $w$ are the length and width of the base, and $h$ is the height. It comes from $V = l \times w \times h$ : divide both sides by the base area.

Worked example

1
$V = 30, l = 5, w = 2$ — A cuboid has volume 30 cm³ and a 5 cm by 2 cm base. The height is missing.
2
$l \times w = 5 \times 2 = 10$ — Work out the base area first: 10 cm².
3
$h = 30 \div 10 = 3$ — Divide the volume by the base area. The height is 3 cm.
4
$5 \times 2 \times 3 = 30$ — Check by multiplying back. It gives the volume, so now draw the net of a 5 by 2 by 3 cuboid.

Key idea

Write the division down. It earns a mark for working even if your drawing goes wrong.

A cube from the area of one face: one face has area 25 cm².

Worked example

1
$edge \times edge = 25$ — Every face of a cube is the same square, and a square's area is edge × edge.
2
$edge = 25 = 5 cm$ — So the edge is the square root of the area.
3
$6 squares, 5 \times 5$ — Draw six 5 cm squares, for example a row of four with one above and one below the second square.

Key idea

In the net of a cylinder, the rectangle wraps round the circles. The side that wraps round equals the circumference, πd. The other side is the cylinder's height.

8. Which Points Meet When Folded?

بعض الأسئلة تعطيك شبكة عليها أسماء وتسأل أي وجه يقابل وجهًا آخر، أو أي نقطة تلتقي بأخرى عند الطي. اطوِ وجهًا واحدًا في كل مرة في ذهنك. في شبكة المكعب: أربعة مربعات في صف تلتف حول المكعب كالحزام، والمربعان اللذان بينهما مربع واحد يصبحان وجهين متقابلين، والمربعان فوق الصف وتحته يصبحان الأعلى والأسفل فهما متقابلان. وفي حجر النرد مجموع الوجهين المتقابلين سبعة. الأحرف التي تلتقي عند الطي متساوية الطول، وعند الزاوية الداخلية للشبكة ينغلق الحرفان كالكتاب فتلتقي نهايتاهما؛ وقد تلتقي ثلاث نقاط عند ركن واحد لأن كل ركن تلتقي عنده ثلاثة أوجه. الخطأ الشائع: القول إن مربعين متلاصقين متقابلان؛ فالمتلاصقان يلتقيان دائمًا. وليست كل ستة مربعات شبكة مكعب: خمسة في صف، أو أربعة في مربع كبير، لا تُطوى إلى مكعب.

Some 1-mark questions label a net and ask which face is opposite, or which point joins another, when it is folded. Fold one face at a time in your head.

A cube net: a row of four squares, numbered 1 to 4, with square T above square 2 and square B below it.

Worked example

1
$row: 1, 2, 3, 4$ — Four squares in a row wrap round the cube like a belt.
2
$1 \leftrightarrow 3, 2 \leftrightarrow 4$ — In a straight row, squares two apart fold to opposite faces, because the square between them becomes a side.
3
$T \leftrightarrow B$ — The squares above and below the row become the top and the bottom, so they are opposite.
4
$dice: 7 - 2 = 5$ — On a dice, opposite faces add up to 7. If square 1 shows 2, square 3 must show 5.

Rule

Edges that fold together are the same length. Where two faces meet at an inside corner of the net, the edges either side of it close up like a book, so their end points join.

Key idea

Each corner of a cube or cuboid is where 3 faces meet. So up to 3 points of the net can join at one corner: check every face that touches it.

Common mistake

Saying two squares that touch in the net are opposite. Squares that share an edge always fold to faces that meet.

Key idea

Not every 6 squares make a cube. A net with 5 squares in a row, or 4 squares in a 2 by 2 block, will not fold up.

9. Which Method? Read the Question

سمِّ المجسم أولًا، وبعدها تعرف الطريقة. لتسمية الشكل انظر إلى طرفيه: منشور أم هرم؟ لعدد الأوجه عُدّ قطع الشبكة. للأحرف والرؤوس استخدم القواعد بدلالة عدد أضلاع الطرف أو القاعدة. لمجموع أطوال الأحرف اجمع الأبعاد الثلاثة واضرب في أربعة. لرسم الشبكة ألصق كل وجه على حرف بالطول نفسه. إذا أُعطي الحجم ونقص طول فاقسم الحجم على مساحة القاعدة أولًا. لمعرفة النقاط أو الأوجه المتلاقية اطوِ وجهًا واحدًا في كل مرة. أما مساحة الشبكة فتجدها في درس المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات والأسطوانة.

Name the solid first. Then the right method follows.

You see	You do
Name this shape	look at the ends: prism or pyramid?
How many faces?	count the net's pieces
How many edges?	prism $3 n$ , pyramid $2 n$
How many vertices?	prism $2 n$ , pyramid $n + 1$
Total length of the edges	$4 (l + w + h)$
Draw or complete a net	attach each face along an edge of the same length
Volume given, a length missing	$h = V \div (l \times w)$ first
Which point or face meets?	fold one face at a time
Area of the net	Surface Area of a Cuboid and Cylinder

Key idea

For a prism or pyramid, n is the number of sides on the end or base.

تدرّب على شبكات المجسمات ثلاثية الأبعاد

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح شبكات المجسمات ثلاثية الأبعاد

1. A Net Is the Solid Laid Flat

2. Name the Solid

3. Count the Faces

4. Count the Edges and Vertices

5. Drawing a Net on a Grid

6. Nets of Prisms and Pyramids

7. Find a Missing Length First

8. Which Points Meet When Folded?

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على شبكات المجسمات ثلاثية الأبعاد

أسئلة امتحانات سابقة على شبكات المجسمات ثلاثية الأبعاد، محلولة ومشروحة بالعربي