شرح الأعداد الطبيعية

Natural Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Natural Number Is

الأعداد الطبيعية هي أعداد العدّ: واحد، اثنان، ثلاثة، وتستمر بلا نهاية. ليكون العدد طبيعيًا يجب أن ينجح في ثلاثة اختبارات: أن يكون صحيحًا بلا جزء عشري، وألا يكون سالبًا، وألا يكون صفرًا. أحيانًا يأتي العدد الطبيعي متنكرًا في صورة جذر أو كسر أو مربع، لذلك احسب قيمته أولًا ثم اختبره. في المثال: احسب الجذر أولًا، فإذا خرج عددًا صحيحًا موجبًا فهو طبيعي. وخط الكسر يعني القسمة، فإذا لم يبقَ باقٍ كان الناتج طبيعيًا. وعند تربيع عدد سالب اكتبه بين قوسين حتى لا تضيع إشارة السالب، وتذكّر أن السالب في السالب يعطي موجبًا. أما إذا ظهر جزء عشري بعد القسمة فالعدد ليس طبيعيًا. انتبه: لا تحكم على العدد من شكله، فالكسر قد تكون قيمته عددًا صحيحًا، والصفر ليس عددًا طبيعيًا في هذا المنهج. والفردي والزوجي بنفس الفكرة: الأعداد الصحيحة وحدها تكون فردية أو زوجية، فالعدد العشري أو الجذر غير الصحيح ليس فرديًا ولا زوجيًا.

Natural numbers are the counting numbers: $1, 2, 3, 4, \dots$ They go on for ever. A number is natural if it passes three tests.

Test	Fails it
Whole: no decimal part	$2.5$
Not negative	$- 3$
Not zero	$0$

A natural number can wear a disguise. Work out its value first, then test it.

Worked example

1
$25 = 5$ — Work out the value first: 5 × 5 = 25, so √25 = 5. It is whole and positive, so it is natural.
2
$\frac{18}{6} = 3$ — A fraction line means divide. 18 ÷ 6 = 3 with nothing left over, so this is natural too.
3
$(- 2)^{2} = (- 2) \times (- 2)$ — Squaring means multiply the number by itself. Keep the −2 in brackets so the minus is not lost.
4
$(- 2) \times (- 2) = 4$ — Minus times minus is plus, so the answer is 4. The minus has gone, so this is natural.
5
$\frac{10}{4} = 2.5$ — 10 ÷ 4 = 2.5. It has a decimal part, so it fails the whole-number test: not natural.

Common mistake

Judging by the look. $\frac{18}{6}$ looks like a fraction but it is 3. In this course the natural numbers start at 1, so 0 is not one of them.

Key idea

Odd and even follow the same idea: only whole numbers can be odd or even. Even ends in 0, 2, 4, 6 or 8; odd ends in 1, 3, 5, 7 or 9. So 2.7 and $19$ are neither, because they are not whole.

2. Counting the Natural Numbers in a Range

سؤال الدرجة الواحدة هنا: كم عددًا طبيعيًا يقع بين قيمتين، أو اكتب الأعداد التي تحقق شرطًا معينًا. الطريقة الأساسية: اكتب الأعداد كلها ثم عُدّها. في المثال الأول طرفا المدى ليسا عددين صحيحين، فابحث عن أول عدد صحيح أكبر من الطرف الأصغر، وآخر عدد صحيح أصغر من الطرف الأكبر، ثم اكتب كل الأعداد بينهما حتى لا يفوتك أحدها، ثم عُدّها. إذا كان المدى طويلًا والطرفان داخلين فيه فاستعمل الاختصار: اطرح الأول من الأخير، وهذا يعدّ الفجوات بين الأعداد لا الأعداد نفسها، ثم أضف واحدًا لأن عدد الأعداد يزيد دائمًا واحدًا على عدد الفجوات. وإذا أعطاك السؤال شرطًا بدل المدى فابدأ من الواحد، أول عدد طبيعي، واختبر الأعداد واحدًا بعد الآخر، وتوقف عند أول عدد يفشل، لأن الأعداد الأكبر تعطي مربعات أكبر. الخطأ الشائع: نسيان إضافة الواحد بعد الطرح.

The 1-mark question: how many natural numbers lie between two values, or list the ones that fit a rule. Write them out and count.

Worked example

1
$3.2 < n < 8.7$ — The question: n is bigger than 3.2 and smaller than 8.7. Neither end is a whole number.
2
$4$ — The first whole number above 3.2 is 4. 3 is too small, because 3 < 3.2.
3
$8$ — The last whole number below 8.7 is 8. 9 is too big, because 9 > 8.7.
4
$4, 5, 6, 7, 8$ — Write out every whole number from 4 to 8, so none is missed.
5
$count = 5$ — Count the list. There are 5 natural numbers.

From 12 to 40, with both ends included, there are too many to write. Use the shortcut.

Worked example

1
$12, 13, 14, \dots, 40$ — The question. Both ends count, but writing 29 numbers out is slow and easy to get wrong.
2
$40 - 12 = 28$ — Last minus first gives 28. This counts the gaps between the numbers, not the numbers.
3
$28 + 1 = 29$ — There is always one more number than gaps, so add 1. There are 29 numbers.

Some questions give a rule instead of a range. Start at 1 and test each number until one fails.

Worked example

1
$n^{2} < 30$ — The question: which natural numbers have a square less than 30? Start at 1, the first natural number.
2
$1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9$ — Square each one in turn. All are less than 30, so 1, 2 and 3 fit.
3
$4^{2} = 16, 5^{2} = 25$ — Still less than 30, so 4 and 5 fit too.
4
$6^{2} = 36$ — 36 is more than 30, so 6 fails. Bigger numbers give bigger squares, so you can stop here.
5
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ — The answer: five natural numbers.

Common mistake

Answering 28 for 12 to 40. Last minus first counts the gaps. Add 1 to count the numbers themselves.

3. Always Natural? Add, Take, Times, Divide

سؤال الدرجة الواحدة هنا: هل يكون الناتج عددًا طبيعيًا دائمًا، أم أحيانًا، أم أبدًا؟ الطريقة: جرّب عددين طبيعيين، ثم اعكس ترتيبهما. الجمع يعطي دائمًا عددًا طبيعيًا لأن المجموع أكبر من العددين، والضرب كذلك لأنه جمع متكرر. أما الطرح فيعطي عددًا طبيعيًا إذا طرحت الأصغر من الأكبر، لكن إذا طرحت الأكبر من الأصغر نزلت تحت الصفر وصار الناتج سالبًا. والقسمة قد تكون بلا باقٍ فتعطي عددًا طبيعيًا، وقد تترك جزءًا عشريًا فلا تعطيه. إذن الجمع والضرب: دائمًا، والطرح والقسمة: أحيانًا. انتبه: لا تقل إن الطرح لا يعطي عددًا طبيعيًا أبدًا، فمثال واحد ناجح يجعل الجواب «أحيانًا» لا «أبدًا».

The 1-mark question: is the answer always a natural number, sometimes, or never? Try two natural numbers, like 5 and 8, in both orders.

Worked example

1
$5 + 8 = 13$ — Add: the total of two counting numbers is bigger than both, so adding is always natural.
2
$5 \times 8 = 40$ — Times: this is 8 + 8 + 8 + 8 + 8, just repeated adding, so it is always natural too.
3
$8 - 5 = 3$ — Take away, bigger minus smaller: 3 is natural.
4
$5 - 8 = - 3$ — Now the other order. Taking a bigger number away goes below zero, and −3 is not natural.
5
$40 \div 8 = 5$ — Divide: 40 ÷ 8 = 5 exactly, so this time the answer is natural.
6
$8 \div 5 = 1.6$ — But 8 ÷ 5 leaves a decimal. 1.6 is not whole, so dividing only sometimes works.

Rule

Adding or multiplying two natural numbers always gives a natural number. Taking away or dividing only sometimes does.

Common mistake

Saying take away never works. $8 - 5 = 3$ is natural, so the answer is sometimes, not never.

4. Big Numbers in Words and Figures

سؤال شائع بدرجة واحدة: اكتب عددًا كبيرًا بالكلمات الإنجليزية، أو حوّل الكلمات إلى أرقام. الطريقة: قسّم أرقام العدد إلى مجموعات من ثلاثة مبتدئًا من اليمين: الآحاد، ثم الآلاف، ثم الملايين، وكل مجموعة بعد الأولى يجب أن تحتوي على ثلاثة أرقام بالضبط. من الأرقام إلى الكلمات: افصل ثلاثة أرقام من اليمين، فالمجموعة اليسرى هي الآلاف، اقرأها ثم قل كلمة الألف، ثم اقرأ المجموعة اليمنى وحدها، والصفر في أولها يحفظ المكان فقط ولا يُنطق. وعند الربط تُقال كلمة «و» قبل الجزء الأخير إذا كان أقل من مئة. من الكلمات إلى الأرقام: اكتب الملايين أولًا، ثم يجب أن تتبعها مجموعتان كل منهما ثلاثة أرقام، فإن كان الجزء أقصر فأكمله بأصفار في أوله. وتحقق في النهاية: العدد من مليون إلى ما دون عشرة ملايين له سبعة أرقام. الخطأ الشائع: نسيان الأصفار داخل المجموعات. ونفس المجموعات تخبرك بقيمة كل رقم حسب منزلته.

A common 1-mark question: write a big whole number in words, or turn the words back into figures. Split the digits into groups of three, counting from the right.

Rule

Groups of three, from the right: ones, then thousands, then millions. Every group after the first must have exactly three digits.

1. Figures to words: $305040$

Worked example

1
$305040$ — The question. Count three digits in from the right. That splits it into 305 and 040.
2
$305040$ — The left group is the thousands. Read it, then say thousand: three hundred and five thousand.
3
$305040$ — The right group is read on its own. 040 is forty: the 0 at the front only holds a place, so you say nothing for it.
4
$305 thousand and 40$ — Join the parts: three hundred and five thousand and forty. Say “and” before a last part under 100.

2. Words to figures: two million, seventy thousand and six

Worked example

1
$2 million$ — Millions come first, so write 2. Two groups of three digits must follow it.
2
$2070$ — Seventy thousand fills the thousands group. Seventy is 70, so write 070: the 0 in front keeps three digits.
3
$2070006$ — Six fills the last group. Write 006, again three digits.
4
$2070006$ — The answer. Check: a number from one million up to ten million has 7 digits.

Common mistake

Writing 2 70 6 or 2 706. Each group after the millions needs three digits, so fill the gaps with zeros.

Key idea

The same groups tell you what a digit is worth. In 2 070 006 the 7 is in the ten thousands place, so it is worth 70 000, not 7.

5. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بالطريقة المناسبة. إذا سُئلت أيّ الأعداد طبيعية: احسب قيمة كل عدد ثم اختبره. إذا سُئلت كم عددًا بين قيمتين: اكتبها وعُدّها، أو اطرح الأول من الأخير وأضف واحدًا. إذا سُئلت دائمًا أم أحيانًا أم أبدًا: جرّب عددين وبالترتيبين. وإذا طُلب منك الكتابة بالكلمات أو بالأرقام: قسّم العدد إلى مجموعات من ثلاثة من اليمين. أما اختيار الأعداد الفردية والزوجية والأولية والمربعات، والكسور والأعداد العشرية، والجذور التي لا تنتهي، والأعداد السالبة، فلكل منها درس آخر: الأعداد الحقيقية، والأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية، والأعداد الموجهة. وتذكّر: في سؤال «دائمًا أم أبدًا» يكفي مثال واحد يفشل لتقول إن الأمر ليس صحيحًا دائمًا.

The words in the question tell you which test to use.

You see	You do
Which are natural numbers?	work out each value, then test
How many between two values?	list them, or last minus first plus 1
Always, sometimes or never?	try two numbers, both orders
Write in words or in figures	split into groups of three from the right
Picking odds, evens, primes, squares	Real Numbers
Fractions and decimals	Rational Numbers
Roots that never end	Irrational Numbers
Negative numbers	Directed Numbers

Key idea

For always or never, one example that fails is enough to say it is not always true.

تدرّب على الأعداد الطبيعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد الطبيعية

1. What a Natural Number Is

2. Counting the Natural Numbers in a Range

3. Always Natural? Add, Take, Times, Divide

4. Big Numbers in Words and Figures

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد الطبيعية

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد الطبيعية، محلولة ومشروحة بالعربي