شرح محيط ومساحة المستطيل

Perimeter and Area of a Rectangle

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Around the Edge, or Inside

المحيط هو المسافة حول الشكل كله، أما المساحة فهي الحيّز داخله وتُعدّ بالمربعات. محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض، ومساحته تساوي الطول في العرض. في المثال: اكتب الطول والعرض أولًا، ثم اجمع طولًا واحدًا وعرضًا واحدًا فتحصل على نصف المحيط، ثم ضاعفه لأن الضلعين الآخرين مثلهما، والوحدة سنتيمتر. للمساحة اضرب الطول في العرض، كأنك تعدّ صفوفًا من المربعات، والوحدة سنتيمتر مربع. الخطأ الشائع هو الخلط بين الوحدتين: المحيط طول، والمساحة مربعات.

Perimeter is the distance all the way round. Area is the space inside, counted in squares.

Formula

P = 2 (l + w) A = l \times w

$l$ is the length and $w$ is the width. Perimeter is in cm; area is in square cm, $cm^{2}$ .

Worked example

1
$l = 9, w = 4$ — The rectangle is 9 cm long and 4 cm wide. Write both down first so you use the right numbers.
2
$9 + 4 = 13$ — Add one length and one width. That is half the way round: two of the four sides.
3
$P = 2 \times 13 = 26 cm$ — Double it, because the other length and width are the same. Perimeter is a length, so the unit is cm.
4
$A = 9 \times 4 = 36 cm^{2}$ — Length times width: 4 rows of 9 make 36 squares. Area counts squares, so the unit is cm².

Common mistake

Giving area in cm, or perimeter in square cm. Round the edge is a length; inside is squares.

Key idea

Puzzle: find a rectangle with whole-number sides whose area and perimeter are the same number. There are only two! A 4 by 4 square (area 16, perimeter 16) and a 3 by 6 rectangle (area 18, perimeter 18).

2. Shapes on a Grid

في بعض الأسئلة القصيرة يُرسم الشكل على شبكة مربعات، كل مربع ضلعه سنتيمتر واحد، فلا تحتاج قانونًا بل تعدّ. أولًا عُدّ المربعات الكاملة داخل الشكل، وكل واحد منها سنتيمتر مربع. ثم عُدّ أنصاف المربعات التي يقطعها الشكل على القطر، وكل نصفين يكوّنان مربعًا كاملًا. اجمع المربعات الكاملة والأنصاف لتحصل على المساحة. الخطأ الشائع في المحيط هو عدّ خطوط الشبكة داخل الشكل، والصحيح أن تعدّ الحواف الخارجية فقط. وإذا كان الشكل منحنيًا فالمساحة تقدير: عُدّ المربعات الكاملة، واحسب كل مربع أكثر من نصفه داخل الشكل مربعًا كاملًا، واترك ما كان أقل من نصفه.

Some 1-mark questions draw a shape on a 1 cm grid. You need no formula: count.

Worked example

1
$9 whole squares$ — Count the squares fully inside the shape first. Each one is 1 cm².
2
$4 \times \frac{1}{2} = 2$ — The shape also cuts 4 squares in half along their diagonals. Two halves make one whole square.
3
$A = 9 + 2 = 11 cm^{2}$ — Add the whole squares and the halves for the total area.

Common mistake

Counting grid lines inside the shape for the perimeter. Perimeter counts only the 1 cm edges on the outside.

Key idea

A curved shape can only be estimated. Count the whole squares, count each square that is more than half inside as 1, and leave out squares that are less than half inside.

3. Perimeter in a Story

في هذا السؤال توجد قصة: شخص يمشي حول حقل، أو سلك يُثنى ليصنع إطارًا. الفكرة أن تحسب محيطًا واحدًا ثم تستخدمه. أولًا اجمع الطول والعرض، وهذا نصف الدورة فقط. ثم ضاعفه لتغطي الأضلاع الأربعة، فتحصل على دورة واحدة حول الحقل. أخيرًا اضرب في عدد مرات الدوران. الخطأ الشائع هو التوقف عند مجموع الطول والعرض، وهو نصف الدورة فقط. والسلك بالطريقة نفسها: احسب محيط الإطار، ثم اطرحه من طول السلك لتعرف الباقي، مع الانتباه لتحويل المتر إلى سنتيمترات.

The 3-mark question: someone walks round a field, or bends wire into a frame. Find one perimeter, then use it.

A field is 80 metres by 55 metres. Sara walks round the edge 4 times. How far does she walk?

Worked example

1
$80 + 55 = 135$ — Add one length and one width. This is only half the way round.
2
$2 \times 135 = 270 m$ — Double it to cover all four sides. That is one walk round the field.
3
$4 \times 270 = 1080 m$ — She walks round 4 times, so multiply one lap by 4.

Common mistake

Stopping at 135. That is only half the way round: two of the four sides.

Key idea

Wire works the same way. A frame 18 cm by 12 cm uses 60 cm. From 1 metre of wire, 100 − 60 = 40 cm is left.

4. Working Back From a Perimeter

في هذا السؤال مربع له محيط المستطيل نفسه، والمطلوب مقارنة مساحتيهما. أولًا احسب محيط المستطيل: اجمع الطول والعرض ثم ضاعف الناتج. هذا المحيط هو محيط المربع أيضًا، والمربع له أربعة أضلاع متساوية، فاقسم المحيط على أربعة لتجد ضلعه. ثم احسب مساحة المربع بضرب الضلع في نفسه، ومساحة المستطيل بضرب الطول في العرض. أخيرًا اطرح المساحة الصغرى من الكبرى لأن السؤال يطلب الفرق. الخطأ الشائع هو قسمة المحيط على اثنين لإيجاد ضلع المربع، والصحيح القسمة على أربعة.

The 4-mark question: a square has the same perimeter as a rectangle. Compare their areas.

The rectangle is 12 cm by 4 cm.

Worked example

1
$12 + 4 = 16$ — Add one length and one width of the rectangle.
2
$P = 2 \times 16 = 32 cm$ — Double it for all four sides. The square has this same perimeter.
3
$side = 32 \div 4 = 8 cm$ — A square has 4 equal sides, so share the perimeter between 4.
4
$8 \times 8 = 64 cm^{2}$ — Area of the square: side times side.
5
$12 \times 4 = 48 cm^{2}$ — Area of the rectangle: length times width.
6
$64 - 48 = 16 cm^{2}$ — The question asks for the difference, so take the smaller area from the larger.

Common mistake

Dividing the perimeter by 2 for the square's side. A square has four sides, so divide by 4.

Key idea

Square tiles: if one tile has perimeter 12 cm, its side is 3 cm and its area is 9 cm². Ten tiles make 90 cm².

5. A Square: Side From Area

المربع مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية، فقوانينه أقصر: المحيط أربعة أمثال الضلع، والمساحة مربع الضلع. وكثيرًا ما يعطيك الامتحان المساحة ويطلب الضلع أو المحيط. أولًا اكتب أن مربع الضلع يساوي المساحة، ثم خذ الجذر التربيعي لأنه يعكس التربيع، وتحقق بضرب الضلع في نفسه، واختر الجواب الموجب لأن الطول لا يكون سالبًا. بعدها اضرب الضلع في أربعة لتجد المحيط. الخطأ الشائع هو قسمة المساحة على أربعة لإيجاد الضلع، وهذا يصح فقط عند البدء من المحيط؛ أما من المساحة فخذ الجذر التربيعي.

A square is a rectangle with four equal sides, so the formulas get shorter. Exams often give the area and ask for the side or the perimeter.

Formula

P = 4 s A = s^{2}

$s$ is the length of one side. To go back from the area to the side, take the square root: $s = A$ .

Worked example

1
$A = 529 cm^{2}$ — A square has area 529 cm². You need the side before you can find the perimeter.
2
$s^{2} = 529$ — The area of a square is side times side, so the side squared is 529.
3
$s = 529 = 23 cm$ — Square root undoes squaring. Check: 23 × 23 = 529. Use 23, not −23: a length cannot be negative.
4
$P = 4 \times 23 = 92 cm$ — Four equal sides, so multiply the side by 4.

Common mistake

Dividing the area by 4 to get the side. That only works from the perimeter. From the area, take the square root.

6. A Missing Side, or Draw One

هنا تجد ضلعًا مجهولًا من المساحة أو المحيط، أو ترسم مستطيلًا على شبكة. من المساحة: اكتب أن الطول في العرض يساوي المساحة، ثم اقسم المساحة على الطول لتجد العرض، وتحقق بالضرب. من المحيط: المحيط فيه طولان وعرضان، فاطرح الطولين من المحيط ليبقى مجموع العرضين، ثم اقسمه على اثنين، وتحقق بالتعويض في قانون المحيط. الخطأ الشائع عند رسم مستطيل بمحيط معين هو أن تجعل الطول والعرض مجموعهما المحيط كله، والصحيح أن مجموعهما نصف المحيط فقط.

The 2-mark questions: find a side from the area or perimeter, or draw a rectangle on a grid.

Worked example

1
$A = 45, l = 9$ — The area is 45 cm² and the length is 9 cm. The width is missing.
2
$9 \times w = 45$ — Area is length times width, so write that with w for the missing side.
3
$w = 45 \div 9 = 5 cm$ — Divide by 9 to undo the times. Check: 9 × 5 = 45.
4
$P = 30, l = 9$ — A new question: the perimeter is 30 cm and the length is 9 cm. Find the width.
5
$30 - 2 \times 9 = 12$ — The perimeter holds two lengths. Take both off: 30 − 18 = 12 is left for the two widths.
6
$w = 12 \div 2 = 6 cm$ — Two equal widths share the 12, so halve it. Check: 2(9 + 6) = 30.

Common mistake

To draw a perimeter of 14 cm, the length and width must add to 7, not 14. So 5 by 2, or 4 by 3.

7. Perimeter and Area Together

بعض الأسئلة تعطيك المحيط والمساحة معًا، فحوّل كل معلومة إلى دليل عن الأضلاع. في السؤال الأول: نصف المحيط يساوي مجموع الطول والعرض، والمساحة تساوي حاصل ضربهما، فابحث عن عددين مجموعهما نصف المحيط وحاصل ضربهما المساحة، بتجربة أزواج العوامل، ثم ارسم المستطيل على الشبكة. في السؤال الثاني: احسب مساحة المستطيل الأول، وهي نفسها مساحة الثاني، ثم اقسمها على عرض الثاني لتجد طوله، ثم احسب محيط كل منهما واطرح لتجد الفرق. لاحظ أن المستطيل الطويل الرفيع له حافة أطول مع المساحة نفسها. اكتب خطوات الجمع والضرب بجانب الرسم، فالعمل الصحيح قد يأخذ درجة حتى لو أخطأت في الرسم.

Some questions give both the perimeter and the area. Turn each fact into a clue about the sides.

1. Draw a rectangle with perimeter 26 cm and area 40 cm².

Worked example

1
$l + w = 26 \div 2 = 13$ — Half the perimeter is one length plus one width.
2
$l \times w = 40$ — The area is length times width.
3
$5 + 8 = 13, 5 \times 8 = 40$ — Find two numbers that add to 13 and multiply to 40. Pairs that multiply to 40: 1 and 40, 2 and 20, 4 and 10, 5 and 8.
4
$8 cm by 5 cm$ — Draw it 8 squares long and 5 squares wide on the grid.

2. Rectangle A is 3 cm by 16 cm. Rectangle B has the same area and is 6 cm wide. Which has the longer perimeter, and by how much?

Worked example

1
$3 \times 16 = 48 cm^{2}$ — The area of A. B has this same area.
2
$length of B = 48 \div 6 = 8 cm$ — Area ÷ width undoes the times and gives B's missing side.
3
$P_{A} = 2 (3 + 16) = 38 cm$ — Perimeter of A: add a length and a width, then double.
4
$P_{B} = 2 (6 + 8) = 28 cm$ — Perimeter of B, the same way.
5
$38 - 28 = 10 cm$ — A has the longer perimeter, by 10 cm. A long thin rectangle has more edge for the same area.

Key idea

Show your working. Write 5 + 8 = 13 and 5 × 8 = 40 next to your drawing: if the drawing has a slip, correct working can still earn a mark.

8. Sides Written in x

في الأسئلة الأصعب تُكتب الأضلاع باستخدام حرف مجهول. كوّن المحيط أو المساحة من هذه التعابير، واجعله مساويًا للعدد المعطى، ثم حلّ المعادلة. في المثال: المحيط ضعف مجموع الطول والعرض، فاكتب ذلك بالتعبيرين، ثم اجمع الحدود المتشابهة داخل القوس، ثم فك القوس، ثم اطرح من الطرفين واقسم لتجد قيمة المجهول. بعدها عوّض بالقيمة في كل ضلع، وتحقق من المحيط، ثم احسب المساحة لأنها المطلوبة. الخطأ الشائع هو التوقف عند قيمة المجهول، وهي ليست الجواب هنا. وإذا أعطت المعادلة قيمتين فارفض أي قيمة تجعل ضلعًا صفرًا أو سالبًا، لأن الطول لا يكون سالبًا. والكسور من المحيط تُحل بالطريقة نفسها.

Harder questions write the sides with a letter. Build the perimeter or area from the letters, set it equal to the number given, and solve.

A rectangle is (x + 5) cm long and x cm wide. Its perimeter is 26 cm. Find its area.

Worked example

1
$2 ((x + 5) + x) = 26$ — Perimeter is twice (length + width). Put both expressions in and set it equal to 26.
2
$2 (2 x + 5) = 26$ — Collect the x's inside the bracket: x + x = 2x.
3
$4 x + 10 = 26$ — Multiply out the bracket: 2 × 2x = 4x and 2 × 5 = 10.
4
$4 x = 16$ — Take 10 from both sides.
5
$x = 4$ — Divide both sides by 4.
6
$length = 4 + 5 = 9, width = 4$ — Put x = 4 back into each side. Check: 2(9 + 4) = 26.
7
$A = 9 \times 4 = 36 cm^{2}$ — The question asks for the area, so finish with length times width.

Common mistake

Stopping at x = 4. x is not the answer here: use it to find the sides, then the area or perimeter the question asks for.

Key idea

Fractions of the perimeter work the same way. If a 5 cm width is $\frac{1}{8}$ of the perimeter, the perimeter is 5 × 8 = 40 cm. Then length + width = 20, so the length is 15 cm.

Key idea

If an equation gives two values of x, reject any value that makes a side zero or negative. A length cannot be negative.

9. Which Method? Read the Question

اسأل نفسك أولًا: هل السؤال عن الحافة أم عن الداخل؟ المشي حول شيء، أو السياج، أو السلك، أو الإطار، كلها محيط: ضعف مجموع الطول والعرض. والسجاد، والطلاء، والبلاط، والتغطية، كلها مساحة: الطول في العرض. إذا كان مربع له المحيط نفسه فاقسم المحيط على أربعة لتجد ضلعه. إذا أُعطيت المساحة وضلع واحد فاقسم لتجد الضلع الآخر. إذا كان الشكل على شبكة فعُدّ المربعات. إذا أُعطيت مساحة مربع فالضلع هو الجذر التربيعي للمساحة. إذا أُعطي المحيط والمساحة معًا فابحث عن عددين مجموعهما نصف المحيط وحاصل ضربهما المساحة. إذا كُتبت الأضلاع بمجهول فكوّن معادلة وحلّها ثم عوّض. أما المثلثات والأشكال المائلة والأشكال المركبة فلها دروس مستقلة. وتأكد أن الوحدات متطابقة، فحوّل الأمتار إلى سنتيمترات أو العكس قبل الجمع.

Is the question about the edge or the inside?

You see	You do
Walk round, fence, wire, border	perimeter $2 (l + w)$
Carpet, paint, tiles, cover	area $l \times w$
Square with the same perimeter	perimeter ÷ 4 for the side
Area given, one side given	divide for the other side
Shape drawn on a 1 cm grid	count the squares
Square, area given	side $= area$
Perimeter and area both given	two numbers that add to half the perimeter and multiply to the area
Sides written with x	form an equation, solve, put x back
Triangles	Area of a Triangle
Sloping sides	Area of a Parallelogram and Trapezium
L-shapes and cut-outs	Composite Perimeter, Area and Volume

Key idea

Check the units match. Change metres to cm (or back) before you add.

تدرّب على محيط ومساحة المستطيل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح محيط ومساحة المستطيل

1. Around the Edge, or Inside

2. Shapes on a Grid

3. Perimeter in a Story

4. Working Back From a Perimeter

5. A Square: Side From Area

6. A Missing Side, or Draw One

7. Perimeter and Area Together

8. Sides Written in x

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على محيط ومساحة المستطيل

أسئلة امتحانات سابقة على محيط ومساحة المستطيل، محلولة ومشروحة بالعربي