شرح مستويات التماثل في المجسمات ثلاثية الأبعاد
Planes of Symmetry in 3D Shapes
يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580
الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.
1. A Flat Cut Into Mirror Halves
مستوى التماثل قطع مستوٍ يمر عبر المجسم فيقسمه إلى قطعتين كل منهما صورة مرآة للأخرى. هو النسخة الثلاثية الأبعاد من محور التماثل: الخط يقسم الشكل المستوي، والمستوى يقسم المجسم. لاختبار أي قطع اسأل نفسك: لو كان هذا القطع مرآة، هل يبدو أحد النصفين انعكاسًا تامًا للآخر؟
A plane of symmetry is a flat cut through a solid. The two pieces are mirror images of each other.
It is the 3D version of a line of symmetry: a line splits a flat shape, a plane splits a solid.
Rule
Test a cut by asking: if the cut were a mirror, would one half look exactly like the other half's reflection?
2. Cuboids and Cubes
سؤال الدرجة الواحدة: كم مستوى تماثل لمتوازي المستطيلات؟ الطريقة: اقطع في المنتصف بين كل زوج من الأوجه المتقابلة. لمتوازي المستطيلات ثلاثة أزواج من الأوجه المتقابلة، فيعطي كل زوج قطعًا واحدًا، ولا توجد مستويات أخرى إذا كانت كل أحرفه مختلفة. أما المكعب فأوجهه مربعة، لذلك يعطي القطع القطري عبر حرفين متقابلين نصفين متطابقين أيضًا، وهذه تُضاف إلى القطوع الوسطى. الخطأ الشائع عدّ القطوع القطرية لمتوازي المستطيلات؛ أوجهه ليست مربعة، فلا يكون النصفان صورة مرآة.
The 1-mark question: how many planes of symmetry has this cuboid? Cut halfway across each pair of opposite faces.
Worked example
- 1
— A cuboid has 3 pairs of opposite faces: top and bottom, front and back, left and right.
- 2
— One cut halfway between the two faces of each pair gives two mirror halves. A cuboid with all edges different has no other planes.
- 3
— A cube also has square faces, so a diagonal cut through a pair of opposite edges gives mirror halves too. There are 6 of those on top of the 3 middle cuts.
Common mistake
Counting the diagonal cuts for a cuboid. Its faces are not squares, so a diagonal cut gives two halves that do not mirror each other.
3. Prisms, Pyramids and Round Solids
للمنشور انظر إلى وجهه الطرفي: كل محور تماثل للطرف يعطي قطعًا على طول المنشور، ثم أضف قطعًا واحدًا في المنتصف موازيًا للطرفين، وهذا القطع موجود دائمًا مرة واحدة. في المثال نعدّ محاور المثلث المتساوي الأضلاع في الطرف، ثم نضيف القطع الأوسط. الجدول يلخص عدد المستويات لمجسمات شهيرة، والمجسمات المستديرة مثل الأسطوانة والمخروط والكرة لها عدد لا نهائي من المستويات. الهرم ليس له قطع في المنتصف لأن قمته وقاعدته مختلفتان، وكل مستوياته تمر بالقمة.
For a prism, look at its end. Each line of symmetry of the end gives a cut along the length. Add one more cut across the middle.
Worked example
- 1
— Look at the end of the prism. An equilateral triangle has 3 lines of symmetry.
- 2
— Each line of symmetry of the end gives one plane, standing along the length of the prism.
- 3
— A cut halfway along the length, parallel to the ends, gives two mirror halves too. There is always exactly one of these.
- 4
— Add the two kinds of cut.
| Solid | Planes |
| Cuboid, all edges different | 3 |
| Cube | 9 |
| Equilateral triangular prism | 4 |
| Square-based pyramid | 4 |
| Cylinder, cone, sphere | infinitely many |
Key idea
A pyramid has no cut across the middle, because the top and bottom are different. Its planes all pass through the point on top.
4. Square Ends, Pyramids and the Axis
مجسمان يحبهما الامتحان: متوازي مستطيلات طرفه مربع، والهرم. الأول نعدّه بقاعدة المنشور: محاور تماثل المربع في الطرف (اثنان عبر منتصفات الأضلاع واثنان على القطرين)، ثم نضيف القطع الأوسط. أما الهرم الذي قمته فوق مركز قاعدته، فننظر إلى القاعدة فقط: كل محور تماثل فيها يكوّن مع القمة مستوى واحدًا. ولا يوجد قطع في المنتصف، لأن القطع الموازي للقاعدة يترك هرمًا صغيرًا فوق وشكلًا مختلفًا تحته. فعدد مستويات الهرم يساوي عدد محاور تماثل قاعدته. وللهرم أيضًا محور تماثل دوراني هو الخط من القمة إلى مركز القاعدة، ويُسمّى بالحرفين عند طرفيه في الرسم.
Two solids the exam loves: a cuboid with a square end, and a pyramid. The prism rule counts the first. The base counts the second.
Worked example
- 1
— Two edges are equal, so two faces are squares. This is a prism with a square end.
- 2
— A square has 4 lines of symmetry: 2 through the middles of opposite sides and 2 along the diagonals. Each gives a cut along the length.
- 3
— The cut across the middle of the length, as for any prism.
- 4
— More than the 3 of a cuboid with all edges different, but fewer than the 9 of a cube.
Now a pyramid whose base is an equilateral triangle and whose apex is directly above the centre of the base.
Worked example
- 1
— Look at the base only. An equilateral triangle has 3 lines of symmetry.
- 2
— A line of symmetry of the base, together with the apex above the centre, makes one plane.
- 3
— Cutting parallel to the base leaves a small pyramid on top and a different shape below, so they are not mirror images.
- 4
— A pyramid has as many planes as its base has lines of symmetry.
Key idea
A pyramid also has an axis of rotational symmetry. It is the straight line from the apex down to the centre of the base. In a diagram, name it with the two letters at its ends.
5. Which Method? Read the Question
تخيّل المجسم كما تقسمه مرآة. الجدول يلخص: لمتوازي المستطيلات قطع واحد لكل زوج من الأوجه المتقابلة، ويزيد العدد إذا كان أحد الأوجه مربعًا. للمكعب القطوع الوسطى مع القطوع القطرية. للمنشور عدد محاور تماثل الطرف مضافًا إليه واحد. للهرم عدد محاور تماثل القاعدة إذا كانت القمة فوق المركز. وللشكل المستوي ارجع إلى درس محاور التماثل. المجسمات المستديرة مثل الأسطوانة لها عدد لا نهائي من المستويات، لأن أي قطع عبر المحور يصلح.
Picture the solid as a mirror would split it.
| You see | You do |
| Cuboid | one cut per pair of faces: 3 (5 if one pair of faces is square) |
| Cube | 3 middle cuts + 6 diagonal: 9 |
| Prism | lines of symmetry of the end + 1 |
| Pyramid | lines of symmetry of the base (apex above the centre) |
| A flat shape | Lines of Symmetry |
Key idea
Round solids like a cylinder have infinitely many planes: any cut through the middle along the axis works.
تدرّب على مستويات التماثل في المجسمات ثلاثية الأبعاد
أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.
تدرّب مجاناً على Lemmara