شرح الاحتمال باستخدام أشكال فن

Probability with Venn Diagrams

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Probability From a Venn Means

أنت تعرف كيف تملأ مخطط فن، والآن يُختار شخص عشوائيًا وتحسب احتمال وجوده في جزء معين منه. البسط هو مجموع الأعداد في المناطق التي تحقق الشرط، والمقام هو كل من في المستطيل. انتبه: العدد الكلي هو مجموع المناطق الأربع كلها، ومنها العدد الموجود خارج الدائرتين. وأجب دائمًا عن جزء الاحتمال حتى لو لم تكن متأكدًا من مخططك، فالمصححون عادةً يعطون الدرجة على الطريقة الصحيحة بأعدادك أنت.

You already know how to fill a Venn diagram. Now one person is chosen at random, and you find the chance they are in some part of it.

Formula

P = \frac{number who fit}{total}

The top is the regions that fit. The bottom is everyone in the box.

Rule

The total is all four regions added, including the number outside both circles.

Key idea

Always answer the probability part, even if you are unsure of your diagram. Examiners usually give the marks for a correct method using your own numbers.

2. Add the Regions That Fit

السؤال الأشهر: احتمال أن يكون الشخص في المجموعتين معًا، أو في واحدة، أو في هذه أو تلك. حدّد المناطق المناسبة واجمعها، ثم اقسم على العدد الكلي. أولًا اجمع المناطق الأربع لتحصل على الكلي. «كلاهما» هو منطقة التقاطع فقط. «في مجموعة واحدة» هو دائرتها كلها: الجزء الخاص بها مع التقاطع. «هذه أو تلك» يعني الاتحاد: ثلاث مناطق، والتقاطع يُحسب مرة واحدة فقط. «هذه وليس تلك» هو الجزء الخاص بها فقط بدون التقاطع. الخطأ الشائع في الاتحاد: جمع الدائرتين كاملتين فيُحسب التقاطع مرتين.

The most common 2-mark question: find the probability the person is in both, in one set, or in A or B. Find the regions that fit and add them.

50 students: 14 study French only, 8 study both, 11 study Spanish only and 17 study neither.

Worked example

1
$total = 14 + 8 + 11 + 17 = 50$ — Add all four regions. Everyone in the box can be chosen, even the 17 outside both circles.
2
$P (F \cap S) = \frac{8}{50}$ — “Both” is the overlap only: 8 students.
3
$\frac{8}{50} = \frac{4}{25}$ — Divide top and bottom by 2. Either form gets the mark.
4
$P (F) = \frac{14 + 8}{50}$ — The French circle has two regions: French only and the overlap.
5
$\frac{22}{50} = \frac{11}{25}$ — 14 + 8 = 22. Then divide top and bottom by 2.
6
$P (F \cup S) = \frac{14 + 8 + 11}{50}$ — “French or Spanish” means in at least one circle: three regions, with the overlap counted once.
7
$= \frac{33}{50}$ — 14 + 8 + 11 = 33. The 17 outside both circles are left out.
8
$P (F \cap S^{'}) = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$ — “French but not Spanish” is French only. Drop the overlap, because those 8 also study Spanish.

Common mistake

For $F \cup S$ you add 22 and 19 to get 41. That counts the 8 in both twice. Add the three regions instead: 33.

Key idea

If the diagram shows numbers, not counts, count how many numbers sit in each region first.

3. When the Diagram Shows Numbers

أحيانًا يعرض المخطط الأعداد نفسها وليس عددها. عندها عُدّ كم عددًا في كل منطقة قبل أن تقسم. أولًا عُدّ كل الأعداد في المستطيل، ومنها ما هو خارج الدائرتين، فهذا هو المقام. ثم اكتب أعداد المنطقة المطلوبة (التقاطع، أو الجزء الخاص بمجموعة، أو خارج الدائرتين) وعُدّها، وضع العدد في البسط ثم بسّط. الخطأ الشائع: جمع الأعداد نفسها؛ الاحتمال يعتمد على كم عددًا يحقق الشرط، لا على مجموعها. وتحقق أن عدد الأعداد في كل المناطق يساوي الكلي، وإلا فهناك عدد ناقص أو مكرر.

Some diagrams show the numbers themselves, not how many. Then count the numbers in each region before you divide.

ℰ (ξ in Edexcel) = whole numbers 1 to 15. A = multiples of 3. B = odd numbers.

Region	Numbers
A only	6, 12
$A \cap B$	3, 9, 15
B only	1, 5, 7, 11, 13
outside both	2, 4, 8, 10, 14

Worked example

1
$total = 15$ — Count every number in the box, outside the circles too. 15 goes on the bottom.
2
$A \cap B = {3, 9, 15}$ — The overlap holds the odd multiples of 3. List them, then count: 3 numbers.
3
$P (A \cap B) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ — 3 numbers fit out of 15. Divide top and bottom by 3.
4
$A \cap B^{'} = {6, 12}$ — “In A but not B” is A only: the multiples of 3 that are even.
5
$P (A \cap B^{'}) = \frac{2}{15}$ — 2 numbers fit out of 15.
6
$(A \cup B)^{'} = {2, 4, 8, 10, 14}$ — Outside both circles: not a multiple of 3 and not odd.
7
$P ((A \cup B)^{'}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ — 5 numbers fit out of 15. Divide top and bottom by 5.

Common mistake

Adding the numbers: 3 + 9 + 15 = 27. A probability counts how many numbers fit, not what they add up to.

Key idea

Check the counts add back to the total: 2 + 3 + 5 + 5 = 15. If not, a number is missing or written twice.

4. Not in a Set

سؤال «ليس في المجموعة» أو «في ولا واحدة منهما». «ليس في هذه المجموعة» يعني كل المناطق خارج دائرتها، ومنها المنطقة خارج الدائرتين معًا. فاجمع تلك المناطق واقسم على الكلي، أو تحقق بطريقة أخرى: اطرح احتمال المجموعة من الواحد. «ولا واحدة منهما» هو المنطقة خارج الدائرتين فقط. و«في الأولى أو ليس في الثانية» يشمل كل المناطق إلا الجزء الخاص بالثانية وحدها. الخطأ الشائع: الاكتفاء بالمنطقة الخارجية، ونسيان أن الجزء الخاص بالمجموعة الأخرى ليس في هذه المجموعة أيضًا.

Back to the 50 students: 14 study French only, 8 study both, 11 study Spanish only and 17 study neither. The 2-mark 'not' question: the person is not in a set, or in neither. "Not in S" is every region outside circle S, and that includes the outside of both circles.

Worked example

1
$P (S^{'}) = \frac{14 + 17}{50}$ — “Not Spanish” is every region outside circle S: French only and outside both.
2
$\frac{31}{50}$ — 14 + 17 = 31. It does not simplify, so leave it.
3
$1 - \frac{19}{50} = \frac{31}{50}$ — Check another way: all of S is 8 + 11 = 19, so take its share away from 1.
4
$P ((F \cup S)^{'}) = \frac{17}{50}$ — “Neither” is outside both circles only: 17 students.
5
$P (F \cup S^{'}) = \frac{14 + 8 + 17}{50}$ — In F, or not in S: French only, the overlap and outside. Only Spanish only is left out.
6
$= \frac{39}{50}$ — 14 + 8 + 17 = 39. Check: 50 − 11 = 39.

Common mistake

Using only the 17 outside for $S^{'}$ . The 14 who study French only are not in S either.

Key idea

Check with the shortcut: the chance of not S is 1 take away the chance of S.

5. Chosen From One Circle (Extended/Higher)

هذا السؤال يختار شخصًا من دائرة واحدة فقط، مثل «طالب يدرس الفرنسية، ما احتمال أنه يدرس الإسبانية أيضًا؟». هنا يصغر المقام. أولًا اجمع مناطق تلك الدائرة، فهذا هو العدد الكلي الجديد. ثم البسط هو من يحقق الشرط الثاني داخل هذه الدائرة، أي التقاطع. اقسم ثم بسّط. الخطأ الشائع: القسمة على العدد الكلي للجميع، مع أن عبارة «طالب يدرس الفرنسية» تعني أنك تختار من الدائرة فقط. ابحث عن عبارات مثل «من بين الذين» أو «هذا الشخص أيضًا»، فهي تعني كليًا أصغر، وهذا هو الاحتمال المشروط.

The 1 or 2-mark twist: "A student who studies French is chosen. Find the probability they also study Spanish." Now you only choose from the French circle, so the bottom gets smaller.

Worked example

1
$French: 14 + 8 = 22$ — You choose only from the French students, so the French circle is the new total.
2
$also Spanish: 8$ — Of those 22, the ones who also study Spanish sit in the overlap.
3
$P = \frac{8}{22}$ — 8 who fit, out of the 22 you choose from.
4
$= \frac{4}{11}$ — Divide top and bottom by 2.

Common mistake

Writing $\frac{8}{50}$ . The words 'a student who studies French' mean you pick from the 22, not the 50.

Key idea

Look for "this person also" or "one of the people who". That is a smaller total. The Conditional Probability lesson does more of this.

6. Three Circles (Extended/Higher)

مخطط فن بثلاث دوائر يُحل بالطريقة نفسها: اجمع المناطق التي تحقق الشرط، ثم اختر المقام الصحيح. أولًا اجمع المناطق الثماني كلها، ومنها من هم خارج كل الدوائر، فهذا هو الكلي. «اثنتان بالضبط» تعني المناطق الثلاث التي تتقاطع فيها دائرتان فقط، بدون المنطقة الوسطى. وإذا اختير شخص من دائرة واحدة، فاجمع مناطقها الأربع لتكون الكلي الجديد، ثم اجمع داخلها من يحقق الشرط الآخر. الخطأ الشائع: إضافة المنطقة الوسطى إلى «اثنتان بالضبط»، مع أنها داخل الدوائر الثلاث. ولملء المخطط ابدأ من الوسط واتجه إلى الخارج.

Three-circle questions work the same way: add the regions that fit, then pick the right total.

80 people say which they play: squash (S), golf (G), bowls (B).

Region	People
S only	12
G only	15
B only	9
S and G only	6
S and B only	4
G and B only	8
all three	3
none	23

Worked example

1
$12 + 15 + 9 + 6 + 4 + 8 + 3 + 23 = 80$ — Add all eight regions. Everyone can be chosen, including the 23 in no circle.
2
$P (exactly two) = \frac{6 + 4 + 8}{80}$ — “Exactly two” is the three regions where only two circles overlap. The centre is left out.
3
$= \frac{18}{80} = \frac{9}{40}$ — 6 + 4 + 8 = 18. Then divide top and bottom by 2.
4
$n (G) = 15 + 6 + 8 + 3 = 32$ — Now a golfer is chosen. Add the four regions inside circle G: the new total.
5
$also squash: 6 + 3 = 9$ — Inside G, the people who also play squash are “S and G only” and the centre.
6
$P = \frac{9}{32}$ — 9 who fit, out of the 32 golfers you choose from.

Common mistake

Adding the centre 3 to “exactly two”. The centre is in all three circles, so it is not exactly two.

Key idea

To fill a three-circle diagram first, see Three-Set Venn Diagrams. Start in the centre and work outwards.

7. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة في مخطط فن: حدّد المناطق المناسبة، ثم تأكد على أي عدد تقسم. «في الاثنتين» أو «في الأولى» أو «في هذه أو تلك»: اجمع المناطق المناسبة على الكلي. «في الأولى وليس الثانية»: الجزء الخاص بالأولى فقط. «ليس في المجموعة» أو «في ولا واحدة»: كل المناطق خارج تلك الدائرة. «هذا الشخص أيضًا» أو «من بين الذين»: الدائرة نفسها هي الكلي الجديد. إذا عرض المخطط أعدادًا لا تكرارات فعُدّها في كل منطقة. وثلاث دوائر بالطريقة نفسها. تذكّر: المقام هو كل من في المستطيل، إلا إذا اختار السؤال من مجموعة واحدة.

Find which regions fit, then check what you divide by.

You see	You do
In both, in A, in A or B	add the regions that fit, over the total
In A but not in B	A only, over the total
Not in B, or in neither	every region outside that circle
This person also, or one of the people who	that circle is the new total
The diagram shows numbers, not counts	count the numbers in each region
Three circles	same method: add the regions that fit
The diagram is not filled yet	Venn Diagrams
A region is x	Set Problems
Given that, from a table or tree	Conditional Probability

Key idea

The total on the bottom is everyone in the box, unless the question picks from one group.

تدرّب على الاحتمال باستخدام أشكال فن

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاحتمال باستخدام أشكال فن

1. What Probability From a Venn Means

2. Add the Regions That Fit

3. When the Diagram Shows Numbers

4. Not in a Set

5. Chosen From One Circle (Extended/Higher)

6. Three Circles (Extended/Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاحتمال باستخدام أشكال فن

أسئلة امتحانات سابقة على الاحتمال باستخدام أشكال فن، محلولة ومشروحة بالعربي