شرح التكرار النسبي والتوقع

Relative Frequency and Expectation

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Relative Frequency Means

بعض المؤشرات وأحجار النرد غير منتظمة، أي أن النتائج ليست متساوية الفرص، فلا يمكنك حساب الاحتمال بالعدّ، بل تُجري تجربة. التكرار النسبي هو عدد مرات حدوث النتيجة مقسومًا على عدد المحاولات، والمحاولة هي دورة واحدة أو رمية واحدة. في المثال: اقسم عدد المرات على عدد المحاولات، ثم قارن الناتج بالاحتمال لو كان المؤشر منتظمًا؛ فإذا تقاربا بدا المؤشر عادلًا. وإذا جاءت النتائج في جدول تكراري فاجمع كل التكرارات أولًا لتعرف عدد المحاولات. الخطأ الشائع: القسمة على عدد النتائج الممكنة بدل مجموع التكرارات. التكرار النسبي تقدير للاحتمال، وكلما زادت المحاولات كان التقدير أفضل؛ وقد رمى العالم كيريش قطعة نقود آلاف المرات فجاء التكرار النسبي للصورة قريبًا جدًا من النصف.

Some spinners and dice are biased: not every outcome is equally likely. Then you cannot count to find a probability. You do an experiment instead.

Formula

relative frequency = \frac{times it happened}{number of trials}

A trial is one go: one spin, one roll, one throw.

Worked example

1
$80 spins, 22 stars$ — The results. The spinner has 4 equal parts and 1 is a star. Each spin is one trial, so there are 80 trials.
2
$\frac{22}{80}$ — Put the times it landed on a star over the number of trials.
3
$\frac{22}{80} = 0.275$ — Divide: 22 ÷ 80 = 0.275. This is the relative frequency of a star.
4
$fair: \frac{1}{4} = 0.25$ — A fair spinner lands on the star 1 time in 4. Work it out so you have something to compare with.
5
$0.275 \approx 0.25$ — The two are close, so after 80 spins the spinner looks fair.

From a table. Often the results come in a frequency table and you must count the trials yourself. A 4-sided spinner gave these results.

Score	1	2	3	4
Frequency	9	14	11	16

Worked example

1
$9 + 14 + 11 + 16 = 50$ — Add all the frequencies. Every spin is counted once, so this is the number of trials.
2
$\frac{16}{50}$ — A score of 4 came 16 times. Put that over the trials.
3
$= 0.32$ — 16 ÷ 50 = 0.32. This is the relative frequency of scoring 4.

Common mistake

Dividing by 4, the number of scores. Divide by the total of the frequencies, 50, because that is how many spins there were.

Rule

Relative frequency is an estimate of the probability. More trials give a better estimate.

Key idea

During World War II, the mathematician John Kerrich was held in a camp in Denmark. To pass the time, he and a friend tossed a coin 10,000 times and got 5,067 heads. That is a relative frequency of $0.5067$ , very close to $\frac{1}{2}$ .

2. How Many Times? Probability Times Trials

سؤال «قدّر عدد المرات»: اضرب الاحتمال في عدد المحاولات، فهذا هو العدد المتوقع. في المثال: ابدأ باحتمال الفوز في مباراة واحدة واضربه في عدد المباريات. ولعدد الخسارات أوجد احتمال الخسارة أولًا بطرح احتمال الفوز من الواحد، ثم اضربه في عدد المباريات، وتحقق أن الفوز والخسارة معًا يساويان كل المباريات. وإذا كان الاحتمال كسرًا فاقسم عدد المحاولات على المقام أولًا ثم اضرب في البسط. الخطأ الشائع: كتابة الاحتمال نفسه إجابةً، والسؤال يريد عددًا. والتقدير ليس وعدًا، فالعدد الحقيقي قد يزيد قليلًا أو ينقص.

The 2-mark question: "Work out an estimate for the number of times..." Multiply the probability by the number of trials.

Formula

expected number = P \times number of trials

The probability that Sami wins a game is 0.35. He plays 160 games.

Worked example

1
$P (win) = 0.35$ — Start with what you know: the chance that Sami wins one game.
2
$0.35 \times 160$ — Each game gives the same chance of a win, so for 160 games multiply by 160.
3
$= 56$ — 0.35 × 160 = 56. Sami should win about 56 games.
4
$P (lose) = 1 - 0.35 = 0.65$ — Each game is a win or a loss, so the two chances add to 1. Take 0.35 away from 1.
5
$0.65 \times 160 = 104$ — Multiply P(lose) by the 160 games: about 104 losses.
6
$56 + 104 = 160$ — Check: the wins and the losses together must make all 160 games.

With a fraction. The probability that Lena wins is $\frac{3}{8}$ . She plays 40 games. Estimate how many she wins.

Worked example

1
$\frac{3}{8} \times 40$ — Same rule: probability times trials. This time the probability is a fraction.
2
$40 \div 8 = 5$ — Divide by the bottom number first: one eighth of 40 games is 5 games.
3
$5 \times 3 = 15$ — Then multiply by the top number: three eighths of 40 is about 15 wins.

Common mistake

Answering 0.35 or 35. The question asks for a number of games, so multiply by 160.

Key idea

An estimate is not a promise. Sami will win about 56 games, maybe 52 or 60.

3. Missing Probability, Then How Many

جدول لمؤشر غير منتظم فيه فراغات، والمطلوب عدد مرات متوقع. املأ الفراغ أولًا ثم اضرب. اجمع الاحتمالات المعروفة واطرحها من الواحد، فالباقي يتوزع على الفراغات. إذا كان الفراغان متساويين فاقسم الباقي على اثنين، ثم اضرب الاحتمال في عدد المحاولات. وإذا كان أحدهما ضعف الآخر، فسمِّ الأصغر مجهولًا والأكبر ضعفه، فيصيران ثلاثة أجزاء متساوية، فاقسم الباقي على ثلاثة، ثم احسب الضعف وتحقق أن المجموع واحد. الخطأ الشائع: التوقف عند الاحتمال والسؤال يريد عدد المرات، أو القسمة على اثنين في حالة الضعف. واكتب سطر الطرح من الواحد، فهو يأخذ درجة طريقة.

The 3 or 4-mark question: a table of a biased spinner has gaps. Fill the gap first, then multiply.

Number	Probability
1	0.3
2	x
3	0.18
4	x

The spinner lands on 2 and on 4 with the same probability. It is spun 150 times. Estimate how often it lands on 4.

Worked example

1
$0.3 + 0.18 = 0.48$ — Add the probabilities you know. All four probabilities must add up to 1.
2
$1 - 0.48 = 0.52$ — Take that from 1. What is left, 0.52, is shared by 2 and 4.
3
$x = 0.52 \div 2 = 0.26$ — 2 and 4 are equally likely, so each one gets half of 0.52.
4
$0.26 \times 150 = 39$ — Now probability times trials: expect about 39 of the 150 spins to land on 4.

Common mistake

Stopping at 0.26. That is the probability. The question wants a number of spins.

One is twice another. A team can win, lose or draw. P(win) = 0.16. Losing is twice as likely as drawing. Find P(draw) and P(lose).

Worked example

1
$1 - 0.16 = 0.84$ — Lose and draw share what is left after winning, because the three add to 1.
2
$draw = x, lose = 2 x$ — Losing is twice as likely as drawing. Call the draw x, so the lose is 2x.
3
$x + 2 x = 3 x = 0.84$ — Together they make the 0.84 that is left. That is 3 equal parts.
4
$x = 0.84 \div 3 = 0.28$ — Divide by 3 to find one part. This is P(draw).
5
$2 \times 0.28 = 0.56$ — Losing is two parts, so P(lose) = 0.56.
6
$0.16 + 0.56 + 0.28 = 1$ — Check: the three probabilities add to 1.

Common mistake

Halving the 0.84. “Twice as likely” makes 3 equal parts (1 for draw, 2 for lose), so divide by 3, not 2.

Key idea

Write the 1 − (0.3 + 0.18) line. It earns a method mark even if a later number goes wrong.

4. Is It Fair? Is It Biased?

سؤال «أعطِ سببًا يوضح أن النرد قد يكون غير منتظم»: قارن ما حدث بما يعطيه نرد منتظم. أولًا اكتب الاحتمال لو كان النرد منتظمًا، ثم اضربه في عدد الرميات لتعرف العدد المتوقع. قارن العدد الفعلي بالعدد المتوقع، أو التكرار النسبي بالاحتمال؛ إذا كان الفرق كبيرًا فقد يكون غير منتظم، وإذا كانت كل الأعداد قريبة من المتوقع فهو يبدو عادلًا. اكتب الأعداد في سببك: كم حدث فعلًا وكم كان متوقعًا. الخطأ الشائع: الاعتماد على عدد قليل من الرميات، فهذا لا يثبت شيئًا؛ استعمل النتائج ذات أكبر عدد من المحاولات.

The 1-mark question: "Give a reason why the results show the dice could be biased." Compare what happened with what a fair dice would give.

A dice is rolled 120 times. A six comes up 41 times.

Worked example

1
$P (6) = \frac{1}{6}$ — A fair dice has 6 equally likely faces, so the chance of a six is one in six.
2
$\frac{1}{6} \times 120 = 20$ — Probability times trials: a fair dice gives about 20 sixes in 120 rolls.
3
$\frac{41}{120} \approx 0.34$ — The relative frequency of a six in the results. A fair dice gives about 0.17.
4
$41 is far more than 20$ — About double what a fair dice gives, so the dice could be biased.

Rule

Give numbers in your reason: "41 sixes, but only about 20 expected."

Show it is fair. A 5-sided spinner is spun 400 times. The scores 1 to 5 come up 78, 83, 79, 81 and 79 times.

Worked example

1
$400 \div 5 = 80$ — A fair spinner shares the 400 spins equally, so each score should come up about 80 times.
2
$78, 83, 79, 81, 79 \approx 80$ — Every count is close to 80, so the spinner looks fair. Say so with the numbers.

Common mistake

Trusting a short run. 3 sixes in 10 rolls proves nothing. Use the results with the most trials for the best estimate.

5. From a Sample to a Whole Group

يسأل السؤال مجموعة صغيرة (عينة) ثم يطلب تقديرًا لمجموعة أكبر بكثير. العينة تعطيك تكرارًا نسبيًا تستعمله كأنه احتمال. اكتب الكسر: عدد من يحققون الصفة في العينة على حجم العينة، ثم اضربه في حجم المجموعة الكبيرة، على افتراض أن المجموعة كلها تشبه العينة. لتسهيل الحساب اقسم حجم المجموعة الكبيرة على حجم العينة أولًا لتعرف كم مرة هي أكبر، ثم اضرب. كتابة الكسر مضروبًا في حجم المجموعة يأخذ درجة طريقة حتى لو أخطأت في الحساب. الخطأ الشائع: قسمة حجم المجموعة على عدد من يحققون الصفة؛ الكسر هو العدد من بين حجم العينة.

Questions often ask a small group, then ask about a much bigger one. The small group gives a relative frequency, and you use it like a probability.

Formula

expected number = \frac{number in sample}{sample size} \times whole group

The sample is the small group that was asked. The fraction is its relative frequency. The whole group is everyone you want to estimate for.

40 students are asked how they get to school, and 9 of them cycle. There are 1200 students in the school. Estimate how many cycle.

Worked example

1
$\frac{9}{40}$ — 9 of the 40 students asked cycle. This is the relative frequency of cycling.
2
$\frac{9}{40} \times 1200$ — Assume the whole school is like the sample, so multiply by the 1200 students.
3
$1200 \div 40 = 30$ — Divide first to keep the numbers small: the school is 30 times as big as the sample.
4
$9 \times 30 = 270$ — So there are about 30 times as many cyclists: about 270 students.

Key idea

This is usually a 2-mark question. Writing $\frac{9}{40} \times 1200$ earns a method mark even if the arithmetic slips.

Common mistake

Working out 1200 ÷ 9. The fraction is “9 out of 40”, so it is 9 ÷ 40, then × 1200.

6. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة: انظر ماذا يعطيك السؤال وماذا يريد. نتائج تجربة: عدد مرات الحدوث على عدد المحاولات. تقدير عدد المرات: الاحتمال في عدد المحاولات. جدول فيه فراغات ثم «كم مرة»: املأ من الواحد ثم اضرب في المحاولات. «هل هو عادل أم غير منتظم؟»: قارن بالعدد المتوقع لو كان منتظمًا. استطلاع لعدد قليل ثم مجموعة كبيرة: كسر العينة في حجم المجموعة الكبيرة. وتذكّر: تقدير «كم» عدد أكبر من واحد، أما الاحتمال فبين الصفر والواحد.

Look at what the question gives you and what it wants.

You see	You do
Results of an experiment	times it happened over trials
Estimate the number of times	probability × trials
A table with gaps, then how many	fill from 1, then × trials
Is it fair or biased?	compare with the fair expected number
A survey of a few, then a big group	sample fraction × size of the big group
Know how many and the probability, want the total	Probability from Tables and Charts
Equally likely outcomes, no trials	Basic Probability
A frequency table or chart	Probability from Tables and Charts

Key idea

An estimate of how many is a count, so it is bigger than 1. A probability is between 0 and 1.

تدرّب على التكرار النسبي والتوقع

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التكرار النسبي والتوقع

1. What Relative Frequency Means

2. How Many Times? Probability Times Trials

3. Missing Probability, Then How Many

4. Is It Fair? Is It Biased?

5. From a Sample to a Whole Group

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على التكرار النسبي والتوقع

أسئلة امتحانات سابقة على التكرار النسبي والتوقع، محلولة ومشروحة بالعربي