شرح إثبات تشابه المثلثات

Proving Triangles Are Similar

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Angles Are Enough

لإثبات أن مثلثين متشابهان يكفي أن تُثبت تساوي زوجين من الزوايا؛ فالزوج الثالث يتساوى تلقائيًا لأن مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة. كل زوج متساوٍ يحتاج سببًا، وأشهر الأسباب أربعة: زاوية مشتركة بين المثلثين، أو زاويتان متناظرتان مع خطين متوازيين، أو زاويتان متبادلتان مع خطين متوازيين، أو زاويتان متقابلتان بالرأس عند تقاطع خطين. اكتب الإثبات في ثلاثة أسطر: الزوج الأول وسببه، ثم الزوج الثاني وسببه، ثم «إذن المثلثان متشابهان».

To prove two triangles are similar, show that two pairs of angles are equal. The third pair then matches too, because each triangle's angles add up to 180°.

Every equal pair needs a reason. These are the four you will use most:

Reason	Where you see it
common angle	one corner in both triangles
corresponding angles	parallel lines, F shape
alternate angles	parallel lines, Z shape
vertically opposite angles	two lines crossing

Rule

Write three lines: first pair and reason, second pair and reason, then "so the triangles are similar".

2. The A Shape Proof

في هذا الشكل يقطع خط موازٍ للقاعدة المثلثَ فيصنع مثلثًا صغيرًا داخل الكبير. الزوج الأول: زاوية الرأس موجودة في المثلثين معًا، فهي زاوية مشتركة. الزوج الثاني: بسبب التوازي تقع الزاويتان في الموضع نفسه على الخطين المتوازيين، فهما زاويتان متناظرتان ومتساويتان. زوجان من الزوايا المتساوية يكفيان لإثبات التشابه. الخطأ الشائع هو تسميتهما متبادلتين، والصحيح أنهما متناظرتان لأنهما في الجهة نفسها. كل زوج مع سببه الصحيح يأخذ درجة، فلا تكتب النتيجة إلا بعد الزوجين.

The 3-mark question: $D E$ is parallel to $B C$ , with $D$ on $A B$ and $E$ on $A C$ . Prove triangles $A D E$ and $A B C$ are similar.

Worked example

1
$∠ D A E = ∠ B A C$ — Both triangles contain the corner $A$ , so this angle is in each one. It is a common angle.
2
$∠ A D E = ∠ A B C$ — $D E$ is parallel to $B C$ , and these angles sit in the same place on each line, an F shape along $A B$ . So they are corresponding angles, and equal.
3
$so A D E and A B C are similar$ — Two pairs of equal angles is enough. The third pair must match too, because the angles in a triangle add up to 180°.

Common mistake

Saying "alternate angles" here. Angles $A D E$ and $A B C$ sit on the same side of the parallel lines in an F shape, so they are corresponding.

Key idea

Each pair of equal angles needs its own reason, and each correct pair with its reason earns a mark. Say “so the triangles are similar” only after you have two pairs.

3. The X Shape Proof

هنا يتقاطع خطان في نقطة، ويكون ضلعان متقابلان متوازيين، فيتكوّن مثلثان على شكل متقابل. الزوج الأول: الزاويتان عند نقطة التقاطع متقابلتان بالرأس فهما متساويتان. الزوج الثاني: الزاويتان بين الخطين المتوازيين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع هما زاويتان متبادلتان ومتساويتان. إذن المثلثان متشابهان. انتبه لترتيب الحروف عند تسمية المثلث الثاني: كل رأس يُكتب في موضع الرأس المناظر له، لأن الترتيب يخبر المصحح أي الأضلاع متناظرة.

The 3-mark question: lines $A E$ and $B D$ cross at $C$ , and $A B$ is parallel to $D E$ . Prove triangles $A B C$ and $E D C$ are similar.

Worked example

1
$∠ A C B = ∠ E C D$ — The lines $A E$ and $B D$ cross at $C$ , so the angles facing each other there are vertically opposite angles, and equal.
2
$∠ B A C = ∠ D E C$ — $A B$ is parallel to $D E$ , and these angles sit in a Z shape between the parallel lines, on opposite sides of $A E$ . So they are alternate angles, and equal.
3
$so A B C and E D C are similar$ — Two pairs of equal angles prove it. Write the letters in matching order: $A$ with $E$ , $B$ with $D$ , $C$ with $C$ .

Common mistake

Naming the second triangle in the wrong order. $A$ matches $E$ , so write $E D C$ , not $D E C$ . The order tells the examiner which sides match.

4. A Shared Angle, No Parallel Lines

في هذا السؤال الأصعب لا توجد خطوط متوازية؛ يعطيك السؤال زوجًا واحدًا من الزوايا المتساوية ويخفي الآخر. الزوج الأول: الزاوية عند الرأس المشترك موجودة في المثلثين، فهي زاوية مشتركة. الزوج الثاني: معطى في السؤال، فالسبب «معطى». إذن المثلثان متشابهان، واكتب الرؤوس المتناظرة بحسب الزوايا المتساوية لا بحسب ترتيب الحروف في الاسم. بعدها اكتب تناسب الأضلاع المتناظرة، وعوّض بالأطوال المعلومة، ثم اضرب الطرفين لتعزل الطول المطلوب.

The harder question gives one pair of equal angles and hides the other. $D$ is on $A C$ , and angle $A B D$ equals angle $A C B$ . We are told $A B = 6$ cm and $A C = 9$ cm, and we want $A D$ .

Worked example

1
$∠ B A D = ∠ C A B$ — $D$ is on $A C$ , so the angle at $A$ is the same in triangles $A B D$ and $A C B$ . It is a common angle.
2
$∠ A B D = ∠ A C B$ — The question tells us this, so the reason is “given”.
3
$so A B D and A C B are similar$ — Two pairs of equal angles. The letters match as $A$ with $A$ , $B$ with $C$ and $D$ with $B$ .
4
$\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$ — Matching sides of similar triangles are in the same ratio. $A D$ matches $A B$ , and $A B$ matches $A C$ .
5
$\frac{A D}{6} = \frac{6}{9}$ — Put in $A B = 6$ and $A C = 9$ .
6
$A D = \frac{6 \times 6}{9}$ — Multiply both sides by 6 to get $A D$ on its own.
7
$A D = 4 cm$ — 36 ÷ 9 = 4.

Key idea

Now use the scale factor to find lengths: see Similar Triangles.

5. Other Places to Find Equal Angles

بعض الإثباتات فيها نقاط على دائرة أو شكل معيّن، والمطلوب ما زال زوجين من الزوايا المتساوية، لكن الأسباب تأتي من حقائق أخرى: الزوايا على خط مستقيم مجموعها مئة وثمانون درجة، والزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون درجة وليستا متساويتين، والزاويتان المرسومتان على الوتر نفسه وفي القطعة نفسها متساويتان، والأضلاع المتقابلة في المعيّن أو متوازي الأضلاع متوازية فابحث عن زوايا متبادلة. في المثال: الزاوية عند نقطة التقاء الخطين مشتركة، ثم نُثبت تساوي زاويتين لأن كلًّا منهما تكمّل الزاوية نفسها إلى مئة وثمانين درجة، مرة على خط مستقيم ومرة في الرباعي الدائري. الخطأ الشائع هو القول إن الزاويتين المتقابلتين في الرباعي الدائري متساويتان.

Some proofs have points on a circle, or a rhombus. You still need two equal pairs of angles, but the reasons come from other facts.

Reason	Where you see it
angles on a straight line	add up to 180°
opposite angles of a cyclic quadrilateral	add up to 180°, they are not equal
angles in the same segment	two angles from the same chord, on the same side
opposite sides of a rhombus or parallelogram	parallel, so look for alternate angles

$P$ , $Q$ , $R$ , $S$ lie on a circle in that order. The lines $P Q$ and $S R$ meet at $T$ outside the circle. Show that triangle $T QR$ is similar to triangle $T S P$ .

Worked example

1
$∠ QT R = ∠ S T P$ — Angle $T$ is in both triangles, so it is a common angle.
2
$∠ T QR + ∠ P QR = 18 0^{\circ}$ — $P$ , $Q$ and $T$ are on a straight line, so these angles on a straight line add up to 180°.
3
$∠ P QR + ∠ P S R = 18 0^{\circ}$ — $P QR S$ is a cyclic quadrilateral, so its opposite angles add up to 180°.
4
$∠ T QR = ∠ P S R$ — Both add to 180° with the same angle $P QR$ , so they are equal.
5
$∠ P S R = ∠ T S P$ — $R$ is on the line $S T$ , so these are the same angle.
6
$so T QR and T S P are similar$ — Two pairs of equal angles. $Q$ matches $S$ and $R$ matches $P$ .

Common mistake

Saying opposite angles of a cyclic quadrilateral are equal. They add up to 180°.

6. Which Method? Read the Question

ابحث أولًا عن الخطوط المتوازية والخطوط المتقاطعة. إذا رأيت خطًا موازيًا لضلع فاستخدم الزاوية المشتركة والزوايا المتناظرة. إذا رأيت خطين متقاطعين فاستخدم الزوايا المتقابلة بالرأس والزوايا المتبادلة. إذا أُعطي زوج متساوٍ فاكتب «معطى» وأضف الزاوية المشتركة. ومع النقاط على دائرة استخدم الخط المستقيم والرباعي الدائري والزوايا في القطعة نفسها. اكتب السبب باسمه الرياضي المعروف، فالأسماء المأخوذة من شكل الحروف لا تأخذ درجة.

Look for parallel lines and crossing lines first.

You see	Reasons to use
A line parallel to a side	common angle, corresponding angles
Two lines crossing	vertically opposite, alternate angles
One equal pair given	given, plus common angle
Points on a circle	straight line, cyclic quadrilateral, same segment
Then find a length	Similar Triangles
Prove congruent, not similar	Congruent Shapes

Key idea

Give the reason in words the examiner knows. "Z angles" and "F angles" do not score.

تدرّب على إثبات تشابه المثلثات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إثبات تشابه المثلثات

1. Two Angles Are Enough

2. The A Shape Proof

3. The X Shape Proof

4. A Shared Angle, No Parallel Lines

5. Other Places to Find Equal Angles

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على إثبات تشابه المثلثات

أسئلة امتحانات سابقة على إثبات تشابه المثلثات، محلولة ومشروحة بالعربي