شرح الأشكال المتطابقة

Congruent Shapes

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Same Shape, Same Size

يكون الشكلان متطابقين عندما يكونان بالشكل نفسه وبالحجم نفسه تمامًا، بحيث ينطبق أحدهما على الآخر انطباقًا كاملًا. يبقى الشكل متطابقًا حتى لو دوّرناه أو قلبناه أو نقلناه. الفرق المهم: المتطابقان لهما الشكل والحجم نفسيهما، أما المتشابهان فلهما الشكل نفسه بأي حجم. في الأشكال المتطابقة تكون كل الأضلاع المتناظرة متساوية وكل الزوايا المتناظرة متساوية.

Two shapes are congruent when they are exactly the same shape and exactly the same size. One would fit perfectly on top of the other.

A congruent shape can be turned, flipped or moved. It is still congruent.

Word	Means
Congruent	same shape, same size
Similar	same shape, any size

Rule

Congruent shapes have all matching sides equal and all matching angles equal.

2. Spot the Congruent Pair

في هذا السؤال تُعرض أشكال على شبكة مربعات والمطلوب إيجاد الشكل المطابق. عُدّ المربعات على الضلعين القصيرين للمثلث المظلل، ثم قارنها بكل شكل آخر. إذا ظهر العددان نفسهما، حتى لو بترتيب معكوس، فالشكل مطابق لكنه مدوَّر أو مقلوب. أما إذا تضاعف العددان فالشكل أكبر، فهو مشابه فقط وليس مطابقًا. الخطأ الشائع هو اختيار النسخة الأكبر؛ تذكّر أن اختلاف الحجم يعني تشابهًا لا تطابقًا.

The 1-mark question shows shapes on a grid and says two are congruent. Count the squares along each side and compare.

Worked example

1
$given: 3 across, 2 up$ — Count the squares along the two short sides of the shaded triangle. These two numbers are what we compare.
2
$A : 2 across, 3 up$ — The same two numbers, the other way round. A is the shaded triangle turned on its side, so it is congruent.
3
$B : 6 across, 4 up$ — Both numbers are doubled, so B is the same shape but bigger. Different size means similar only, not congruent.
4
$D : 3 across, 2 up$ — The same two numbers in the same places. D is the shaded triangle flipped over, so it is congruent.

Common mistake

Picking the bigger copy. Same shape but a different size is similar, not congruent.

3. Draw a Congruent Shape

المطلوب رسم شكل مطابق للشكل المرسوم على الشبكة. ابدأ من أي نقطة على الشبكة وانسخ الأضلاع ضلعًا ضلعًا، بعدّ المربعات أفقيًا ورأسيًا لكل ضلع. الضلع المائل لا تقدّر طوله بالعين، بل عُدّ كم مربعًا يتحرك أفقيًا وكم مربعًا يصعد أو ينزل. في النهاية يجب أن تعود إلى نقطة البداية؛ فإن لم يُغلق الشكل فهناك عدّ خاطئ. ويمكنك رسمه مدوَّرًا أو مقلوبًا، فهو يبقى مطابقًا.

The 1-mark question: draw a shape congruent to the one on the grid. Copy every side, one at a time. You can draw it turned or flipped.

Worked example

1
$bottom: 4 across$ — Start at any grid point and copy the first side exactly. Count 4 squares along.
2
$right side: 2 up$ — From the end of that side, go 2 squares up to copy the next side.
3
$slope: 2 left, 1 up$ — Copy a sloping side by counting squares across and up. Never judge its length by eye.
4
$top: 2 left$ — Copy the flat top side: 2 squares to the left.
5
$last side: 3 down$ — Go 3 squares down. We are back at the start, so the shape closes. If it does not close, one count is wrong.

Common mistake

Drawing a sloping edge by guessing its length. Copy how many squares it goes across and up.

4. Congruence Tests (Extended/Higher)

لإثبات تطابق مثلثين لا تحتاج كل القياسات الستة، بل تكفي حالة واحدة من حالات التطابق: الأضلاع الثلاثة متساوية، أو ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، أو زاويتان وضلع في الموضع نفسه في المثلثين، أو في المثلث القائم: الزاوية القائمة والوتر وضلع آخر. في المثال الأول نجد زوجين من الأضلاع المتساوية والزاوية المحصورة بينهما متساوية، فهي حالة ضلع وزاوية وضلع. وفي المثال الثاني زاوية قائمة ووتر متساوٍ وضلع متساوٍ، فهي حالة المثلث القائم. اكتب رؤوس المثلثين بالترتيب المتناظر. الخطأ الشائع: تساوي الزوايا الثلاث يثبت التشابه فقط، وكذلك ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما لا يكفيان.

Exams ask you to show that two triangles are congruent. You do not need all six measurements. One of four tests is enough.

Test	What must match
SSS	all three sides
SAS	two sides and the angle between them
ASA or AAS	two angles and one side, in the same place in both triangles
RHS	a right angle, the longest side (hypotenuse) and one other side

Triangle $A B C$ has $A B = 5$ cm, $B C = 7$ cm and angle $B = 4 0^{\circ}$ . Triangle $P QR$ has $P Q = 5$ cm, $QR = 7$ cm and angle $Q = 4 0^{\circ}$ . Are they congruent?

Worked example

1
$A B = P Q = 5 cm$ — A first pair of equal sides. We mark it S, for side.
2
$B C = QR = 7 cm$ — A second pair of equal sides. Another S.
3
$∠ A B C = ∠ P QR = 4 0^{\circ}$ — This angle sits between the two equal sides in each triangle. We mark it A, for angle.
4
$△ A B C \equiv △ P QR$ — Side, angle, side is the SAS test, so the triangles are congruent. Write the letters in matching order: A with P, B with Q, C with R.

Now two right-angled triangles. $A B C$ has a right angle at $A$ , $A B = 6$ cm and $B C = 10$ cm. $P QR$ has a right angle at $P$ , $P Q = 6$ cm and $QR = 10$ cm.

Worked example

1
$∠ A = ∠ P = 9 0^{\circ}$ — Both triangles have a right angle. That is the R in RHS.
2
$B C = QR = 10 cm$ — These sides are opposite the right angles, so they are the hypotenuses, the longest sides. They are equal. That is the H.
3
$A B = P Q = 6 cm$ — One more pair of equal sides. That is the S.
4
$△ A B C \equiv △ P QR$ — Right angle, hypotenuse, side is the RHS test, so the triangles are congruent.

Common mistake

Using three equal angles. That only proves the triangles are similar, because a small and a big triangle can have the same angles. Two sides and an angle that is not between them also does not work.

5. Write a Proof (Extended/Higher)

سؤال «أثبت أن» يطلب سببًا لكل عبارة. اكتب كل زوج من الأضلاع أو الزوايا المتساوية في سطر مستقل مع سببه، ثم اذكر حالة التطابق في النهاية. في المثال الأول: ضلعان متساويان لأن المثلث متساوي الساقين، ونصفا القاعدة متساويان لأن النقطة منتصف القاعدة، والضلع المشترك يساوي نفسه، فهي حالة الأضلاع الثلاثة. في المثال الثاني: نصفا كل قطعة متساويان لأن نقطة التقاطع منتصفها، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان، فهي حالة ضلع وزاوية محصورة وضلع. من الأسباب المقبولة: معطى، منتصف، ضلع مشترك، زاويتان متقابلتان بالرأس، زاويتان متبادلتان؛ أما «تبدوان متساويتين» فليس سببًا.

A proof question says “show that” and wants a reason for every statement. Write each pair of equal sides or angles on its own line, then name the test.

Triangle $A B C$ has $A B = A C$ , and $M$ is the midpoint of $B C$ . Show that triangle $A B M$ is congruent to triangle $A C M$ .

Worked example

1
$A B = A C$ — Given in the question, because the triangle is isosceles.
2
$B M = C M$ — $M$ is the midpoint of $B C$ , so it cuts $B C$ into two equal parts.
3
$A M = A M$ — $A M$ is a side of both triangles, so it is equal to itself. We call it a common side.
4
$△ A B M \equiv △ A C M$ — Three pairs of equal sides is the SSS test, so the triangles are congruent.

Now a proof that needs an angle. Lines $A D$ and $B C$ cross at $X$ , and $X$ is the midpoint of both $A D$ and $B C$ . Show that triangle $A B X$ is congruent to triangle $D C X$ .

Worked example

1
$A X = D X$ — $X$ is the midpoint of $A D$ .
2
$∠ A X B = ∠ D X C$ — The lines cross at $X$ , so the angles facing each other are vertically opposite angles. They are equal.
3
$B X = C X$ — $X$ is the midpoint of $B C$ .
4
$△ A B X \equiv △ D C X$ — Side, angle, side with the angle between the two sides is the SAS test, so the triangles are congruent. $A$ matches $D$ and $B$ matches $C$ .

Key idea

Every line needs a reason. Useful ones: given, midpoint, common side, vertically opposite angles, alternate angles. “They look equal” is not a reason. Finish by naming the test.

6. Which Method? Read the Question

لاختيار الطريقة افحص الحجم أولًا ثم الشكل. إذا سُئلت أي شكلين متطابقان فقارن كل الأضلاع، وإذا طُلب رسم شكل مطابق فانسخ كل ضلع مربعًا مربعًا. إذا كان الشكل نفسه بحجم مختلف فهو مشابه وليس مطابقًا، ورسم شكل مشابه يكون بالتكبير. وإذا طُلب إثبات تطابق مثلثين فاستخدم إحدى حالات التطابق الأربع مع ذكر الأسباب. تذكّر أن الدوران والانعكاس والانسحاب لا تغيّر الحجم أبدًا، فالصورة دائمًا مطابقة للأصل.

Check the size first, then the shape.

You see	You do
Which two are congruent?	compare every side
Draw a congruent shape	copy each side square by square
Similar but not congruent	same shape, different size
Draw a similar shape	Enlargement
Prove two triangles congruent	the four tests (SSS, SAS, ASA, RHS), then give reasons

Key idea

Turning, flipping or sliding a shape never changes its size, so the image is always congruent.

تدرّب على الأشكال المتطابقة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأشكال المتطابقة

1. Same Shape, Same Size

2. Spot the Congruent Pair

3. Draw a Congruent Shape

4. Congruence Tests (Extended/Higher)

5. Write a Proof (Extended/Higher)

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأشكال المتطابقة

أسئلة امتحانات سابقة على الأشكال المتطابقة، محلولة ومشروحة بالعربي