شرح خصائص الأشكال الرباعية

Quadrilateral Properties

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Six Special Quadrilaterals

كل شكل رباعي له أربعة أضلاع ومجموع زواياه ثلاثمئة وستون درجة، وستة منها لها أسماء خاصة. المربع: أضلاع متساوية وزوايا قائمة وكل ضلعين متقابلين متوازيان. المستطيل: الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية وزواياه قائمة. متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية والزوايا المتقابلة متساوية. المعيّن: أضلاعه كلها متساوية، والمتقابلة متوازية، والزوايا المتقابلة متساوية. شبه المنحرف: زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية. الشكل الطائري: زوجان من الأضلاع المتساوية المتجاورة وزوج واحد من الزوايا المتقابلة المتساوية. المعيّن مربع مائل، ومتوازي الأضلاع مستطيل مائل. إذا طُلب منك ذكر خاصيتين هندسيتين فانقل حقيقتين من صف الشكل في جمل كاملة؛ أما قولك إن له أربعة أضلاع فلا يأخذ درجة لأن كل رباعي كذلك. ولا تخلط بين المعيّن والطائري: المعيّن أضلاعه كلها متساوية، والطائري له ضلعان قصيران وضلعان طويلان.

Every quadrilateral has 4 sides and angles that add to $36 0^{\circ}$ . Six of them have special names.

Shape	Key facts
Square	4 equal sides, 4 right angles, opposite sides parallel
Rectangle	opposite sides equal and parallel, 4 right angles
Parallelogram	opposite sides equal and parallel, opposite angles equal
Rhombus	4 equal sides, opposite sides parallel, opposite angles equal
Trapezium	exactly 1 pair of parallel sides
Kite	2 pairs of equal sides next to each other, 1 pair of opposite angles equal

Key idea

A rhombus is a slanted square. A parallelogram is a slanted rectangle.

Rule

Asked to “write down two geometrical properties”? Copy two facts from the shape's row as full sentences, e.g. “Opposite sides are parallel.” “It has 4 sides” scores nothing, because every quadrilateral has 4 sides.

Common mistake

Calling a rhombus a kite. A rhombus has all 4 sides equal. A kite has two short sides and two long sides.

2. Diagonals Tell Them Apart

القطر يصل بين ركنين متقابلين، وأقطار كل شكل تتصرف بطريقة مختلفة تساعدك على التمييز بينها. في المربع: القطران متساويان ومتعامدان وينصّف كل منهما الآخر. في المستطيل: متساويان وينصّف كل منهما الآخر. في المعيّن: متعامدان وينصّف كل منهما الآخر. في متوازي الأضلاع: ينصّف كل منهما الآخر فقط. في الطائري: متعامدان، وأحدهما ينصّف الآخر. لاحظ أن المربع يملك كل خصائص المستطيل والمعيّن معًا، ولذلك يُعدّ المربع مستطيلًا خاصًا.

A diagonal joins opposite corners. The diagonals of each shape behave differently.

Shape	Diagonals
Square	equal, cross at 90°, cut each other in half
Rectangle	equal, cut each other in half
Rhombus	cross at 90°, cut each other in half
Parallelogram	cut each other in half
Kite	cross at 90°, one cuts the other in half

Key idea

A square has every property of a rectangle and of a rhombus. That is why a square is a special rectangle.

3. Symmetry Names the Shape

كثير من الأسئلة تصف الشكل بتماثله وتطلب اسمه، والجدول يجيب عنها: لكل شكل عدد محاور التماثل ورتبة التماثل الدوراني. رتبة التماثل الدوراني هي عدد المرات التي ينطبق فيها الشكل على نفسه خلال دورة كاملة. في المثال: ابحث أولًا عن الصفوف التي توافق المعلومتين الأوليين فتجد شكلين، ثم استخدم المعلومة الثالثة عن الأقطار لاستبعاد أحدهما، لأن قطري المستطيل متساويان دائمًا، فيبقى المعيّن، ثم تحقّق أنه يوافق كل المعلومات. الخطأ الشائع: رسم قطري المستطيل كمحوري تماثل؛ إذا طويت المستطيل على قطره لا تنطبق الأركان، ومحورا تماثله يمران بمنتصفي الضلعين المتقابلين.

Many 1-mark questions describe a shape by its symmetry and ask for its name. This table answers them.

Shape	Lines of symmetry	Rotation order
Square	4	4
Rectangle	2 (through the middles of opposite sides)	2
Rhombus	2 (the diagonals)	2
Parallelogram	0	2
Kite	1 (one diagonal)	1
Isosceles trapezium	1	1
Other trapezium	0	1

Rotation order means how many times the shape fits onto itself in one full turn.

A quadrilateral has 2 lines of symmetry and rotation order 2. Its diagonals are not equal. Name it.

Worked example

1
$2 lines, order 2$ — The clues: 2 lines of symmetry and rotation order 2. Two rows match: rectangle and rhombus.
2
$diagonals not equal$ — The next clue. A rectangle's diagonals are always equal, so it cannot be a rectangle.
3
$rhombus$ — Only the rhombus is left. Check: its 2 lines of symmetry are its diagonals, which are not equal. It fits.

Common mistake

Drawing a rectangle's diagonals as lines of symmetry. Fold a rectangle along a diagonal and the corners do not meet. Its 2 lines go through the middles of opposite sides.

4. Angles in Special Quadrilaterals

قد يُعطى قياس زاوية واحدة في متوازي أضلاع أو معيّن أو طائري ويُطلب الباقي. في متوازي الأضلاع والمعيّن: الزوايا المتقابلة متساوية، وكل زاويتين متجاورتين مجموعهما مئة وثمانون درجة لأنهما بين ضلعين متوازيين. في الطائري: الزاويتان اللتان يلتقي عندهما ضلع قصير بضلع طويل متساويتان. وفي أي رباعي مجموع الزوايا ثلاثمئة وستون درجة. في المثال الأول: الزاوية المقابلة تساوي المعطاة، والمجاورة تكمّلها إلى مئة وثمانين، ثم تحقّق أن المجموع ثلاثمئة وستون. في المثال الثاني الزاويتان المتجاورتان مكتوبتان بدلالة المجهول: اكتب معادلة مجموعهما يساوي مئة وثمانين أولًا، فهي تأخذ درجة، ثم اجمع الحدود المتشابهة، وانقل العدد الثابت، واقسم لتجد المجهول، ثم عوّض لتجد الزاويتين وتحقّق من مجموعهما. الخطأ الشائع: جعل الزاويتين المتجاورتين متساويتين، والصحيح أن المتقابلتين فقط متساويتان.

Exams give one angle of a parallelogram, rhombus or kite and ask for the others. These facts do it.

Shape	Angle facts
Parallelogram, rhombus	opposite angles are equal; two angles next to each other add to 180°
Kite	the 2 angles where a short side meets a long side are equal
Any quadrilateral	all 4 angles add to 360°

1. One angle of a rhombus is $6 4^{\circ}$ . Find the other three.

Worked example

1
$6 4^{\circ} and 6 4^{\circ}$ — The opposite angle of a rhombus is equal, so it is also 64°.
2
$18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} = 11 6^{\circ}$ — An angle next to it adds to 180° with it, because the two sit between parallel sides. So it is 116°.
3
$6 4^{\circ}, 11 6^{\circ}, 6 4^{\circ}, 11 6^{\circ}$ — The four angles in order round the shape. The last 116° is opposite the first one.
4
$64 + 116 + 64 + 116 = 360$ — Check: they add to 360°, as every quadrilateral's angles must.

2. Two angles next to each other in a parallelogram are $(2 x + 25)^{\circ}$ and $(x + 5)^{\circ}$ . Find x.

Worked example

1
$(2 x + 25) + (x + 5) = 180$ — Angles next to each other add to 180°. Write this equation first: it earns a mark even if a later line slips.
2
$3 x + 30 = 180$ — Collect like terms: 2x + x = 3x and 25 + 5 = 30.
3
$3 x = 150$ — Take 30 from both sides, so the x term is alone.
4
$x = 50$ — Divide both sides by 3.
5
$2 (50) + 25 = 12 5^{\circ}, 50 + 5 = 5 5^{\circ}$ — Put x = 50 back in to get the angles. If they ask for the largest angle, it is 125°.
6
$125 + 55 = 180$ — Check: the two angles add to 180°, so x = 50 is right.

Common mistake

Making the two angles equal instead of adding them to 180°. Only angles opposite each other are equal.

5. Complete the Shape on a Grid

سؤال بدرجة واحدة: رُسمت ثلاثة أركان، أكمل متوازي الأضلاع. الفكرة أن الضلعين المتقابلين متوازيان ومتساويان، فلهما الحركة نفسها على الشبكة. أولًا عُدّ حركة أحد الأضلاع، كم مربعًا يمينًا وكم لأعلى، واكتبها. ثم انقل الحركة نفسها إلى الضلع المقابل، وبما أنك تبدأ من الركن الثالث فامشِ بها بالعكس لتصل إلى الركن الرابع. تحقّق بالزوج الآخر من الأضلاع: يجب أن تكون حركتاهما متطابقتين. الخطأ الشائع: رسم مستطيل بوضع الركن الرابع فوق الأول مباشرة، مع أن أضلاع متوازي الأضلاع مائلة. ولرسم شكل طائري: ارسم خطًا عموديًا يكون محور التماثل، وضع عليه ركنًا علويًا وركنًا سفليًا، ثم ركنين جانبيين على المستوى نفسه وعلى البعد نفسه يمينًا ويسارًا وأقرب إلى الأعلى، وصِل الأركان بالترتيب. إذا وضعت الركنين الجانبيين في المنتصف تمامًا صارت الأضلاع كلها متساوية وحصلت على معيّن لا طائري.

The 1-mark question: three corners are drawn. Complete the parallelogram.

The corners are $A (1, 1)$ , $B (5, 1)$ and $C (6, 4)$ . Find $D$ .

Worked example

1
$A \to B : 4 right, 0 up$ — Count the move along side AB. Write it down, because you will copy it.
2
$D \to C : 4 right, 0 up$ — DC is the side opposite AB. In a parallelogram opposite sides are parallel and equal, so DC makes the same move.
3
$C \to D : 4 left, 0 down$ — You start from C, so go the move backwards.
4
$D = (6 - 4, 4 - 0) = (2, 4)$ — Take 4 from C's x and nothing from its y. That is the fourth corner.
5
$A \to D : 1 right, 3 up$ — Check with the other pair. B to C is also 1 right, 3 up, so AD and BC match. D is right.

Common mistake

Making a rectangle with D at (1, 4). The sides of a parallelogram slope, so D moves over too.

Asked to draw a kite on a grid?

Steps

1
Draw a straight line down the grid. It will be the kite's line of symmetry.
2
Mark a top corner and a bottom corner on that line.
3
Mark two side corners level with each other, the same number of squares left and right of the line, nearer the top than the bottom.
4
Join the four corners in order round the shape.

Key idea

If the side corners sit exactly halfway down, all 4 sides are equal and you have drawn a rhombus, not a kite.

6. Which Method? Read the Question

افحص الأضلاع أولًا، ثم الزوايا، ثم الأقطار. أضلاع متساوية كلها بلا زوايا قائمة: معيّن. زوجان من الأضلاع المتوازية بلا زوايا قائمة: متوازي أضلاع. زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية: شبه منحرف. لأسئلة محاور التماثل ورتبة الدوران استخدم جدول التماثل. للشكل المرسوم على شبكة عُدّ حركة كل ضلع، فالحركة نفسها تعني ضلعين متوازيين ومتساويين، ولإكمال الشكل انسخ حركة الضلع المقابل. إذا أُعطيت زاوية في متوازي أضلاع أو معيّن أو طائري فالمتقابلتان متساويتان والمتجاورتان مجموعهما مئة وثمانون درجة. اكتب دائمًا الاسم الأكثر تخصيصًا: المربع مستطيل أيضًا، لكن الإجابة المطلوبة هي مربع.

Check the sides first, then the angles, then the diagonals.

You see	You do
4 equal sides, no right angles	rhombus
2 pairs of parallel sides, no right angles	parallelogram
Only 1 pair of parallel sides	trapezium
Lines of symmetry or rotation order	use the symmetry table
A shape drawn on a grid	count each side's move; the same move means parallel and equal
Complete the shape	copy the move of the opposite side
One angle of a parallelogram, rhombus or kite	opposite angles equal, or a pair next to each other adds to 180°
Any other missing angle	Angles in a Quadrilateral
Mark the parallel sides	Perpendicular and Parallel Lines

Key idea

Give the most special name that fits. A square is a rectangle, but "square" is the answer they want.

تدرّب على خصائص الأشكال الرباعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح خصائص الأشكال الرباعية

1. Six Special Quadrilaterals

2. Diagonals Tell Them Apart

3. Symmetry Names the Shape

4. Angles in Special Quadrilaterals

5. Complete the Shape on a Grid

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على خصائص الأشكال الرباعية

أسئلة امتحانات سابقة على خصائص الأشكال الرباعية، محلولة ومشروحة بالعربي