شرح أجزاء الدائرة

Parts of a Circle

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Lines of a Circle

لكل دائرة مركز، وحدّها الخارجي يسمى المحيط. وهناك أربعة خطوط يجب أن تعرف أسماءها. نصف القطر يصل من المركز إلى المحيط، والقطر يصل من المحيط إلى المحيط مارًّا بالمركز، والوتر يصل من المحيط إلى المحيط دون أن يمر بالمركز، والمماس يلمس الدائرة من الخارج عند نقطة واحدة. والقاعدة المهمة: القطر يساوي نصفي قطر متتاليين، أي أن القطر ضعف نصف القطر.

Every circle has a centre, usually called O. The edge is the circumference. Four lines have names you must know.

Line	What it does
Radius	centre to the edge
Diameter	edge to edge, through the centre
Chord	edge to edge, missing the centre
Tangent	touches the outside at one point

Rule

A diameter is two radii end to end: $d = 2 r$ . A radius of 7 cm gives a diameter of 14 cm.

2. Name the Line

عندما يُطلب منك الاسم الرياضي لخط في الدائرة، اسأل ثلاثة أسئلة بالترتيب. هل يلمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط؟ إذن هو مماس. هل يمر بالمركز؟ إذن هو قطر إن امتد من المحيط إلى المحيط، ونصف قطر إن توقف عند المركز. هل طرفاه على المحيط ولا يمر بالمركز؟ إذن هو وتر. الخطأ الشائع أن تكتب «وتر» لخط يمر بالمركز؛ هو وتر فعلًا، لكن الدرجة تحتاج الاسم الدقيق وهو القطر.

The 1-mark question: "Write down the mathematical name of the line AB." Ask three questions in order.

Steps

1
Does it touch the circle at one point only? Tangent.
2
Does it go through the centre? Diameter if it goes edge to edge, radius if it stops at the centre.
3
Both ends on the edge, missing the centre? Chord.

Common mistake

Writing "chord" for a line through the centre. It is a chord, but the mark needs the exact name: diameter.

3. Radius and Diameter

كثيرًا ما يعطيك السؤال القطر ويطلب نصف القطر أو العكس. القاعدة: القطر ضعف نصف القطر، لأنه نصفا قطر متتاليان، فإذا أردت نصف القطر فاقسم القطر على اثنين. في المثال الأول نعرف أن المعطى هو القطر، فنقسمه على اثنين، ويبقى نصف القطر بالوحدة نفسها. وفي مثال الدوائر المتراصة في مستطيل: الأطوال عبر الدوائر تُحسب بالأقطار، فنحسب قطر الدائرة أولًا، ثم يكون طول المستطيل عدد الدوائر مضروبًا في القطر لأنها متلاصقة بلا فراغات، ويكون عرضه قطرًا واحدًا لأنها صف واحد. انتبه لما يعطيه السؤال: القطر تنصّفه، ونصف القطر تضاعفه.

Exams often give the diameter and ask for the radius, or the other way round. One formula links them:

Formula

d = 2 r

$d$ is the diameter and $r$ is the radius. A diameter is two radii end to end. To go back the other way, halve it: $r = d \div 2$ .

Worked example

1
$d = 15.4 cm$ — The question gives the diameter. We want the radius.
2
$r = d \div 2$ — The radius is half the diameter, because the diameter is two radii.
3
$r = 15.4 \div 2$ — Put 15.4 in place of d.
4
$r = 7.7 cm$ — 15.4 ÷ 2 = 7.7. The radius keeps the same units, cm.

Circles in a row: three equal circles, radius 6 cm, sit in a row inside a rectangle. Each touches its neighbours and the sides. Find the rectangle's length and width.

Worked example

1
$d = 2 \times 6 = 12 cm$ — Lengths across circles count in diameters. Each circle is 12 cm wide.
2
$length = 3 \times 12$ — Three circles touch side by side with no gaps, so the length is three diameters.
3
$length = 36 cm$ — 3 × 12 = 36.
4
$width = 12 cm$ — There is only one row, and each circle touches the top and bottom, so the width is one diameter.

Common mistake

Doubling when you were given the diameter. Check which one the question gives: diameter → halve it, radius → double it.

4. Arcs, Sectors and Segments

قد يطلب السؤال تظليل قطاع أو قطعة، وكلاهما منطقة فتظلل مساحة. القوس جزء من المحيط. القطاع محصور بين نصفي قطر وقوس، مثل شريحة البيتزا. القطعة محصورة بين وتر وقوس. ونصف الدائرة يقطعه قطر. الخطأ الشائع هو الخلط بين القطاع والقطعة: القطاع له ركن عند المركز، أما القطعة فليس لها ركن عند المركز لأن الوتر هو الذي يقطعها. وكلمة «أصغر» تعني الجزء الأصغر و«أكبر» تعني الجزء الأكبر، فالقوس الأصغر يدور من الطريق القصير والأكبر من الطريق الطويل، وكذلك تسمى القطاعات والقطع.

The other 1-mark question: "Shade a sector" or "Shade a segment". Both are regions, so you shade an area.

Part	What it is
Arc	a piece of the edge
Sector	between two radii and an arc: a pizza slice
Segment	between a chord and an arc
Semicircle	half a circle, cut off by a diameter

Common mistake

Mixing up sector and segment. A sector has a corner at the centre. A segment has no corner at the centre: it is cut off by a chord.

Memory trick

Sector: a slice from the centre. Segment: sliced off by a chord.

Key idea

Minor means the smaller part, major the larger part. The minor arc goes the short way round; the major arc goes the long way. Sectors and segments are named the same way.

5. Drawing on a Circle

في أسئلة الرسم تؤخذ الدرجة على مكان بداية الخط ونهايته، فاستعمل المسطرة وكن دقيقًا. نصف القطر من المركز إلى المحيط، والقطر يمر بالمركز من المحيط إلى المحيط، والوتر من المحيط إلى المحيط دون المركز، وكل طرف يجب أن يقع على الدائرة تمامًا. لرسم مماس عند نقطة على الدائرة: صِل المركز بالنقطة بخط خفيف فهذا نصف قطر، ثم ضع ركن المثلث القائم أو المنقلة عند النقطة على امتداد نصف القطر، وارسم خطًا مستقيمًا طويلًا عموديًا على نصف القطر. إذا قطع خطك حافة الدائرة مرتين فليس مماسًا، فالمماس يلمسها عند تلك النقطة فقط. و«علّم نقطة على المحيط» تعني نقطة على الحافة نفسها لا داخلها ولا خارجها.

Draw questions are worth 1 mark each. The mark is for where your line starts and stops, so use a ruler and be exact.

Rule

Radius: from the centre O to the edge. Diameter: through O, edge to edge. Chord: edge to edge, missing O. Every end must sit exactly on the circle.

To draw a tangent at a point P on the circle:

Steps

1
Lightly join O to P with a ruler. This is the radius OP.
2
Put the right-angle corner of a set square (or a protractor) at P, lined up along OP.
3
Draw a long straight line through P at 90° to OP. It touches the circle at P only.

Common mistake

A “tangent” that cuts into the circle. If your line crosses the edge twice, it is not a tangent. It must touch at P only.

Key idea

“Mark a point on the circumference” means a dot exactly on the edge, not inside or outside it. Label it with the letter the question asks for.

6. Which Method? Read the Question

اقرأ فعل الأمر أولًا: هل يطلب أن تكتب أم ترسم أم تظلل؟ لتسمية الخط اسأل: مماس؟ قطر؟ نصف قطر؟ وتر؟ وعند الرسم استعمل المسطرة واجعل الأطراف على المحيط تمامًا، والقطر يمر بالمركز. والمماس عند نقطة خط مستقيم عمودي على نصف القطر المار بها. وإذا أُعطيت القطر فنصف القطر نصفه. والقطاع نصفا قطر والقوس بينهما، والقطعة وتر والقوس بجانبه. ولطول المحيط وزوايا المماسات دروس خاصة. هذه الأسئلة لا تحتاج خطوات حل، فالدرجة على الكلمة الدقيقة أو الرسم الدقيق، وكلمة مثل «خط» أو «حافة» لا تأخذ شيئًا.

Read the command word first: write, draw or shade.

You see	You do
Name the line	tangent? diameter? radius? chord?
Draw a radius, diameter or chord	ruler, ends exactly on the edge; a diameter goes through O
Draw a tangent at P	a straight line through P at 90° to OP
Given the diameter, find the radius	halve it
Shade a sector	two radii and the arc between
Shade a segment	a chord and the arc beside it
Length round the edge	Circumference and Area of a Circle
Angles with tangents	Tangent Properties of a Circle

Key idea

These questions need no working. The mark is for the exact word or an exact drawing, so “line” or “edge” scores nothing.

تدرّب على أجزاء الدائرة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح أجزاء الدائرة

1. The Lines of a Circle

2. Name the Line

3. Radius and Diameter

4. Arcs, Sectors and Segments

5. Drawing on a Circle

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على أجزاء الدائرة

أسئلة امتحانات سابقة على أجزاء الدائرة، محلولة ومشروحة بالعربي