شرح النسب في أبسط صورة

Ratios in Simplest Form

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Simplest Form Means

النسبة تقارن كميات: نسبة اثنين إلى ثلاثة تعني أن لكل اثنين من الأول ثلاثة من الثاني. إذا ضربت كل أجزاء النسبة أو قسمتها على العدد نفسه بقيت النسبة كما هي، والجدول يبيّن نسبًا متكافئة نصل إليها بالقسمة خطوة بعد خطوة. أبسط صورة تعني أعدادًا صحيحة لا يجمعها عامل مشترك. الخطأ الشائع: طرح العدد نفسه من الطرفين، فهذا يعطي نسبة مختلفة؛ اضرب أو اقسم فقط.

A ratio compares amounts. $2 : 3$ means for every 2 of the first there are 3 of the second.

Multiply or divide every part by the same number and the ratio stays the same. These are all one ratio:

Ratio	How you got it
$12 : 18$	the start
$6 : 9$	divide both by 2
$2 : 3$	divide both by 3

Rule

Simplest form means whole numbers that share no common factor. $2 : 3$ is the simplest form of $12 : 18$ .

Common mistake

Taking the same number away from both parts. $12 : 18$ take away 6 is $6 : 12$ , which is $1 : 2$ . That is a different ratio. Only multiply or divide.

2. Cancelling Two Numbers

سؤال الدرجة أو الدرجتين: اكتب النسبة في أبسط صورة. اكتب الأعداد بالترتيب الذي يذكره السؤال، هنا الأولاد أولًا ثم البنات. ثم ابحث عن عدد يقسم الطرفين واقسم عليه، وانظر مرة أخرى: إن بقي عدد يقسمهما معًا، كأن يكونا زوجيين، فاقسم مرة ثانية، وتوقف عندما لا يبقى عامل مشترك. وطريقة أسرع: اقسم على العامل المشترك الأكبر مرة واحدة، وكل الطرق تصل إلى الجواب نفسه. الخطأ الشائع: التوقف مبكرًا؛ اسأل نفسك دائمًا هل ما زال هناك عدد يقسم كل الأجزاء.

The 1 or 2-mark question: "Write the ratio in its simplest form." A class has 36 boys and 60 girls. Find boys : girls.

Worked example

1
$36 : 60$ — boys first, as the question says
2
$6 : 10$ — both are in the 6 times table, so divide by 6
3
$3 : 5$ — 6 and 10 are still both even, so divide by 2
4
$3 : 5$ — 3 and 5 share no factor, so stop

Key idea

Quicker: divide by the highest common factor, 12, in one go. Any route ends at the same answer.

Common mistake

Stopping at $6 : 10$ . Always look again: is there a number that still goes into every part?

3. Three Parts

سؤال الدرجتين يعطي ثلاث كميات، غالبًا من جدول أو رسم بياني. اكتبها بالترتيب الذي يسمّيه السؤال، لا بترتيب الجدول. ثم اقسم كل الأجزاء على عامل مشترك: إذا انتهت كلها بصفر أو خمسة فاقسم على خمسة، ثم ابحث عن عامل آخر مشترك، مثل ثلاثة، حتى لا يبقى عامل مشترك. القاعدة: العامل المشترك يجب أن يقسم كل الأجزاء، لا جزأين فقط. الخطأ الشائع: القسمة على اثنين لأن أحد الأعداد زوجي، بينما الأعداد الأخرى فردية، فتظهر أعداد عشرية.

The 2-mark question gives three amounts, often from a table or chart. A shop sells 45 small, 30 medium and 75 large cups. Find small : medium : large.

Worked example

1
$45 : 30 : 75$ — in the order the question names them
2
$9 : 6 : 15$ — all end in 0 or 5, so divide every part by 5
3
$3 : 2 : 5$ — all in the 3 times table, so divide by 3

Rule

A common factor must go into every part, not just two of them.

Common mistake

Dividing $9 : 6 : 15$ by 2 because 6 is even. 2 does not go into 9 or 15, so you would get decimals.

Key idea

When the numbers come from a table, write them in the order the question asks for, not the order in the table.

4. Different Units: Change First

سؤال الدرجتين يخلط الوحدات، مثل المليلتر واللتر. الجدول يذكّرك بالتحويلات: الكيلوغرام ألف غرام، واللتر ألف مليلتر، والكيلومتر ألف متر، والمتر مئة سنتيمتر، والساعة ستون دقيقة. في المثال الوحدتان مختلفتان فلا نقارن بعد؛ نحوّل اللترات إلى مليلترات بالضرب في ألف، وعندما تصبح الوحدتان متماثلتين نحذفهما، ثم نقسم على عشرة، ثم على العدد الذي يقسم الطرفين حتى نصل إلى أبسط صورة. الخطأ الشائع: كتابة النسبة بالأعداد كما هي بوحدتين مختلفتين، فتكون خاطئة بألف مرة. وحوّل إلى الوحدة الأصغر، فتصبح الأعداد غالبًا صحيحة.

The 2-mark question mixes units. Write 350 ml : 2.1 litres in its simplest form.

Unit	Is the same as
1 kg	1000 grams
1 litre	1000 ml
1 km	1000 metres
1 metre	100 cm
1 hour	60 minutes

Worked example

1
$350 ml : 2.1 litres$ — different units, so you cannot compare yet
2
$2.1 \times 1000 = 2100$ — 1 litre is 1000 ml
3
$350 : 2100$ — both in ml now, so drop the units
4
$35 : 210$ — divide both by 10
5
$1 : 6$ — 35 goes into 210 six times, so divide by 35

Common mistake

Writing $350 : 2.1$ . The numbers are in different units, so the ratio is wrong by 1000 times.

Key idea

Change to the smaller unit. Then the numbers are usually whole.

5. Decimals and Fractions: Make Them Whole

سؤال الدرجتين فيه أعداد عشرية أو كسور. اضرب كل الأجزاء في العدد نفسه حتى تصبح كلها أعدادًا صحيحة، ثم بسّط. في المثال الأول لكل عدد منزلة عشرية واحدة، فنضرب الطرفين في عشرة، ثم نقسم على العامل المشترك. ومع الكسور اضرب في عدد تقبل كل المقامات القسمة عليه؛ في المثال نضرب كل كسر فيه، فنقسم العدد على المقام ونضرب في البسط، فنحصل على عددين صحيحين لا عامل مشترك بينهما. الخطأ الشائع: الضرب في عشرة عندما يكون في أحد الأعداد منزلتان عشريتان، فيبقى عدد عشري؛ المنزلتان تحتاجان الضرب في مئة. وعبارة «ثمن الثاني مرة ونصف ثمن الأول» تعني نسبة واحد إلى واحد ونصف، فنضاعف الطرفين لتصبح اثنين إلى ثلاثة.

The 2-mark question has decimals or fractions. Multiply every part by the same number until all are whole.

Worked example

1
$2.4 : 0.9$ — one decimal place each
2
$24 : 9$ — multiply both by 10
3
$8 : 3$ — divide both by 3

With fractions, multiply by a number that every bottom number goes into.

Worked example

1
$\frac{3}{4} : \frac{5}{6}$ — 4 and 6 both go into 12
2
$\frac{3}{4} \times 12 = 9$ — 12 ÷ 4 = 3, and 3 × 3 = 9
3
$\frac{5}{6} \times 12 = 10$ — 12 ÷ 6 = 2, and 2 × 5 = 10
4
$9 : 10$ — no common factor, so this is simplest

Common mistake

Multiplying $2.45 : 1.4$ by 10. You get 24.5, still a decimal. Two decimal places need $\times 100$ : $245 : 140$ , which is $7 : 4$ .

Key idea

"B costs one and a half times A" means A : B is $1 : 1.5$ . Double both: $2 : 3$ .

6. The Form 1 : n

سؤال الدرجة أو الدرجتين: اكتب النسبة في الصورة «واحد إلى عدد». الجزء الأول يجب أن يكون واحدًا بالضبط، لذلك يمكن أن يكون الجزء الثاني عددًا عشريًا. الطريقة: اقسم الجزأين كليهما على الجزء الأول، واترك الناتج عددًا عشريًا. وإذا طُلبت الصورة «عدد إلى واحد» فاقسم الجزأين على الجزء الثاني. الخطأ الشائع: الاكتفاء بأبسط صورة بأعداد صحيحة، والسؤال يطلب أن يكون الجزء الأول واحدًا. ومن الحياة: ورقة الطباعة المعتادة نسبة عرضها إلى طولها تقريبًا واحد إلى واحد فاصلة أربعة وواحد، وإذا طويتها نصفين أخذت الورقة الأصغر الشكل نفسه تقريبًا.

The 1 or 2-mark question: "Write in the form $1 : n$ ". The first part must be exactly 1, so $n$ can be a decimal.

Worked example

1
$8 : 30$ — the first part must become 1
2
$\frac{8}{8} : \frac{30}{8}$ — so divide both parts by 8
3
$1 : 3.75$ — 30 ÷ 8 = 3.75. Leave it as a decimal

Rule

For $1 : n$ divide both parts by the first part. For $n : 1$ divide both by the second part.

Common mistake

Writing $4 : 15$ . That is the simplest form, but the question asked for $1 : n$ , so the first part must be 1.

Key idea

A sheet of A4 paper is 210 mm by 297 mm. In the form 1 : n that is about 1 : 1.41. Fold it in half and the A5 sheet you get has almost exactly the same 1 : 1.41 shape.

7. Which Method? Read the Question

كل الأسئلة تنتهي بالطريقة نفسها: أعداد صحيحة لا يبقى بينها شيء يُختصر، والذي يتغير هو الخطوة الأولى. الجدول يلخّص: «في أبسط صورة» اقسم كل الأجزاء على عامل مشترك حتى لا يبقى عامل؛ وحدات مختلفة كالغرام والكيلوغرام أو المليلتر واللتر حوّل إلى الوحدة الأصغر أولًا؛ أعداد عشرية اضرب في عشرة أو مئة حتى تصبح صحيحة؛ كسور اضرب في عدد تقبل كل المقامات القسمة عليه؛ «في الصورة واحد إلى عدد» اقسم كل الأجزاء على الجزء الأول. أما تقسيم مجموع بنسبة، أو أخذ كسر أو نسبة مئوية ثم التقسيم، ففي درس التقسيم بنسبة معطاة، والوصفات والخلط في درس مسائل الخلط، ومقياس الرسم للخرائط في درس الرسم بمقياس. وتحقق من جوابك: أعداد صحيحة، بترتيب السؤال، ولا يقسم كل الأجزاء عدد غير الواحد.

Every question ends the same way: whole numbers, nothing left to cancel. What changes is the first step.

You see	You do
“in its simplest form”	divide every part by a common factor until none is left
Units like grams and kg, ml and litres	change to the smaller unit first
Decimals	× 10 or × 100 until all are whole
Fractions	× a number every bottom number goes into
“in the form 1 : n”	divide every part by the first part
“Share … in the ratio …”	See Dividing in a Given Ratio
A fraction or % first, then a ratio	See Dividing in a Given Ratio
Recipes, mixing, which runs out	See Ratio Mixture Problems
A map scale as 1 : n	See Scale Drawings

Key idea

Check your answer: whole numbers, the same order as the question, and no number except 1 goes into every part.

تدرّب على النسب في أبسط صورة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح النسب في أبسط صورة

1. What Simplest Form Means

2. Cancelling Two Numbers

3. Three Parts

4. Different Units: Change First

5. Decimals and Fractions: Make Them Whole

6. The Form 1 : n

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على النسب في أبسط صورة

أسئلة امتحانات سابقة على النسب في أبسط صورة، محلولة ومشروحة بالعربي