شرح التناسب الطردي في الحياة الواقعية

Direct Proportion in Real Life

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Direct Proportion Means

تكون كميتان في تناسب طردي عندما تكبران معًا بالنسبة نفسها: إذا صنعت ضعف عدد الكعكات احتجت إلى ضعف كمية الدقيق، كما في الجدول. طريقة الوحدة: أوجد الكمية لواحد فقط، ثم اضرب في العدد الذي تحتاجه. لكن انتبه: الرسوم الثابتة تكسر هذا التناسب. في المثال يأخذ السبّاك مبلغًا ثابتًا لمجيئه مرة واحدة، ثم مبلغًا عن كل ساعة؛ فنحسب جزء الساعات بالضرب، ثم نضيف المبلغ الثابت مرة واحدة فقط. عندما نقارن نجد أن مضاعفة الساعات لم تضاعف التكلفة، لأن المبلغ الثابت يُدفع مرة واحدة، فهذا ليس تناسبًا طرديًا. الخطأ الشائع: قسمة التكلفة الكلية على عدد الساعات لإيجاد سعر الساعة، فيختبئ المبلغ الثابت داخلها؛ اضرب سعر الساعة أولًا ثم أضف المبلغ الثابت مرة واحدة.

Two amounts are in direct proportion when they grow together. Make twice as many cakes and you need twice as much flour.

Cakes	Flour
1	25 grams
10	250 grams
20	500 grams

Rule

The unitary method: find the amount for one, then multiply by how many you need.

Careful: a fixed charge breaks this. A plumber charges £20 to come out, plus £30 for each hour. Does 4 hours cost twice as much as 2 hours?

Worked example

1
$30 \times 2 = £60$ — The hourly part for 2 hours: £30 for each of the 2 hours.
2
$60 + 20 = £80$ — Add the fixed £20. 2 hours cost £80.
3
$30 \times 4 = £120$ — The hourly part for 4 hours.
4
$120 + 20 = £140$ — Add the fixed £20 once only. 4 hours cost £140.
5
$140 \neq = 2 \times 80 = 160$ — Twice the hours did not cost twice as much, because the £20 is paid once. So this is not direct proportion.

Common mistake

Working out the cost of 1 hour as £80 ÷ 2 = £40. That hides the fixed charge inside. Multiply the hourly rate first, then add the fixed charge once.

2. Scaling a Recipe

سؤال الدرجتين: تُعطى وصفة أو سعر لعدد معيّن، وتحتاجه لعدد آخر. اقسم لتصل إلى الواحد، ثم اضرب. في المثال نكتب أولًا ما تقوله الوصفة، ثم نقسم كمية الدقيق على عدد الكعكات لأنها موزعة عليها، فنعرف دقيق الكعكة الواحدة، ثم نضرب في العدد المطلوب من الكعكات. وفي الجزء الثاني يأتي السؤال بالعكس: كم كعكة تصنعها كمية معيّنة من الدقيق؟ هنا نقسم الكمية على دقيق الكعكة الواحدة لنعرف كم مرة تتسع لها، ثم نتحقق بالضرب. الخطأ الشائع: الجمع بدل الضرب، فزيادة عدد الكعكات لا تعني أن تضيف العدد نفسه من الغرامات.

The 2-mark question: a recipe or price is given for one number, and you need it for another. Divide to get one, then multiply.

A recipe uses 250 g of flour for 10 cakes. How much flour is needed for 16 cakes?

Worked example

1
$10 cakes : 250 g flour$ — Write down what the recipe says. We want 16 cakes, so first find the flour for one cake.
2
$250 \div 10 = 25 g$ — The 250 g is shared over 10 cakes, so divide by 10. That is the flour for one cake.
3
$16 \times 25 = 400 g$ — Each of the 16 cakes needs 25 g, so multiply by 16.

Part (b) often goes backwards: how many cakes does 600 grams make?

Worked example

1
$600 \div 25 = 24 cakes$ — Each cake uses 25 g, so count how many 25s fit into 600.
2
$24 \times 25 = 600 g$ — Check: 24 cakes at 25 g each use exactly 600 g.

Common mistake

Adding instead of multiplying. 16 cakes is 6 more than 10, but you cannot just add 6 grams of flour.

3. Shortcut: The Multiplier

عندما يكون العدد الجديد مضاعفًا سهلًا للعدد القديم، يمكنك تخطّي خطوة الواحد واستخدام المضاعِف، وهي الطريقة نفسها في خطوة واحدة. الكمية الجديدة تساوي الكمية القديمة مضروبة في كسر بسطه العدد الجديد ومقامه العدد القديم. الكمية القديمة هي ما تستخدمه الوصفة، والعدد القديم هو عدد من تكفيهم، والعدد الجديد هو العدد الذي تريده، والكسر هو المضاعِف: كم مرة تكبر الكمية الجديدة. في المثال نقسم عدد الأشخاص الجديد على القديم لنجد المضاعِف، ثم نضرب كمية الأرز القديمة فيه، فكل مكونات الوصفة تكبر بالنسبة نفسها. وبالعكس: نقارن الزبدة بالزبدة لنعرف المضاعِف، ثم نضرب عدد الأشخاص فيه. الخطأ الشائع: قلب الكسر، فيخرج جواب أصغر من الكمية الأصلية، مع أن عدد أشخاص أكبر يحتاج أرزًا أكثر.

When the new number is an easy multiple of the old one, skip the “one” line and use a multiplier. It is the same method in one move.

Formula

new amount = old amount \times \frac{new number}{old number}

Key idea

Old amount: what the recipe uses. Old number: how many it makes. New number: how many you want. The fraction is the multiplier: how many times bigger the new batch is.

A rice dish for 6 people uses 240 g of rice and 90 g of butter. How much rice is needed for 15 people?

Worked example

1
$15 \div 6 = 2.5$ — Find the multiplier: 15 people is 2.5 times as many as 6 people.
2
$240 \times 2.5 = 600 g$ — Multiply the old amount by the same multiplier. Everything in the recipe grows 2.5 times.

Backwards: Sam uses 360 g of butter. How many people does his dish serve?

Worked example

1
$360 \div 90 = 4$ — Compare butter with butter: Sam uses 4 times as much as the recipe.
2
$6 \times 4 = 24 people$ — The number of people grows by the same multiplier, 4.

Common mistake

Turning the fraction upside down: 240 × 6 ÷ 15 = 96 g. More people need more rice, so the answer must be bigger than 240 g.

4. Finding One Price From a Total

سؤال الأربع درجات: تكلفة كلية تجمع صنفين، فاستخدم الصنف المعروف لتجد المجهول. ابدأ بالتفاح لأنه الوحيد الذي له سعر خاص به، فاقسم سعره على عدد الكيلوغرامات لتعرف سعر الكيلوغرام الواحد. ثم احسب ثمن التفاح الموجود في السلة، واطرحه من المجموع، فما يبقى هو ثمن الكمثرى وحدها. بعدها اقسم هذا الباقي على كيلوغرامات الكمثرى لتعرف سعر الكيلوغرام منها، وتحقق بإعادة الجمع للوصول إلى المجموع الأصلي. الخطأ الشائع: قسمة المجموع على كل الكيلوغرامات معًا، وهذا يخلط التفاح بالكمثرى؛ أخرج التفاح أولًا.

The 4-mark question: a total cost mixes two items. Use the item you know to find the one you don't.

The question: 5 kg of apples cost £6.40. 2 kg of apples and 3 kg of pears cost £7.21. Find the cost of 1 kg of pears.

Worked example

1
$5 kg apples = £6.40$ — Start with the apples. They are the only fruit with a price of their own.
2
$6.40 \div 5 = £1.28$ — Share £6.40 over 5 kg. That is the price of 1 kg of apples.
3
$2 \times 1.28 = £2.56$ — The basket has 2 kg of apples, so work out what they cost.
4
$7.21 - 2.56 = £4.65$ — Take the apples out of the total. What is left paid for the 3 kg of pears only.
5
$4.65 \div 3 = £1.55$ — Share that over the 3 kg of pears to get the price of 1 kg.
6
$3 \times 1.55 + 2.56 = 7.21$ — Check: 3 kg of pears plus the apples gives the £7.21 total.

Common mistake

Dividing £7.21 by 5 kg. That mixes apples and pears. Take the apples away first.

5. Is There Enough?

سؤال الأربع درجات: «هل يكفيها ما عندها؟» احسب ما تحتاجه، ثم قارنه بما لديها. في المثال نكتب الوصفة، ثم نقسم السكر على عدد البسكويت لنعرف سكر القطعة الواحدة، ثم نضرب في العدد المطلوب لنعرف السكر اللازم. بعد ذلك نحوّل ما لديها من الكيلوغرام إلى الغرام حتى تكون الكميتان بالوحدة نفسها، ثم نقارن فنجد أن ما لديها أقل مما تحتاجه. اكتب الجواب بالأرقام: لا، فهي تحتاج كذا ولا تملك إلا كذا، وينقصها الفرق. الخطأ الشائع: كتابة «لا» فقط، فالدرجات على خطوات الحل، لذا اكتب الكمية اللازمة والكمية الموجودة. وتذكّر أن تحوّل الكيلوغرام إلى غرام، أو الدقائق إلى ثوانٍ، قبل المقارنة.

The 4-mark question: “Does she have enough?” Work out what is needed, then compare it with what she has.

A recipe for 16 biscuits uses 280 g of sugar. Mia has 0.5 kg of sugar. Does she have enough for 30 biscuits?

Worked example

1
$16 biscuits : 280 g sugar$ — Write down the recipe. Find the sugar for one biscuit first.
2
$280 \div 16 = 17.5 g$ — Share 280 g over 16 biscuits. That is the sugar for one biscuit.
3
$30 \times 17.5 = 525 g$ — Multiply by 30. This is the sugar she needs.
4
$0.5 kg = 500 g$ — Change kg to grams so both amounts use the same unit. 1 kg = 1000 g.
5
$500 < 525$ — Compare: she has less sugar than she needs.
6
$525 - 500 = 25 g$ — Answer with numbers: “No, she needs 525 g but has only 500 g. She is 25 g short.”

Common mistake

Writing just “No”. The marks are for the working: show 525 grams needed and 500 grams owned.

Key idea

Change kg to grams (or minutes to seconds) before you compare.

6. The Greatest Number You Can Make

سؤال الأربع درجات: لديك كميات من عدة مكونات، فكم قطعة تستطيع أن تصنع؟ افحص كل مكوّن على حدة. لكل مكوّن أوجد ما تحتاجه القطعة الواحدة بقسمة كمية الوصفة على عدد قطعها، ثم اقسم ما لديك على هذا المقدار لتعرف كم قطعة يكفي هذا المكوّن وحده، ولا تنسَ تحويل الكيلوغرام إلى غرام ليطابق الوصفة. كل قطعة تحتاج المكونات كلها، فالجواب هو أصغر هذه الأعداد، لأن ذلك المكوّن ينفد أولًا، وهو هنا الزبدة. ثم قرّب إلى الأسفل. الخطأ الشائع: التقريب إلى الأعلى، فالقطعة الإضافية تحتاج زبدة ليست عندك.

The 4-mark question: you have a pile of ingredients. How many can you make? Check every ingredient.

For 12 muffins	You have
150 grams butter	680 grams
90 grams sugar	500 grams
240 grams flour	1.5 kg

Worked example

1
$150 \div 12 = 12.5 g$ — Butter for one muffin: share the recipe’s 150 g over 12 muffins.
2
$680 \div 12.5 = 54.4$ — How many muffins the butter you have could make on its own.
3
$90 \div 12 = 7.5 g$ — Sugar for one muffin.
4
$500 \div 7.5 = 66.6 \dots$ — The sugar could make about 66 muffins.
5
$1.5 kg = 1500 g$ — Change kg to grams to match the recipe.
6
$240 \div 12 = 20 g$ — Flour for one muffin.
7
$1500 \div 20 = 75$ — The flour could make 75 muffins.
8
$smallest : 54 muffins$ — Every muffin needs all three, so the butter runs out first. 54.4 rounds down to 54.

Common mistake

Rounding 54.4 up to 55. The 55th muffin needs butter you do not have, so round down.

7. Round Up or Round Down?

الآلة الحاسبة تعطيك عددًا عشريًا، لكنك لا تشتري إلا أكياسًا أو أشياء كاملة، والسؤال نفسه يخبرك باتجاه التقريب. في المثال الأول نجد دقيق الرغيف الواحد، ثم دقيق العدد المطلوب، ثم نقسم على وزن الكيس فنحصل على عدد عشري من الأكياس؛ هنا نقرّب إلى الأعلى، لأن العدد الأصغر من الأكياس لا يكفي ولا يمكن شراء جزء من كيس. وفي المثال الثاني نقسم المال على سعر الدفتر، ثم نقرّب إلى الأسفل لأنها لا تملك ثمن دفتر إضافي، ثم نحسب ثمن الدفاتر ونطرحه من المال لنجد الباقي، ونتحقق أن الباقي أقل من ثمن دفتر واحد. للتذكر: إذا كان السؤال «هل يكفي؟» فقرّب إلى الأعلى، وإذا كان «كم تستطيع أن تصنع أو تشتري؟» فقرّب إلى الأسفل.

Your calculator gives a decimal, but you can only buy whole bags or whole items. The question tells you which way to round.

12 bread rolls use 180 g of flour. Flour is sold in 500 g bags. How many bags are needed for 70 rolls?

Worked example

1
$180 \div 12 = 15 g$ — Flour for one roll.
2
$70 \times 15 = 1050 g$ — Flour for 70 rolls.
3
$1050 \div 500 = 2.1$ — That is 2.1 bags of flour.
4
$3 bags$ — Round up. 2 bags hold only 1000 g, which is not enough, and you cannot buy part of a bag.

Now the other way: Lina has £15. A notebook costs £1.75. How many can she buy, and how much change does she get?

Worked example

1
$15 \div 1.75 = 8.57 \dots$ — How many notebooks £15 covers.
2
$8 notebooks$ — Round down. She cannot pay for a 9th notebook.
3
$8 \times 1.75 = £14.00$ — What the 8 notebooks cost.
4
$15 - 14 = £1.00$ — Her change. Check: £1.00 is less than £1.75, so she really cannot buy another.

Memory trick

Need enough? Round up. How many can you make or afford? Round down.

8. Best Buy: Compare One Unit

أيّ العبوتين أوفر؟ أوجد سعر الكمية نفسها في كل منهما، مثل كل مئة غرام. في المثال نعرف كم مئة غرام في العبوة الصغيرة، ونقسم سعرها على هذا العدد لنعرف سعر المئة غرام، ثم نفعل الشيء نفسه للعبوة الكبيرة. الآن الكمية واحدة، فيمكن مقارنة السعرين مباشرة، والأوفر هي التي سعر المئة غرام فيها أقل. اكتب السعرين في جوابك كسبب لاختيارك. الخطأ الشائع: اختيار العبوة ذات السعر الأقل على الملصق، فهي أرخص لكنك تأخذ كمية أقل أيضًا.

Which pack is better value? Find the price of the same amount in each, such as 100 grams.

Worked example

1
$400 g : £2.80$ — The small pack. 400 g is 4 lots of 100 g.
2
$2.80 \div 4 = 70 p$ — Share the price over the 4 lots: 70p for 100 g in the small pack.
3
$600 g : £3.90$ — The big pack. 600 g is 6 lots of 100 g.
4
$3.90 \div 6 = 65 p$ — Share the price over the 6 lots: 65p for 100 g in the big pack.
5
$65 p < 70 p$ — Same amount of food, so now the prices can be compared directly.
6
$big pack is better value$ — It costs less for each 100 g. Write the 65p and 70p in your answer as your reason.

Common mistake

Picking the pack with the lower price tag. £2.80 is less, but you get less too.

9. Rates Over Time

المعدلات مثل «عدد من الزجاجات كل ربع ساعة» هي تناسب طردي أيضًا، لكن اجعل وحدات الزمن متطابقة قبل القسمة. في المثال الأول نحوّل الساعات إلى دقائق، ثم نعدّ كم فترة من فترات الملء في هذا الزمن، ثم نضرب في عدد الزجاجات في كل فترة. وفي المثال الثاني نسأل: هل هي سريعة بما يكفي؟ نقسم الزمن على عدد اللفات لنعرف زمن اللفة الواحدة، ثم نضرب في عدد اللفات المطلوب، ونقارن بالحد المسموح، ونذكر السبب بالأرقام. الخطأ الشائع: القسمة والساعات مختلطة بالدقائق؛ وحّد الوحدة أولًا.

Rates like “12 bottles every 15 minutes” are direct proportion too. Make the time units match before you divide.

A machine fills 12 bottles every 15 minutes. How many bottles does it fill in 3 hours?

Worked example

1
$3 \times 60 = 180 minutes$ — Change hours to minutes, so both times use the same unit.
2
$180 \div 15 = 12$ — Count the blocks of 15 minutes in 180 minutes.
3
$12 \times 12 = 144 bottles$ — The machine fills 12 bottles in each block.

Is it fast enough? A runner does 4 laps in 7 minutes at a steady pace. Can she run 25 laps in under 45 minutes?

Worked example

1
$7 \div 4 = 1.75 minutes$ — Time for one lap.
2
$25 \times 1.75 = 43.75 minutes$ — Time for 25 laps.
3
$43.75 < 45$ — Yes. Say why with numbers: 43.75 minutes is under the 45-minute limit.

Common mistake

Doing 3 ÷ 15 with hours and minutes mixed. Change to the same unit first.

10. Which Method? Read the Question

أوجد الكمية للواحد أولًا، ثم تخبرك صياغة السؤال بما تفعله بعدها. الجدول يلخّص الأنواع: تغيير عدد الوصفة اقسم على العدد القديم واضرب في الجديد، أو استخدم المضاعِف؛ تكلفة صنفين معًا اطرح المعروف منهما؛ «هل يكفي؟» احسب اللازم ثم قارن؛ أكبر عدد تصنعه افحص كل مكوّن وخذ الأصغر؛ كم كيسًا أو عبوة؟ قرّب إلى الأعلى؛ كم تستطيع أن تشتري؟ قرّب إلى الأسفل ثم احسب الباقي؛ أيّهما أوفر؟ قارن سعر الكمية نفسها؛ معدل كل بضع دقائق لعدة ساعات وحّد الوحدات أولًا؛ رسوم ثابتة مع معدل ليست تناسبًا، فأضف الرسوم مرة واحدة. أما «عمال أكثر وأيام أقل» فهو في درس التناسب العكسي، والصيغة الجبرية بثابت التناسب في درس التناسب الطردي الجبري. اكتب دائمًا كمية الواحد في سطر مستقل، فهي تكسبك درجة الطريقة حتى لو أخطأت بعدها.

Find the amount for one first. Then the wording tells you what to do next.

You see	You do
Recipe for 10, make 16	divide by 10, times 16
Recipe for 6, make 15	multiplier 15 ÷ 6 = 2.5
Total cost of two items	take away the known one
Is there enough?	work out need, then compare
Greatest number you can make	check each, pick the smallest
How many bags or packs?	round up
How many can you buy?	round down, then find the change
Which is better value?	price of the same amount
Every 15 minutes, for 3 hours	same units first
Fixed charge plus a rate	not proportion: add the charge once
More workers, fewer days	Inverse Proportion in Real Life
$y = k x$ and a constant	Direct Proportion: y = kx

Key idea

Always write the amount for one on its own line. It earns a method mark even if you slip later.

تدرّب على التناسب الطردي في الحياة الواقعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التناسب الطردي في الحياة الواقعية

1. What Direct Proportion Means

2. Scaling a Recipe

3. Shortcut: The Multiplier

4. Finding One Price From a Total

5. Is There Enough?

6. The Greatest Number You Can Make

7. Round Up or Round Down?

8. Best Buy: Compare One Unit

9. Rates Over Time

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على التناسب الطردي في الحياة الواقعية

أسئلة امتحانات سابقة على التناسب الطردي في الحياة الواقعية، محلولة ومشروحة بالعربي