شرح الأعداد الحقيقية

Real Numbers

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Number Families

الأعداد عائلات، وكل عائلة داخل عائلة أكبر منها. الأعداد الطبيعية هي أعداد العد، وهي داخل الأعداد الصحيحة التي تشمل السالب والصفر، والأعداد الصحيحة داخل الأعداد النسبية التي يمكن كتابتها ككسر. أي عدد صحيح نسبي أيضًا لأنك تستطيع كتابته على مقام واحد. أما العدد غير النسبي فلا يمكن كتابته ككسر، مثل الجذر التربيعي للاثنين والنسبة التقريبية، وكسره العشري لا ينتهي ولا يتكرر. وكل عدد إما نسبي أو غير نسبي، ولا يكون الاثنين معًا، والنوعان معًا يكوّنان الأعداد الحقيقية التي تملأ كل نقطة على خط الأعداد.

Numbers come in families, and each family sits inside a bigger one. Together they make the real numbers: every point on the number line.

Family	Examples
Natural: counting numbers	$1, 2, 3, \dots$
Integer: whole numbers	$- 4, 0, 7$
Rational: can be a fraction	$\frac{1}{2}, 0.6, - 4$
Irrational: cannot	$2, π$

Worked example

1
$7 = \frac{7}{1}$ — Any integer can be written over 1. That makes it one integer over another, so 7 is rational as well as an integer.
2
$2 = 1.41421356 \dots$ — No fraction times itself makes exactly 2. The decimal never ends and never repeats, so $2$ is irrational.
3
$real numbers = rationals and irrationals together$ — Every number is either rational or irrational, never both. Together the two groups fill every point on the number line.

Rule

Natural numbers sit inside the integers. Integers sit inside the rationals. Rationals and irrationals together are the real numbers.

2. Even, Multiples and Factors

سؤال الدرجة الواحدة: تُعطى قائمة أعداد ويُطلب منك عدد زوجي، أو مضاعف لعدد، أو عامل لعدد. اختبر كل عدد في القائمة على كلمة واحدة في كل مرة. العدد الزوجي آحاده صفر أو اثنان أو أربعة أو ستة أو ثمانية. والمضاعف يقبل القسمة بلا باقٍ، أي أنه من جدول الضرب. ولمضاعفات الثلاثة أو التسعة اجمع الأرقام، فإن كان المجموع من جدول الثلاثة أو التسعة فالعدد كذلك. أما العامل فهو العدد الذي يقسم العدد المطلوب تمامًا، فلا يمكن أن يكون أكبر منه. الخطأ الشائع الخلط بين العامل والمضاعف: العامل أصغر ويدخل في العدد، والمضاعف أكبر ويخرج من جدول الضرب.

The 1-mark question: a list of numbers, then "write down an even number", "a multiple of 7" or "a factor of 30". Test each number in turn.

Word	Test
Even	ends in 0, 2, 4, 6 or 8
Multiple of 7	divides by 7 with nothing left
Multiple of 3 (or 9)	its digits add up to a multiple of 3 (or 9)
Factor of 30	divides into 30 exactly

Worked example

1
$6, 11, 15, 24, 27, 35, 49$ — The list. Test every number against one word at a time.
2
$even: 6, 24$ — They end in 6 and 4, so 2 divides them exactly. The rest end in 1, 5, 7 or 9, so they are odd.
3
$multiple of 7 : 35 = 7 \times 5, 49 = 7 \times 7$ — Both are in the 7 times table. The others leave a remainder when you divide by 7.
4
$multiple of 3 : 6, 15, 24, 27$ — Add the digits: 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6, 2 + 7 = 9. Each total is in the 3 times table, so the number is too.
5
$multiple of 9 : 27$ — 2 + 7 = 9, which is in the 9 times table. 15 and 24 only reach 6, so they are not.
6
$factor of 30 : 6, 15$ — 30 ÷ 6 = 5 and 30 ÷ 15 = 2, with nothing left. 35 and 49 are bigger than 30, so they cannot be factors.

Common mistake

Mixing up factor and multiple. A factor of 30 is smaller and fits into 30. A multiple of 7 is bigger and comes out of the 7 times table.

3. Squares, Cubes and Primes

سؤال الدرجة الواحدة: من القائمة نفسها اكتب عددًا مربعًا أو عددًا مكعبًا أو عددًا أوليًا. العدد المربع هو عدد صحيح مضروب في نفسه، والمكعب هو عدد صحيح مضروب في نفسه ثم في نفسه مرة أخرى، والأولي له عاملان فقط هما الواحد والعدد نفسه. لكل عدد في القائمة اسأل: هل هو ناتج ضرب عدد في نفسه؟ في نفسه مرتين؟ هل له عامل غير الواحد ونفسه؟ احفظ المربعات والمكعبات الصغيرة لتعرفها بسرعة، والواحد موجود في القائمتين. الخطأ الشائع اختيار عدد فردي على أنه أولي، فابحث أولًا عن عامل صغير مثل ثلاثة أو خمسة أو سبعة. والواحد ليس أوليًا، والاثنان أولي وهو الأولي الزوجي الوحيد.

The 1-mark question: from the same list, write down a square number, a cube number or a prime number.

Word	Means
Square	a whole number times itself
Cube	a whole number times itself, times itself again
Prime	exactly two factors: 1 and itself

Worked example

1
$49 = 7 \times 7$ — 7 times itself makes 49, so 49 is a square number. No other number in the list is a whole number times itself.
2
$27 = 3 \times 3 \times 3$ — 3 times itself, then times 3 again, makes 27, so 27 is a cube number.
3
$11 = 1 \times 11$ — The only way to make 11 is 1 × 11. It has exactly two factors, so it is prime.
4
$15 = 3 \times 5, 35 = 5 \times 7$ — They are odd, but they split into smaller numbers. That gives more than two factors, so they are not prime.

Memory trick

Squares to know: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Cubes to know: 1, 8, 27, 64, 125. 1 is in both lists, because 1 × 1 = 1 and 1 × 1 × 1 = 1.

Common mistake

Picking an odd number like 15 or 35 as prime. Check for a small factor first: 3, 5 or 7. And 1 is not prime, because it has only one factor. 2 is prime: the only even prime.

4. Rational or Irrational?

أحيانًا تحتوي القائمة على جذور وكسور عشرية والنسبة التقريبية. اسأل سؤالًا واحدًا: هل يمكن كتابة العدد ككسر بسطه ومقامه عددان صحيحان؟ الكسر العشري المنتهي يُكتب ككسر فهو نسبي، والكسر العشري الدوري يمكن دائمًا كتابته ككسر فهو نسبي أيضًا. والجذر التربيعي لعدد مربع يخرج عددًا صحيحًا فهو نسبي، أما جذر عدد ليس مربعًا فلا يخرج، وكسره العشري لا ينتهي ولا يتكرر، فهو غير نسبي. الخطأ الشائع اعتبار كل جذر تربيعي غير نسبي. وإذا طُلب منك أي عدد غير نسبي بدون قائمة، فجذر أي عدد ليس مربعًا يصلح، وكذلك النسبة التقريبية.

Sometimes the list has roots, decimals and $π$ in it. Ask one question: can it be written as a fraction of two integers?

Worked example

1
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ — 0.6 means 6 tenths. The decimal stops, so it is a fraction: rational.
2
$0.333 \dots = \frac{1}{3}$ — 1 ÷ 3 = 0.333… The 3 repeats for ever, and a repeating decimal can always be written as a fraction: rational.
3
$9 = 3$ — 9 = 3 × 3 is a square number, so the root comes out as a whole number. $3 = \frac{3}{1}$ : rational.
4
$10 = 3.16227 \dots$ — 10 is not a square number, so the root does not come out. The decimal never ends or repeats: irrational.

Common mistake

Calling every square root irrational. $9$ is just 3. Only the root of a number that is not square is irrational.

Key idea

Asked to write down any irrational number, with no list? The root of a number that is not square always works, like $2$ or $5$ . So does $π$ .

5. Work Out the Disguise First

قوائم الامتحان تخفي الأعداد بأشكال مضللة: جذور تخرج أعدادًا صحيحة، وكسور عشرية تشبه النسبة التقريبية، وأعداد سالبة. أولًا احسب القيمة الحقيقية لكل عدد، ثم اختبره. الجذر الذي يخرج عددًا صحيحًا يُعامل كذلك العدد، فقد يكون طبيعيًا أو أوليًا، ولا تحكم عليه بالعدد الذي تحت الجذر. والكسر العشري المنتهي نسبي حتى لو كان قريبًا من النسبة التقريبية. والإشارة السالبة لا تغيّر الاختبار، لكن العدد السالب الكسري ليس عددًا صحيحًا. والكسر الذي يعطي عددًا دوريًا يبقى نسبيًا. أما جذر عدد ليس مربعًا فهو غير النسبي. الخطأ الشائع اختيار القيم التقريبية للنسبة التقريبية كعدد غير نسبي، وهي كلها كسور فهي نسبية.

Exam lists hide numbers in disguise: roots that come out, decimals that look like $π$ , negatives. Work out what each one really is, then test it.

Worked example

1
$121, 3.14, - 0.8, 50, \frac{2}{9}, 64$ — The list. Before you test anything, find the true value of each number.
2
$121 = 11$ — 11 × 11 = 121, so this is just 11. It is a natural number, and also a prime.
3
$121 is not a square number$ — It looks like one, but its value is 11, and 11 is not a whole number times itself. The square number here is 64 = 8 × 8.
4
$3.14 = \frac{314}{100}$ — A decimal that stops is a fraction, so 3.14 is rational. It is only close to $π = 3.14159 \dots$ , which never ends.
5
$- 0.8 = - \frac{4}{5}$ — The minus sign does not change the test. It is a fraction, so it is rational, but it is not an integer.
6
$\frac{2}{9} = 0.222 \dots$ — It is already a fraction of two integers, so it is rational. The decimal repeats for ever, but that does not make it irrational.
7
$50 = 7.0710678 \dots$ — 50 is not a square number, so the root does not come out. The decimal never ends or repeats: this is the irrational one.

Common mistake

Choosing 3.142 or $\frac{22}{7}$ as the irrational number. Both are only close to $π$ . Both are fractions, so both are rational.

6. Which Method? Read the Question

الكلمة في السؤال تحدد الاختبار. العدد الزوجي: انظر إلى رقم الآحاد. المضاعف: اقسم وتأكد أنه لا يبقى باقٍ، ولمضاعفات الثلاثة والتسعة اجمع الأرقام. العامل: هل يقسم العدد المطلوب تمامًا؟ المربع أو المكعب: هل هو عدد مضروب في نفسه، أو في نفسه مرتين؟ الأولي: لا يقسمه إلا الواحد ونفسه. نسبي أم غير نسبي: هل يمكن كتابته ككسر؟ ومع الجذور والكسور العشرية احسب القيمة الحقيقية أولًا ثم اختبر. اختبر كل أعداد القائمة، وإذا طُلب عدد واحد فاكتب إجابة واحدة فقط، لأنك إذا كتبت اثنين وأحدهما خطأ قد تخسر الدرجة. وإذا استخدم جزء لاحق إجاباتك، مثل جمع عددين أوليين، فاكتبهما أولًا، فقد يأخذ هذا السطر درجة حتى لو أخطأت في المجموع.

The word in the question tells you which test to use.

You see	You do
An even number	last digit 0, 2, 4, 6 or 8
A multiple of 7	divide by 7, nothing left
A multiple of 3 or 9	add the digits: is the total a multiple of 3 or 9?
A factor of 30	it divides into 30
A square or cube number	is it n × n, or n × n × n?
A prime number	only 1 and itself divide it
Rational or irrational	can it be a fraction?
A root, or a decimal like 3.14	work out its true value first, then test
Any irrational number (no list)	the root of a non-square, like √2, or π
More on fractions and decimals	Rational Numbers
More on roots and π	Irrational Numbers

Key idea

Test every number in the list. If the question asks for “a prime number”, one answer is enough: write two and one is wrong, and you can lose the mark. If a later part uses your answers, like adding the two primes, write the primes down first. That line can earn a mark even if the sum goes wrong.

تدرّب على الأعداد الحقيقية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد الحقيقية

1. The Number Families

2. Even, Multiples and Factors

3. Squares, Cubes and Primes

4. Rational or Irrational?

5. Work Out the Disguise First

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد الحقيقية

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد الحقيقية، محلولة ومشروحة بالعربي