شرح الأعداد غير النسبية

Irrational Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What an Irrational Number Is

العدد غير النسبي لا يمكن كتابته على صورة عدد صحيح مقسوم على عدد صحيح آخر، وكسره العشري لا ينتهي ولا يتكرر أبدًا. الجذر التربيعي لعدد ليس مربعًا كامل غير نسبي، لأنه لا يوجد عدد مضروب في نفسه يعطيه تمامًا، وكذلك النسبة التقريبية، وأي عدد يحتوي عليها أو على جذر غير كامل. أما الكسر العادي فنسبي حتى لو تكرر كسره العشري بلا نهاية، والجذر الذي يخرج كاملًا، مثل جذر كسر بسطه ومقامه مربعان كاملان، نسبي أيضًا. الخطأ الشائع: الظن أن الكسر الشائع الذي نستخدمه للنسبة التقريبية، أو قيمتها المقربة، هو النسبة التقريبية نفسها، فهما قريبان منها فقط وهما نسبيان، أما هي فغير نسبية.

An irrational number cannot be written as one integer over another. Its decimal never ends and never repeats.

Worked example

1
$7 = 2.6457513 \dots$ — 7 is not a square number, so no number times itself makes exactly 7. The decimal never ends or repeats: irrational.
2
$π = 3.1415926 \dots$ — Mathematicians have proved that the digits of $π$ never end and never fall into a repeating pattern: irrational.
3
$\frac{22}{7} = 3. 142857142857 \dots$ — Divide 22 by 7. The block 142857 repeats for ever. It is one integer over another, so it is rational.
4
$\frac{16}{9} = \frac{16}{9} = \frac{4}{3}$ — 16 and 9 are both square numbers, so the root of the top and of the bottom comes out. A fraction is left: rational.

Rule

Roots of numbers that are not square, like $7$ , are irrational. So is $π$ , and anything like $5 π$ or $2 + 3$ .

Common mistake

Thinking $\frac{22}{7}$ or 3.14 is $π$ . They are only close to it. Both are rational, and $π$ is not.

2. Spot the Disguise in a List

سؤال القائمة يخفي أعدادًا نسبية متنكرة: قوى، ونسب مئوية، وصيغة علمية، وجذور أعداد عشرية. احسب كل عدد أولًا ثم قرر. القوى: الأس الكسري يعني جذرًا، فإن خرج الجذر كاملًا فالعدد نسبي، وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، والأس السالب يعطي كسرًا، فكلاهما نسبي. النسبة المئوية تُكتب دائمًا كسرًا، والصيغة العلمية مجرد عدد عشري منتهٍ، فهما نسبيان. ولجذر عدد عشري: اكتبه كسرًا في أبسط صورة، فإن كان بسطه ومقامه مربعين كاملين خرج الجذر وكان نسبيًا، وإلا فهو غير نسبي. الخطأ الشائع: الحكم بأن كل جذر غير نسبي أو كل عدد عشري نسبي دون حساب.

The 1-mark list question hides rational numbers in disguise: powers, percentages, standard form, roots of decimals. Work each one out before you decide.

1. Powers

Worked example

1
$12 5^{\frac{1}{3}} = 3125$ — A power of $\frac{1}{3}$ means cube root. Turn it back into a root so you can work it out.
2
$3125 = 5$ — 5 × 5 × 5 = 125, so the root comes out as a whole number: rational.
3
$3^{0} = 1$ — Any number to the power 0 is 1, a whole number: rational.
4
$4^{- 1} = \frac{1}{4}$ — A negative power means 1 over the number, so this is a fraction: rational.

2. Percentages, standard form and roots of decimals

Worked example

1
$66 \frac{2}{3} % = \frac{2}{3}$ — A percentage means out of 100, so it can always be written as a fraction: rational.
2
$4.2 \times 1 0^{- 5} = 0.000042$ — Standard form is just a decimal that stops: rational.
3
$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ — To test the root of a decimal, first write the decimal as a fraction in its simplest form.
4
$\frac{2}{5} = 0.6324555 \dots$ — 2 and 5 are not square numbers, so the root does not come out. The decimal never ends: irrational.

Rule

The root of a fraction comes out only when, in simplest form, its top and bottom are both square numbers. $0.36 = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}$ is rational, but $0.4 = \frac{2}{5}$ is not.

Common mistake

Calling every root irrational, or every decimal rational. $3125 = 5$ is rational, and $0.4$ is irrational. Work it out first, then decide.

3. An Irrational Number Between Two Others

المطلوب كتابة عدد غير نسبي يقع بين عددين. الطريقة: ربّع الطرفين، فالتربيع يحافظ على الترتيب، ثم اختر عددًا صحيحًا بين المربعين ليس مربعًا كاملًا، واكتب جذره التربيعي إجابةً. والطريقة نفسها إذا كان الطرفان عددين عشريين أو جاء المدى على صورة متباينة: ربّع الطرفين بعناية، وتجنب أي مربع كامل بينهما. ويمكنك أيضًا استخدام النسبة التقريبية مضروبة في عدد صحيح غير الصفر. الخطأ الشائع: كتابة القيمة العشرية المقربة للجذر، فهي تنتهي فتكون نسبية ولا تأخذ درجة، لذلك اكتب الجذر بصورته الدقيقة، ولا تكتب جذر مربع كامل لأنه عدد صحيح.

The 1-mark question: write down an irrational number between 5 and 6. Square both ends, then take the root of any number in between that is not square.

Worked example

1
$5^{2} = 25, 6^{2} = 36$ — Square both ends. Squaring keeps the order, so a root between 5 and 6 must come from a number between 25 and 36.
2
$25 < 30 < 36$ — Pick a whole number strictly between 25 and 36. 30 is not a square number, so its root will not come out.
3
$30 = 5.477 \dots$ — Write $30$ as your answer. It is between 5 and 6, and its decimal never ends or repeats, so it is irrational.

When the ends are decimals. Exams also write the range as an inequality, like $6.5 \leq n \leq 7.5$ . The method is the same.

Worked example

1
$6. 5^{2} = 42.25, 7. 5^{2} = 56.25$ — Square both ends, exactly as before. They are decimals, so work carefully: 6.5 × 6.5 = 42.25.
2
$42.25 < 50 < 56.25$ — Pick a whole number between them that is not square. Avoid 49, because 49 = 7 × 7. 50 is fine.
3
$50 = 7.071 \dots$ — It is between 6.5 and 7.5, and 50 is not square, so $50$ is irrational.

Key idea

$π$ works too. $π = 3.14 \dots$ is between 3 and 4, and $3 π = 9.42 \dots$ is between 9 and 10. Any whole number times $π$ (except 0) is still irrational.

Common mistake

Writing the decimal 5.477 as your answer. A rounded decimal stops, so it is rational and scores 0. Write the exact $30$ . Do not give $25$ or $36$ either: they are just 5 and 6.

4. Is the Answer Rational?

السؤال: هل ناتج عملية حسابية نسبي أم غير نسبي؟ الطريقة: احسب الناتج وانظر هل يختفي الجذر أو النسبة التقريبية. الجذر التربيعي مضروبًا في نفسه يعطي العدد الذي تحته، وضرب جذرين يعني ضرب ما تحتهما تحت جذر واحد، فإن كان الناتج مربعًا كاملًا خرج الجذر. وإذا ظهرت النسبة التقريبية في البسط والمقام اختُصرت. وإذا جُمع جذر مع سالبه اختفى. أما إذا بقي الجذر أو النسبة التقريبية في الناتج فهو غير نسبي. الخطأ الشائع: الظن أن ضرب عددين غير نسبيين يعطي دائمًا عددًا غير نسبي.

The 2-mark question: is the answer to a calculation rational or irrational? Work it out and see if the root or $π$ disappears.

Worked example

1
$5 \times 5 = 5$ — A square root times itself gives back the number under it. 5 is a whole number: rational.
2
$2 \times 8 = 16$ — Multiply the numbers under the roots: 2 × 8 = 16, under one root sign.
3
$16 = 4$ — 16 is a square number, so the root comes out: rational.
4
$\frac{6 π}{2 π} = 3$ — $π$ is on the top and the bottom, so it cancels, leaving 6 ÷ 2 = 3: rational.
5
$(4 + 3) + (4 - 3) = 8$ — The $+ 3$ and the −√3 cancel each other, leaving 4 + 4 = 8: rational.
6
$2 + 3 = 3.732 \dots$ — Here nothing cancels the $3$ . Adding 2 only moves it along, so the decimal still never ends: irrational.

Rule

If the root or $π$ cancels, or two roots multiply to a square number, the answer is rational. If it is still there, the answer is irrational.

Common mistake

Thinking irrational times irrational is always irrational. $2 \times 8$ is 4.

5. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بالفكرة المطلوبة. «أيها غير نسبي؟»: احسب ما تستطيع، ثم اسأل: هل ينتهي الكسر العشري أو يتكرر؟ في قائمة فيها قوى ونسب مئوية وصيغة علمية: احسب كل عدد أولًا ثم قرر. «عدد غير نسبي بين عددين»: ربّع الطرفين وخذ جذر عدد بينهما ليس مربعًا كاملًا، حتى لو كان الطرفان عشريين. «هل الناتج نسبي؟»: احسب وانظر هل يختفي الجذر أو النسبة التقريبية. وتذكر: جذور المربعات الكاملة والكسور العادية أعداد نسبية، وغير النسبي فقط هو العدد العشري الذي لا ينتهي ولا يتكرر.

The question's words tell you which idea to use.

You see	You do
Which is irrational?	work out what you can, then ask: does it end or repeat?
Ring the irrational ones (powers, %, standard form)	work each one out first, then decide
An irrational number between	square the ends, root a number between
An irrational n with decimal ends, like 6.5 ≤ n ≤ 7.5	square the ends, root a whole number between
Is the answer rational?	work it out: does the root or $π$ go?
A rational number between	Rational Numbers
Simplify or rationalise a root	Surds
Which two whole numbers is it between?	Square Roots
All the families together	Real Numbers

Key idea

Roots of square numbers and fractions like $\frac{22}{7}$ are rational. Only a decimal that never ends and never repeats is irrational.

تدرّب على الأعداد غير النسبية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد غير النسبية

1. What an Irrational Number Is

2. Spot the Disguise in a List

3. An Irrational Number Between Two Others

4. Is the Answer Rational?

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد غير النسبية

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد غير النسبية، محلولة ومشروحة بالعربي